法学案新人教A版选修2_2.doc

1、12.3 数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题知识点 数学归纳法对于一个与正整数有关的等式 n(n1)( n2)( n50)0.思考 1 验证当 n1， n2， n50 时等式成立吗？答案 成立思考 2 能否通过以上等式归纳出当 n51 时等式也成立？为什么？答案 不能，上面的等式只对 n 取 1 至 50 的正整数成立梳理 (1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0N *)时命题成立；(归纳递推)假设当 n k(k n0， kN *)时命题成立，证明当 n

2、k1 时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立这种证明方法叫做数学归纳法(2)数学归纳法的框图表示21与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法( )2数学归纳法的第一步 n0的初始值一定为 1.( )3数学归纳法的两个步骤缺一不可( )类型一 用数学归纳法证明等式例 1 用数学归纳法证明：1427310 n(3n1) n(n1) 2，其中 nN *.考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 (1)当 n1 时，左边144，右边12 24，左边右边，等式成立(2)假设当 n k(k1， kN *)时等式成立，即 142731

3、0 k(3k1) k(k1) 2，那么当 n k1 时，1427310 k(3k1)( k1)3( k1)1 k(k1) 2( k1)3( k1)1( k1)( k24 k4)( k1)( k1)1 2，即当 n k1 时等式也成立根据(1)和(2)可知等式对任何 nN *都成立反思与感悟 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清 n 取第一个值 n0时等式两端项的情况；二是弄清从 n k 到 n k1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明 n k1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝 n k1 证明目标的表达式变形跟踪训练 1 求证：1 (nN *)12 13 14 12

4、n 1 12n 1n 1 1n 2 12n考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 (1)当 n1 时，左边1 ，12 12右边 ，左边右边11 1 12(2)假设当 n k(k1， kN *)时等式成立，即 1 12 13 14 12k 1 12k ，1k 1 1k 2 12k则当 n k1 时，3(112 13 14 12k 1 12k) ( 12k 1 12k 2) (1k 1 1k 2 12k) ( 12k 1 12k 2) .1k 2 1k 3 12k 1 12k 1即当 n k1 时，等式也成立综合(1)，(2)可知，对一切 nN *，等式成立4类型二 用数学归纳

5、法证明不等式例 2 求证： (n2， nN *)1n 1 1n 2 13n56考点 用数学归纳法证明不等式题点 利用数学归纳法证明不等式证明 (1)当 n2 时，左边 ，13 14 15 16 5760故左边右边，不等式成立(2)假设当 n k(k2， kN *)时，命题成立，即 ，1k 1 1k 2 13k56则当 n k1 时， 1k 1 1 1k 1 2 13k 13k 1 13k 2 13k 1 1k 1 1k 2 13k ( 13k 1 13k 2 13k 3 1k 1) .(*)56 ( 13k 1 13k 2 13k 3 1k 1)方法一 (分析法)下面证(*)式 ，56即 0，

6、13k 1 13k 2 13k 3 1k 1只需证(3 k2)(3 k3)(3 k1)(3 k3)(3 k1)(3 k2)3(3 k1)(3 k2)0，只需证(9 k215 k6)(9 k212 k3)(9 k29 k2)(27 k227 k6)0，只需证 9k50，显然成立所以当 n k1 时，不等式也成立方法二 (放缩法)(*)式 ，(313k 3 1k 1) 56 56所以当 n k1 时，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对一切 n2， nN *均成立引申探究 把本例改为求证： (nN *)1n 1 1n 2 1n 3 1n n1124证明 (1)当 n1 时，左边 ，不等式成立

7、1211245(2)假设当 n k(k1， kN *)时，不等式成立，即 ，1k 1 1k 2 1k 3 1k k1124则当 n k1 时， 1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 2 1k 1 1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 2 1k 1 ，1124 12k 1 12k 2 1k 1 0，12k 1 12k 2 1k 1 2k 1 2k 1 22k 12k 12k 1 12k 12k 1 ，1k 1 1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 2 1k 11124 12k 1 12k 2 1k 11124当 n k1 时，不等式成立由(1)(2)知对于任意正整数

8、 n，不等式成立反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个 n 的值时，要注意 n0不一定为 1，若 nk(k 为正整数)，则 n0 k1.(2)证明不等式的第二步中，从 n k 到 n k1 的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设(3)用数学归纳法证明与 n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对 n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个 n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(4)用数学归纳法证明不等式的

9、关键是由 n k 时成立得 n k1 时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等跟踪训练 2 在数列 an中，已知 a1 a(a2)， an1 (nN *)，用数学归纳法证明：a2n2an 1an2(nN *)考点 用数学归纳法证明不等式题点 利用数学归纳法证明不等式证明 当 n1 时， a1 a2，命题成立；假设当 n k(k1， kN *)时，命题成立，即 ak2，则当 n k1 时，ak1 2 2 0，a2k2ak 1 ak 222ak 1当 n k1 时，命题也成立由得，对任意正整数 n，都有 an2.6类型三 归纳猜想证明例 3 已知数列 an满足关系式 a1 a(a0)，

