（全国通用版）2019高考数学二轮复习专题四立体几何第2讲空间中的平行与垂直学案文.doc

1、1第 2 讲 空间中的平行与垂直考情考向分析 1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档热点一 空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断例 1 (1)若 m， n 是两条不同的直线，

2、， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A若 m ， n ， ，则 m nB若 m ， n ， ，则 m nC若 m ， n ， ，则 m nD若 m ， n ， ，则 m n答案 A解析 对于选项 A，由 n ， 可得 n 或 n ，又 m ，所以可得 m n，故 A 正确；对于选项 B，由条件可得 m n 或 m n，故 B 不正确；对于选项 C，由条件可得 m n 或 m， n 相交或 m， n 异面，故 C 不正确；2对于选项 D，由题意得 m n，故 D 不正确(2)如图，平面 平面 ， l， A， C 是 内不同的两点， B， D 是 内不同的两点，且 A， B， C， D直

3、线 l， M， N 分别是线段 AB， CD 的中点下列判断正确的是( )A当 CD2 AB 时， M， N 两点不可能重合B M， N 两点可能重合，但此时直线 AC 与 l 不可能相交C当 AB 与 CD 相交，直线 AC 平行于 l 时，直线 BD 可以与 l 相交D当 AB， CD 是异面直线时，直线 MN 可能与 l 平行答案 B解析 由于直线 CD 的两个端点都可以动，所以 M， N 两点可能重合，此时两条直线 AB， CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形 ACBD 是平行四边形，因此 AC BD，而BD ， ACB，所以由线面平行的判定定理可得 AC ，又因为 AC ， l

4、，所以由线面平行的性质定理可得 AC l，故选 B.思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中跟踪演练 1 (1)(2018揭阳模拟)已知直线 a， b，平面 ， ， ，下列命题正确的是( )A若 ， ， a，则 a B若 a， b， c，则 a b cC若 a， b a，则 b D若 ， a， b ，则 b a答案 A解析 A 中，若 ， ， a，则 a ，该说法正确；B 中，

5、若 a， b， c，在三棱锥 P ABC 中，令平面 ， ， 分别为平面 PAB， PAC， PBC，交线 a， b， c 为 PA， PB， PC，不满足 a b c，该说法错误；C 中，若 a， b a，有可能 b ，不满足 b ，该说法错误；D 中，若 ， a， b ，正方体 ABCD A1B1C1D1中，取平面 ， 为平面 ABCD， ADD1A1，直线 b 为 A1C1，满足 b ，不满足 b a，该说法错误3(2)(2018资阳模拟)如图，平面 与平面 相交于 BC， AB ， CD ，点 ABC，点DBC，则下列叙述错误的是( )A直线 AD 与 BC 是异面直线B过 AD 只能

6、作一个平面与 BC 平行C过 AD 只能作一个平面与 BC 垂直D过 D 只能作唯一平面与 BC 垂直，但过 D 可作无数个平面与 BC 平行答案 C解析 由异面直线的判定定理得直线 AD 与 BC 是异面直线；在平面 内仅有一条直线过点D 且与 BC 平行，这条直线与 AD 确定一个平面与 BC 平行，即过 AD 只能作一个平面与 BC 平行；若 AD 垂直于平面 ，则过 AD 的平面都与 BC 垂直，因此 C 错；过 D 只能作唯一平面与BC 垂直，但过 D 可作无数个平面与 BC 平行热点二 空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、

7、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化例 2 (1)(2018衡水调研)如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面PAB平面 ABCD，点 E 是 PD 的中点，棱 PA 与平面 BCE 交于点 F.求证： AD EF；若 PAB 是正三角形，求三棱锥 P BEF 的体积证明 因为底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，所以 BC AD.4又因为 BC平面 PAD， AD平面 PAD，所以 BC平面 PAD.又因为 B， C， E， F 四点共面，且平面 BCEF平面 PAD EF，所以 BC EF.又因为 BC AD，所以 AD EF.解 由知， AD EF，

8、点 E 是 PD 的中点，所以点 F 为 PA 的中点， EF AD1.12又因为平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD AB， AD AB，所以 AD平面 PAB，所以 EF平面 PAB.又因为 PAB 是正三角形，所以 PA PB AB2，所以 S PBF S PBA .12 32又 EF1，所以 VP BEF VE PBF 1 .13 32 36故三棱锥 P BEF 的体积为 .36(2)(2018北京)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面ABCD， PA PD， PA PD， E， F 分别为 AD， PB 的中点求证： PE BC

