河南省2019年中考数学总复习第四章三角形微专项.doc

1、1全等三角形中的两大辅助线技巧突破点 1 倍长中线倍长中线法:延长三角形一边的中线至一点,使所延长的部分与该中线相等,并连接该点与这条边的一个顶点,得到两个全等的三角形.这种方法主要用于构造全等三角形或证明对应边之间的关系.倍长中线常用辅助线添加方法(倍长中线等中线,等量关系一大片)叙述 图示 结论基本图形:在ABC 中,AD 为 BC 边上的中线.倍长中线:延长 AD 到点 E,使 ED=AD,连接BE.ACDEBD;根据三角形三边的关系得到:.AE,且 EC-AC2AD,AB-ACEF 如图,延长 ED 至点 P,使 DP=DE,连接 FP,CP,点 D 是 BC 的中点,BD=CD,又E

2、DB=CDP,BDECDP,BE=CP.DEDF,DE=DP,EF=FP.又在CFP 中,CP+CF=BE+CFFP,BE+CFEF.3.证明:如图,延长 AD 到点 G,使得 DG=AD,连接 BG.8AD 是 BC 边上的中线,DC=DB.在ADC 和GDB 中, =,=,=, ADCGDB,CAD=G,BG=AC.BE=AC,BE=BG,BED=G,又BED=AEF,AEF=CAD,AF=EF.4.证明:如图,过点 C 作 CHAB,交 FE 的延长线于点 H,则B=ECH,BGE=H.点 E 是 BC 的中点,BE=CE.在BEG 和CEH 中,=,=,=, BEGCEH,BG=CH,

3、又BG=CF,CH=CF,F=H.EFAD,F=CAD,BGE=BAD,又BGE=H,BAD=CAD,AD 为ABC 的角平分线.例 2 如图,将ABC 以点 C 为旋转中心,旋转至EDC,则ABC833EDC,AB=ED,AC=EC,ABC=EDC.四边形 ABCD 是O 的内接四边形,ABC+ADC=180,EDC+ADC=180,A,D,E 三点共线,AE=AD+ED=8.BAD= 60,点 C 为 的中点,CAE= BAD=30.过点 C 作 CFAE 于点 F,则 AF= AE=4.在 RtACF 中,cosCAF= ,即 = ,解得 AC=12 12 32 4.8339强化训练5.

4、 如图 ,将ABP 以点 A 为旋转中心逆时针旋转 60,得ACD,过点 A 作 AECD 交 CD 的延长线于32+334点 E,连接 PD,易得ABPACD,AP=AD,BP=CD,PAD=BAC=60,ADP 为等边三角形,AP=PD.在CDP中,DP=1,CD= ,PC= ,PD 2+CD2=PC2,CDP 是直角三角形 ,且CDP=90,CDP+ADP=150,2 3ADE=30.在 RtADE 中,AE= AD= ,ED= AE= ,CE=CD+DE= + ,AC2=3+ ,S ABC = AC2= .12 12 3 32 2 32 6 34 32+3346.45 如图,将ABE

5、绕点 A 逆时针旋转 90至ADG 的位置,得EAG=90,ABEADG,BE=DG,AE=AG,又BE+DF=EF,FG=EF,AEFAGF,EAF=GAF,EAF= EAG=45.127.4.51 方法一:如图(1),将BEF 绕点 E 逆时针旋转 90到GED 的位置,易得 EGAE,BEFGED,GE=BE=2.2,S BFE +SAED =SAEG = AEEG= 2.24.1=4.51.方法二:如图(2),将AED 绕点 E 顺时针12 12旋转 90到GEF 的位置,则 EGAE,AEDGEF,GE=AE=4.1,S BFE +SAED =SGBE= BEEG= 2.24.1=4

6、.51.12 12图(1) 图(2)8.(1)证明:OA=OD,可将AOB 以点 O 为旋转中心旋转至DOG 的位置,如图所示,则AOBDOG,S OAB =SODG ,AOB=DOG,OB=OG.OAOD,OB=OC,OBOC,COD+AOB=COD+DOG=180,OC=OG,C,O,G 三点共线,OD 为CDG 中 CG 边上的中线,S ODG =SOCD ,S OAB =SOCD .10(2)证明:直线 l 平分 CD,CF=DF.由(1)可知,OC=OG,OF 为CDG 的中位线,OF= DG,12由旋转性质可得 DG=AB,OF= AB.129.(1)证明:连接 DC,点 D 为等