10、an (n2， nN *)，2an 11 an 1(1)用 a 表示 a2， a3， a4；(2)猜想 an的表达式(用 a 和 n 表示)，并用数学归纳法证明考点 数学归纳法证明数列问题题点 利用数学归纳法证明数列通项问题解 (1) a2 ，2a1 aa3 ，2a21 a222a1 a1 2a1 a 4a1 3aa4 .2a31 a324a1 3a1 4a1 3a 8a1 7a(2)因为 a1 a ，20a1 20 1aa2 ，21a1 21 1a猜想 an .2n 1a1 2n 1 1a下面用数学归纳法证明当 n1 时，因为 a1 a ，20a1 20 1a所以当 n1 时猜想成立假设当

11、n k(k1， kN *)时猜想成立，即 ak ，2k 1a1 2k 1 1a所以当 n k1 时，ak1 2ak1 ak2ka1 2k 1 1a1 2k 1a1 2k 1 1a72ka1 2k 1 1a 2k 1a2ka1 22k 1a a ，2k 1 1a1 2k 1 1 1a所以当 n k1 时猜想也成立根据与可知猜想对一切 nN *都成立反思与感悟 “归纳猜想证明”的一般步骤跟踪训练 3 考察下列各式2213441345681355678161357你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？考点 用数学归纳法证明等式题点 等式中的归纳，猜想、证明解 由题意得，221,34413,45

12、68135,5678161357，猜想：( n1)( n2)( n3)2 n2 n135(2n1)，下面利用数学归纳法进行证明(1)当 n1 时，猜想显然成立；(2)假设当 n k(k1， kN *)时，猜想成立，即( k1)( k2)(k3)2 k2 k135(2k1)，那么当 n k1 时，(k11)( k12)( k13)2( k1)( k1)( k2)2 k(2k1)22 k135(2k1)(2 k1)22 k1 135(2k1)2 k1 1352(k1)18所以当 n k1 时猜想成立根据(1)(2)可知对任意正整数猜想均成立.1已知 f(n)1 (nN *)，计算得 f(2) ，

13、f(4)2， f(8) ， f(16)12 13 1n 32 523， f(32) ，由此推算：当 n2 时，有( )72A f(2n) (nN *)2n 12B f(2n) (nN *)2n 1 12C f(2n) (nN *)2n 12D f(2n) (nN *)n 22考点 利用数学归纳法证明不等式题点 不等式中的归纳、猜想、证明答案 D解析 f(4)2 改写成 f(22) ； f(8) 改写成 f(23) ； f(16)3 改写成 f(24)2 22 52 3 22； f(32) 改写成 f(25) ，由此可归纳得出：当 n2 时， f(2n) (nN *)4 22 72 5 22 n

14、 222用数学归纳法证明“1 a a2 a2n1 (a1)” 在验证 n1 时，左端计1 a2n 21 a算所得项为( )A1 a B1 a a2C1 a a2 a3 D1 a a2 a3 a4考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第一步：归纳奠基答案 C解析 将 n1 代入 a2n1 得 a3，故选 C.3若命题 A(n)(nN *)在 n k(kN *)时成立，则有 n k1 时命题成立现知命题对n n0(n0N *)时成立，则有( )A命题对所有正整数都成立9B命题对小于 n0的正整数不成立，对大于或等于 n0的正整数都成立C命题对小于 n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n

15、0的正整数都成立D以上说法都不正确考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 C解析 由已知，得 n n0(n0N *)时命题成立，则 n n01 时命题成立，在 n n01 时命题成立的前提下，又可推得， n( n01)1 时命题也成立，依此类推，可知选 C.4用数学归纳法证明 122 22 n1 2 n1( nN *)的过程如下：(1)当 n1 时，左边1，右边2 111，等式成立(2)假设当 n k(kN *)时等式成立，即 122 22 k1 2 k1，则当 n k1 时，122 22 k1 2 k 2 k1 1.所以当 n k1 时，等式也成立由此可知1 2k 1

16、1 2对于任何 nN *，等式都成立上述证明，错误是_考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 未用归纳假设解析 本题在由 n k 成立证明 n k1 成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符5用数学归纳法证明： (nN *)1213 2235 n22n 12n 1 nn 122n 1考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 当 n1 时，左边 ，1213 13右边 ，11 1221 1 13左边右边，等式成立假设当 n k(k1， kN *)时，等式成立即 ，1213 2235 k22k 12k 1 kk 122k

17、110当 n k1 时，左边 1213 2235 k22k 12k 1 k 122k 12k 3 kk 122k 1 k 122k 12k 3kk 12k 3 2k 1222k 12k 3k 12k2 5k 222k 12k 3 ，k 1k 222k 3右边 ，k 1k 1 122k 1 1 k 1k 222k 3左边右边，等式成立即对所有 nN *，原式都成立在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是 1.(2)递推是关键：正确分析由 n k 到 n k1 时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心