9、；求证：平面 PAB平面 PCD；求证： EF平面 PCD.证明 因为 PA PD， E 为 AD 的中点，所以 PE AD.因为底面 ABCD 为矩形，所以 BC AD，所以 PE BC.因为底面 ABCD 为矩形，所以 AB AD.又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， AB平面 ABCD，所以 AB平面 PAD，又 PD平面 PAD，所以 AB PD.又因为 PA PD， PA AB A， PA， AB平面 PAB，5所以 PD平面 PAB.又 PD平面 PCD，所以平面 PAB平面 PCD.如图，取 PC 的中点 G，连接 FG， DG.因为 F， G 分

10、别为 PB， PC 的中点，所以 FG BC， FG BC，12因为四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，所以 DE BC， DE BC.12所以 DE FG， DE FG.所以四边形 DEFG 为平行四边形，所以 EF DG.又因为 EF平面 PCD， DG平面 PCD，所以 EF平面 PCD.思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用

11、的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l ， a l a.跟踪演练 2 (2018全国)如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 ACD所在平面垂直， M 是ACD上异于 C， D 的点(1)证明：平面 AMD平面 BMC.(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由(1)证明 由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.6因为 BC CD， BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，又 DM平面 CMD，故 BC DM.因为 M 为 ACD上异于 C， D 的点，

12、且 DC 为直径，所以 DM CM.又 BC CM C， BC， CM平面 BMC，所以 DM平面 BMC.又 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC.(2)解 当 P 为 AM 的中点时， MC平面 PBD.证明如下：连接 AC， BD，交于点 O.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 的中点连接 OP，因为 P 为 AM 的中点，所以 MC OP.又 MC平面 PBD， OP平面 PBD，所以 MC平面 PBD.热点三 平面图形的翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在

13、一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法例 3 (2018北京海淀区期末)如图 1，已知菱形 AECD 的对角线 AC， DE 交于点 F，点 E 为AB 中点将 ADE 沿线段 DE 折起到 PDE 的位置，如图 2 所示(1)求证： DE平面 PCF；(2)求证：平面 PBC平面 PCF；(3)在线段 PD， BC 上是否分别存在点 M， N，使得平面 CFM平面 PEN？若存在，请指出点M， N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由7(1)证明 折叠

14、前，因为四边形 AECD 为菱形，所以 AC DE，所以折叠后， DE PF， DE CF，又 PF CF F， PF， CF平面 PCF，所以 DE平面 PCF.(2)证明 因为四边形 AECD 为菱形，所以 DC AE， DC AE.又点 E 为 AB 的中点，所以 DC EB， DC EB，所以四边形 DEBC 为平行四边形，所以 CB DE.又由(1)得， DE平面 PCF，所以 CB平面 PCF.因为 CB平面 PBC，所以平面 PBC平面 PCF.(3)解 存在满足条件的点 M， N，且 M， N 分别是 PD 和 BC 的中点如图，分别取 PD 和 BC 的中点 M， N.连接

15、EN， PN， MF， CM.因为四边形 DEBC 为平行四边形，所以 EF CN， EF BC CN，12所以四边形 ENCF 为平行四边形，所以 FC EN.在 PDE 中， M， F 分别为 PD， DE 的中点，所以 MF PE.又 EN， PE平面 PEN， PE EN E， MF， CF平面 CFM， MF CF F，所以平面 CFM平面 PEN.思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论8跟踪演练 3 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， AB BC， B

16、D DC，点 E 是 BC 边的中点，将 ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AE， AC， DE，得到如图所示的空间几何体(1)求证： AB平面 ADC；(2)若 AD1， AB ，求点 B 到平面 ADE 的距离2(1)证明 因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD BD，又 BD DC， DC平面 BCD，所以 DC平面 ABD.因为 AB平面 ABD，所以 DC AB.又 AD AB， DC AD D， AD， DC平面 ADC，所以 AB平面 ADC.(2)解 因为 AB ， AD1，所以 BD .2 3依题意 ABD DCB，所以 ，即 .ABA

17、D CDBD 21 CD3所以 CD .6故 BC3.由于 AB平面 ADC，所以 AB AC，又 E 为 BC 的中点，所以 AE .BC2 32同理 DE .BC2 32所以 S ADE 1 .12 (32)2 (12)2 22因为 DC平面 ABD，所以 VABCD CDS ABD .13 33设点 B 到平面 ADE 的距离为 d，则 dS ADE VBADE VABDE VABCD ，13 12 36所以 d ，629即点 B 到平面 ADE 的距离为 .62真题体验1(2017全国改编)如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， Q为所在棱的中点，则在这

18、四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是_(填序号)答案 (1)解析 对于(1)，作如图所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QD AB. QD平面 MNQ Q， QD 与平面 MNQ 相交，直线 AB 与平面 MNQ 相交；对于(2)，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ，又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ， AB平面 MNQ；对于(3)，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ，10又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ， AB平面 MNQ；对于(4)，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD NQ， AB NQ