7、腰直角三角形 ABC 斜边 AB 的中点,CDAB,CD=DA,CD 平分BCA,ECD=DCA=45.DMDN,EDN=90,又CDA=90,CDE=FDA.在CDE 和ADF 中,=,=,=,CDEADF,DE=DF.(2)CDEADF,S CDE =SADF , = = CDAD= .四 边 形 12 1210.(1)证明:ABC 是等腰三角形,AB=BC,A=C.将等腰三角形 ABC 绕顶点 B 逆时针旋转 到A 1BC1的位置,A 1B=AB=BC,A 1=A=C,A 1BD=CBC 1.在BCF 与BA 1D 中,1=,1=,1=,BCFBA 1D.(2)当C= 时,四边形 A1B

8、CE 是菱形.理由:由题易得A 1=A.又ADE=A 1DB,AED=A 1BD=,DEC=180-.11C=,A 1=,A 1BC=360-A 1-C-A 1EC=180-,A 1=C,A 1BC=A 1EC,四边形 A1BCE 是平行四边形,又A 1B=BC,四边形 A1BCE 是菱形.高分突破微专项 2 一线三直角模型例 1 3 如图,过点 D 作 DFAC 于点 F.AEB=135,CEB=45,CEB 是等腰直角三角形.又BE=3 ,BC=CE=3.根据一线三直角模型 ,可得EFDBCE,FED=FDE=45.又 DE= ,EF=DF=1.易2 2证AFDACB, = .设 AF=a

9、,则 = ,解得 a=2,AE=AF+EF=2+1=3. +413例 2 如图,过点 F 作 AD 的垂线,交 AD 于点 M,交 BC 于点 N,则FMA=ENF=90.BC=6,点 E 为 BC 边的185中点,BE= BC=3.由折叠的性质可知,EF=BE=3,AF=AB=4,AFE=B=90.根据一线三直角模型,可得12AMFFNE, = = = .设 EN=3x,FM=4x,则 FN=4-4x,AM=3x+3, = ,解得 x= ,NC=EC-EN=3-34 4-43+334 7253x,FC=5-5x=5-5 = .725185例 3 ( , ) 方法一:如图(1),过点 E 作

10、EFy 轴,交 y 轴于点 F,过点 P 作 PGEF,交 FE 的延长线于点 G.133 409当 y=0 时,x 2-4x+3=0,解得 x1=1,x2=3,A(1,0),B(3,0),OA=1,OB=3.当 x=0 时,y=3,点 C 的坐标是(0,3).OC=3,OB=OC,BOC 为等腰直角三角形.又EFOB,EFC 是等腰直角三角形.CFE=EGP=CEP=90,根据一线三直角模型,可得CEFEPG.PE=2CE, = = = .设点 E 的12横坐标为 m,易得 EG=PG=2m,点 P 的坐标为(3m,3+m).把点 P 的坐标代入 y=x2-4x+3 中,解得 m1= ,m2

11、=0(不符139合题意,舍去),点 P 的坐标为( , ).方法二:如图(2),当 y=0 时,x 2-4x+3=0,解得 x1=1,x2=3,A(1,0),133 409B(3,0),OA=1,OB=3.当 x=0 时,y=3,点 C 的坐标是(0,3).OC=3,OB=OC,BOC 为等腰直角三角形.过点 B 作 BFBC,交 CP 的延长线于点 F,过点 F 作 FHx 轴于点 H,PEBC,EPBF,CEPCBF.PE=2CE, = = .由一线三直角模型可得BOCFHB,BH=FH=2AB=6, 点 F 的坐标为(9,6).易求出1212直线 CF 的解析式为 y= x+3.令 x2

12、-4x+3= x+3,解得 x1=0(舍去),x 2= ,把 x= 代入到 y= x+3,得点 P 的坐标为13 13 133 133 13( , ).133 409图(1) 图(2)强化训练1.10 如图,过点 D 作 DEAC,交 AC 于点 E.BAD=ACB=90,AB=AD,根据一线三直角模型,可得ABCDAE,AE=BC,AC=DE.设 BC=AE=a,则 CE=3a.在 RtCDE 中,CE 2+DE2=CD2,即(3a) 2+(4a)2=52,解得a=1(负值已舍去),DE=AC=4a=4,S 四边形 ABCD=SABC +SACD = BCAC+ ACDE= 14+ 44=1

