高中物理问题原型与延伸专题4.3牛顿运动定律的“等时圆”模型学案新人教版必修1.doc

1、1专题 4.3 牛顿运动定律的“等时圆”模型 知识点拨1、 等时圆模型（如图所示）2、 等时圆规律：（1）、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图 a）（2）、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b）（3）、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（ ）自由落体的时间，即（式中 R 为圆的半径。）3、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为 ，圆的直径为 （如右图） 。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为 ，位移为 ，所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。2规律

2、AB、AC、AD 是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D 位于同一圆周上，A 点为圆周的最高点，D 点为最低点.每根杆上都套着一个光滑的小滑环（图中未画出） ，三个滑环分别从 A 处由静止开始释放，到达圆周上所用的时间是相等的，与杆的长度和倾角大小都无关.【原型】 “等时圆”模型如图所示，AC、BC 为位于竖直平面内的两根光滑细杆，A、B、C 三点恰位于同一圆周上，C 为该圆周的最低点，a、b 为套在细杆上的两个小环，当两环同时从 A、B 点自静止开始下滑，则 （ ）Aa 环将先到达 C 点Bb 环将先到达 C 点Ca、b 环同时到达 C 点D由于两杆的倾角不知道，无法判断两环到达 c

3、点的先后3小环在 AC 上下滑的加速度 a=gcos，因为小环做初速度为 0 的匀加速直线运动，根据位移时间关系有：AC= at2即 2Rcos= gcost 2，解得：t=与杆的倾角 无关，故 C 正确，ABD 错误故选：C。 点评：对圆环的受力分析是关键，然后根据牛顿第二定律求得加速度。变型 1、 “等时圆”模型的一般情况【延伸 1】如图所示，通过空间任一点 A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点 A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定解析：从等时圆的特殊情况推广到一般情况要求熟练掌握

4、等时圆的特征。 4 点评：滑块是否传送带共速是临界条件。变型 2、从圆周外某点下滑模型【延伸2】如 图 ， 位 于 竖 直 平 面 内 的 固 定 光 滑 圆 轨 道 与 水 平 面 相 切 于 M点 ， 与 竖 直 墙 相切 于 点 A， 竖 直 墙 上 另 一 点 B与 M的 连 线 和 水 平 面 的 夹 角 为 600， C是 圆 环 轨 道 的 圆 心 ， D是 圆 环 上 与 M靠 得 很 近 的 一 点 （ DM远 小 于 CM） 。 已 知 在 同 一 时 刻 ： a、 b两 球 分 别 由A、 B两 点 从 静 止 开 始 沿 光 滑 倾 斜 直 轨 道 运 动 到 M点 ；

5、 c球 由 C点 自 由 下 落 到 M点 ； d球 从 D点 静 止 出 发 沿 圆 环 运 动 到 M点 。 则 ： （ ） A、 a球 最 先 到 达 M点 B、 b球 最 先 到 达 M点C、 c 球 最 先 到 达 M 点 D、 d 球 最 先 到 达 M 点5【延伸 3】如图所示，AB 和 CD 是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为 R 和 r 的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点 P，有一个小球由静止分别从 A 滑到 B 和从 C滑到 D，所用的时间分别为 t1 和 t2，则 t1 和 t2 之比为（ ）A1：1 B1：2C ：1 D1：解析：对物体受力分析可知：当重

6、物从 A 点下落时，重物受重力 mg，支持力 F，在沿斜面方向上加速度是 a1，重力分mgcos30=ma16 点评：学会在模型的启发下找到解决问题的思路和方法。 跟踪练习：1.如图所示，ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出） ，三个滑环分别从 a、b、c 处释放（初速为 0） ，用 t1、t 2、t 3依次表示各滑环到达 d 所用的时间，则（）7A.t1t2t3 C.t3t1t2 D.t1=t2=t32.倾角为 30的长斜坡上有 C、 O、 B 三点， CO = OB = 1

7、0m，在 C 点竖直地固定一长 10 m的直杆 AO。 A 端与 C 点间和坡底 B 点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点） ，将两球从 A 点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图 1 所示，则小球在钢绳上 tAC和 tAB分别为（取 g = 10m/s2）A2s 和 2s B 和 2s C 和 4s D4s 和3.在一竖直墙面上固定一光滑的杆 AB，如图所示，BD 为水平地面，ABD 三点在同一竖直平面内，且连线 AC=BC=0.1m 一小球套在杆上自 A 端滑到 B 端的时间为：（ ）4.如图所示，在倾角为 的传送带的正上方，有一发货口 A。为了使货物从静止开始，由A

8、 点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角 应为多少？8答案与解析：解得： , 钢球滑到斜坡时间 t 跟钢绳与竖直方向夹角 无关，且都等于由 A 到D 的自由落体运动时间。代入数值得 t=2s，选项 A 正确。3.以 C 为圆心作一个参考园。由结论知，小球自 A 到 B 运动的时间与自 A 到 B 自由落体运动的时间相等。即 AE=2R=0.2mAE= gt t=0.2s4.如图所示，首先以发货口 A 点为最高点作一个圆 O 与传送带相切，切点为 B，然后过圆心 O 画一条竖直线 ，而连接 A、B 的直线，就是既过发货口 A，又过切点 B 的惟一的弦。9根据“等时圆”的规律，货物沿 AB 弦到达传送带的时间最短。因此，斜槽应沿 AB 方向安装。AB 所对的圆周角 为圆心角的一半，而圆心角又等于 ，所以 。