18、：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、选择题1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n3)条时，第一步应验证 n 等于( )12A1 B2C3 D4考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第一步：归纳奠基答案 C解析 由凸多边形的性质，应先验证三角形，故选 C.2某个命题与正整数有关，如果当 n k(kN *)时，该命题成立，那么可推得当 n k111时，该命题也成立现在已知当 n5 时，该命题成立，那么可推导出( )A当 n6 时命题不成立B当 n6 时命题成立C当 n4 时命题不成立D当 n4 时命题成立考点 数学

19、归纳法定义及原理题点 数学归纳第二步：归纳递推答案 B3设 Sk ，则 Sk1 为( )1k 1 1k 2 1k 3 12kA Sk B Sk 12k 2 12k 1 12k 2C Sk D Sk 12k 1 12k 2 12k 2 12k 1考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 C解析 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由 Sk ，1k 1 1k 2 12k得 Sk1 .1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 1由，得 Sk1 Sk 12k 1 12k 1 1k 1 .12k 1 12k 1故 Sk1 Sk .12k 1 12k 14一个与正整数 n 有

20、关的命题中，当 n2 时命题成立，且由 n k 时命题成立，可以推得n k2 时命题也成立，则( )A该命题对于 n2 的自然数 n 都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与 k 取值无关D以上答案都不对考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推12答案 B解析 由 n k 时命题成立，可以推出 n k2 时命题也成立，且使命题成立的第一个正偶数 n02.故对所有的正偶数都成立5设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k) k2成立时，总可推出f(k1)( k1) 2成立” ，那么，下列命题总成立的是( )A若 f(3)9 成立，则当 k

21、1 时，均有 f(k) k2成立B若 f(5)25 成立，则当 k5 时，均有 f(k) k2成立C若 f(7)n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值 n0最小应当是_考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第一步：归纳奠基答案 109证明：假设当 n k(kN *)时等式成立，即 242 k k2 k，那么242 k2( k1) k2 k2( k1)( k1) 2( k1)，即当 n k1 时等式也成立因此对于任何 nN *等式都成立以上用数学归纳法证明“242 n n2 n(nN *)”的过程中的错误为_考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 缺少步骤归纳奠

22、基10已知 f(n)1 ， nN *，用数学归纳法证明 f(2n) 时， f(2n1 ) f(2n)12 13 1n n2_.考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 12n 1 12n 2 12n 1三、解答题11用数学归纳法证明 (n2， nN *)(114)(1 19)(1 116) (1 1n2) n 12n考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 (1)当 n2 时，左边1 ，14 34右边 ，2 122 34所以左边右边，所以当 n2 时等式成立(2)假设当 n k(k2， kN *)时等式成立，即 ，(114)(1 19)(1 116) (

23、1 1k2) k 12k那么当 n k1 时， (114)(1 19)(1 116) (1 1k2)1 1k 12 k 12k1 1k 1214 k 12k kk 2k 12 ，k 22k 1 k 1 12k 1即当 n k1 时，等式成立综合(1)(2)知，对任意 n2， nN *，等式恒成立1512用数学归纳法证明： 1 (n2， nN *)122 132 142 1n2 1n考点 用数学归纳法证明不等式题点 利用数学归纳法证明不等式证明 (1)当 n2 时，左式 ，122 14右式1 .12 12因为 ，所以不等式成立1412(2)假设当 n k(k2， kN *)时，不等式成立，即 1

24、 ，122 132 142 1k2 1k则当 n k1 时， 1 122 132 142 1k2 1k 12 1k 1k 121 1 1k 12 kkk 12 k2 k 1kk 12 kk 1kk 121 ，1k 1所以当 n k1 时，不等式也成立综上所述，对任意 n2 的正整数，不等式都成立四、探究与拓展13 用 数 学 归 纳 法 证 明 “34n 1 52n 2(n N*)能 被 14 整 除 ”时 ， 当 n k 1 时，3 4(k1)1 5 2(k1)2 应变形为_考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 3 4(34k1 5 2k2 )5 2k2 144解析

25、 3 4(k1)1 5 2(k1)2 3 434k1 5 252k2 3 434k1 3 452k2 5 252k2 3 452k2 3 4(34k1 5 2k2 )5 2k2 (345 2)3 4(34k1 5 2k2 )5 2k2 144.14已知数列 an的前 n 项和 Sn1 nan(nN *)(1)计算 a1， a2， a3， a4；(2)猜想 an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论考点 数学归纳法证明数列问题题点 利用数学归纳法证明数列通项问题16解 (1)计算得 a1 ； a2 ； a3 ； a4 .12 16 112 120(2)猜想： an .1nn 1下面用数学归纳法证明当 n1 时，猜想显然成立假设当 n k(k1， kN *)时，猜想成立，即 ak ，1kk 1那么，当 n k1 时， Sk1 1( k1) ak1 ，即 Sk ak1 1( k1) ak1 .又 Sk1 kak ，kk 1所以 ak1 1( k1) ak1 ，kk 1从而 ak1 ，1k 1k 2 1k 1k 1 1即 n k1 时，猜想也成立故由和可知猜想成立