1、1规范答题示例 8 函数的单调性、极值与最值问题典例 8 (12 分)已知函数 f(x)ln x a(1 x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围审题路线图 .求 f x 讨 论 f x 的 符 号 fx单 调 性 fx最 大 值 解 fxmax2a 2规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板2解 (1) f(x)的定义域为(0，)， f( x) a(x0).1x若 a0，则 f( x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增.若 a0，则当 x 时， f( x)0；(0，1a)当 x 时， f( x)0 时， f(x
2、)在 上单调递增，在 上单调递减.6(0，1a) (1a， )分(2)由(1)知，当 a0 时， f(x)在(0，)上无最大值，不合题意；当 a0 时， f(x)在 x 处取得最大值，1a最大值为 f ln a ln a a1.(1a) (1a) (1 1a)因此 f 2a2 等价于 ln a a11 时， g(a)0.因此， a 的取值范围是(0,1).12 分第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数.第二步定符号：通过讨论确定f( x)的符号.第三步写区间：利用 f( x)的符号确定函数的单调性.第四步求最值：根据函数单调性求出函数最值.评分细则 (1)函数求导正确给 1 分；(2)分
3、类讨论，每种情况给 2 分，结论 1 分；(3)求出最大值给 2 分；(4)构造函数 g(a)ln a a1 给 2 分；(5)通过分类讨论得出 a 的范围，给 2 分跟踪演练 8 (2018全国)已知函数 f(x) x3 a(x2 x1)13(1)若 a3，求 f(x)的单调区间；(2)证明： f(x)只有一个零点3(1)解 当 a3 时， f(x) x33 x23 x3，13f( x) x26 x3.令 f( x)0，解得 x32 或 x32 .3 3当 x(，32 )(32 ，)时， f( x)0；3 3当 x(32 ，32 )时， f( x)0 在 R 上恒成立，所以 f(x)0 等价于 3 a0.x3x2 x 1设 g(x) 3 a，x3x2 x 1则 g( x) 0 在 R 上恒成立，当且仅当 x0 时 g( x)0，x2x2 2x 3x2 x 12所以 g(x)在(，)上单调递增故 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点又 f(3a1)6 a22 a 6 2 0，故 f(x)有一个零点13综上， f(x)只有一个零点