13、0.12 12 12 122.45 如图,过点 A 作 ANAB,且 AN=BD,连接 DN,CN.AD=BC,DANCBD,AND=CDB,DN=DC.又AND+NDA=90,CDB+NDA=90,NDC=90,CDN 是等腰直角三角形,NCD=45.AN=DB,CE=BD,AN=CE.又ANCE,四边形 ANCE 是平行四边形,CNAE,AMD=NCD=45.3.(3,1) 如图,过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为 F,过点 A 作 y 轴的垂线,垂足为 E,两线交于点 D,则ADB=BFO=90.ABO=90,AB=OB,根据一线三直角模型,可得ABDBOF,AD=BF,BD=OF.设A

14、D=BF=a,BD=OF=b.A(2,4),AE=2,DF=4, 解得 a=1,b=3.OF=3,BF=1,故点 B 的坐标为(3,1).+2=,+=4,4.(5,3 ) 如图,过点 C 作 CDAB 于点 D,过点 D 作 y 轴的垂线,垂足为 E,过点 C 作 CFED,交 ED 的延长线3于点 F.点 A(0,2 ),点 B(4,0),OA=2 ,OB=4.ABC 为等边三角形,CD= AD.易知 DE 为AOB 的中位3 3 3线,DE= OB=2,AE= OA= .根据一线三直角模型 ,可得ADEDCF, = = = ,解得12 12 3 13DF=3,CF=2 ,EF=DE+DF=

15、5,CF+OE=3 ,点 C 的坐标为(5,3 ).3 3 3135.y= x+3 在矩形 OABC 中,B(10,8),OC=AB=8,OA=BC=10.由折叠的性质可知 DE=CD,BE=BC=10.在 RtABE12中,AE= =6,OE=OA-AE=10-6=4.根据一线三直角模型可知,DOEEAB, = ,即 = ,解得 OD=3,2-2 4 68点 D 的坐标为(0,3).设直线 BD 的解析式为 y=ax+3,将 B(10,8)代入,解得 a= ,故直线 BD 的解析式为 y= x+3.12 126. 如图,过点 C 作 CFAD 于点 F,过点 B 作 BEAD,交 DA 的延

16、长线于点 E.在 RtCDF 中,ADC=45,41CD= DF= CF,CF=DF= ,AF=AD-DF=4- .CFA=CAB=AEB=90,AC=AB,根据一线三直角模型,可2 2322 322得ACFBAE,AE=CF= ,BE=AF=4- ,DE=AD+AE=4+ .在 RtBDE 中,BD= = .322 322 322 2+2 417.2+ 方法一:如图(1),过点 D 作 DEAC 于点 E,过点 E 作 AB 的平行线,分别交 BC,AD 于点 G,H,则四边形7ABGH 是矩形.ACD=45,DCE 为等腰直角三角形,DE=CE.DHE=EGC=DEC=90,根据一线三直角

17、模型,可得DEHECG,EH=CG,DH=EG.设 DH=EG=m, 则 CG=EH=3-m,AH=4-m,BC=CG+AH=7-2m.易知CEGCAB, = ,即 = ,解得 m1= (不合题意,舍去),m 2= ,BC=7-2m=2+ .方法二:如图(2), 3 3-7-2 5+72 5- 72 7过点 A 作 AEAC 与 CD 的延长线交于点 E,过点 E 作 EFAB,交 BA 的延长线于点 F.ACD=45,则ACE 为等腰直角三角形,AC=AE.EAC=EFA=ABC=90,根据一线三直角模型,可得AEFCAB.AF=BC,EF=BA=3.设 AF=BC=a,过点 E 作 EHB

18、C 于点 H,则四边形 EFBH 为矩形,EH=BF=a+3,CH=BC-BH=BC-EF=a-3,DG=AD-AG=4-EF=1.ABC=BAD=90,DGCH,EGDEHC, = ,即 = ,解 +3 1-3得 a1=2+ ,a2=2- (不合题意,舍去).故 BC 的长为 2+ .7 7 7图(1) 图(2)8.(1,- ) 如图,分别过 A,B 两点作 ADx 轴于点 D,BCx 轴于点 C.ADO=OCB=AOB=90,根据一线12三直角模型,可得AODOBC, = .A(-2,-4),OD=2,AD=4, = = ,OC=2BC.设 BC=a,则 OC=2a, 12点 B 的坐标为(2a,-a),代入 y=- x2,得-a=- (2a)2,解得 a1= ,a2=0(不符合题意,舍去),故点 B 的坐标为(1,-12 12 12).1214