19、，又 AB平面 MNQ， NQ平面 MNQ， AB平面 MNQ.2(2017江苏)如图，在三棱锥 ABCD 中， AB AD， BC BD，平面 ABD平面 BCD，点E， F(E 与 A， D 不重合)分别在棱 AD， BD 上，且 EF AD.求证：(1) EF平面 ABC；(2)AD AC.证明 (1)在平面 ABD 内，因为 AB AD， EF AD，所以 AB EF.又 EF平面 ABC， AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD BD， BC平面 BCD， BC BD，所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以

20、 BC AD.又 AB AD， BC AB B， AB平面 ABC，BC平面 ABC，所以 AD平面 ABC.又 AC平面 ABC，所以 AD AC.押题预测1不重合的两条直线 m， n 分别在不重合的两个平面 ， 内，下列为真命题的是( )A m nm B m n C m D m n 押题依据 空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力答案 C解析 构造长方体，如图所示11因为 A1C1 AA1， A1C1平面 AA1C1C， AA1平面 AA1B1B，但

21、 A1C1与平面 AA1B1B 不垂直，平面AA1C1C 与平面 AA1B1B 也不垂直，所以选项 A，B 都是假命题CC1 AA1，但平面 AA1C1C 与平面 AA1B1B 相交而不平行，所以选项 D 为假命题“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选 C.2如图(1)，在正 ABC 中， E， F 分别是 AB， AC 边上的点，且 BE AF2 CF.点 P 为边 BC上的点，将 AEF 沿 EF 折起到 A1EF 的位置，使平面 A1EF平面 BEFC，连接A1B， A1P， EP，如图(2)所示(1)求证： A1E FP；(2)若 BP BE，点 K

22、 为棱 A1F 的中点，则在平面 A1FP 上是否存在过点 K 的直线与平面 A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由押题依据 以平面图形的翻折为背景，探索空间直线与平面位置关系，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题方向(1)证明 在正 ABC 中，取 BE 的中点 D，连接 DF，如图所示因为 BE AF2 CF，所以 AF AD， AE DE，而 A60，所以 ADF 为正三角形又AE DE，所以 EF AD.所以在题图(2)中， A1E EF，又 A1E平面 A1EF，平面 A1EF平面 BEFC，且平面 A1EF平面 BEFC EF，所以 A

23、1E平面 BEFC.因为 FP平面 BEFC，所以 A1E FP.(2)解 在平面 A1FP 上存在过点 K 的直线与平面 A1BE 平行理由如下：12如题图(1)，在正 ABC 中，因为 BP BE， BE AF，所以 BP AF，所以 FP AB，所以 FP BE.如图所示，取 A1P 的中点 M，连接 MK，因为点 K 为棱 A1F 的中点，所以 MK FP.因为 FP BE，所以 MK BE.因为 MK平面 A1BE， BE平面 A1BE，所以 MK平面 A1BE.故在平面 A1FP 上存在过点 K 的直线 MK 与平面 A1BE 平行A 组 专题通关1若 m， n 是两条不同的直线，

24、 ， ， 是三个不同的平面： m n， m n ； ， m ， n m n； ， m n， m n ；若 m， n， m n，则 .则以上说法中正确的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 对于， m n， m n ，正确；对于，两平行平面内的两条直线可能是异面直线，故错误；对于， ， m n， m n ，正确；对于，若 m， n， m n，则 ，错误，如三棱柱的两个侧面都与第三个侧面相交，交线平行，但是这两个面相交故选 B.2如图， G， H， M， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 GH， MN 是异面直线的图形的序号为( )13A B C D答案 D解析 由题意可得

25、图中 GH 与 MN 平行，不合题意；图中 GH 与 MN 异面，符合题意；图中 GH 与 MN 相交，不合题意；图中 GH 与 MN 异面，符合题意则表示 GH， MN 是异面直线的图形的序号为.3(2018抚顺模拟)给出下列四个命题：如果平面 外一条直线 a 与平面 内一条直线 b 平行，那么 a ；过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面其中真命题的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 对于，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线 a

26、 与平面 内一条直线 b平行，那么 a ，故正确；对于，因为垂直于同一平面的两直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；对于，平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；对于，因为两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确4(2018全国)在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( )A. B. C. D.

27、22 32 52 72答案 C解析 如图，因为 AB CD，14所以 AE 与 CD 所成角为 EAB.在 Rt ABE 中，设 AB2，则 BE ，5则 tan EAB ，BEAB 52所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 .525(2018全国)在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC2， AC1与平面 BB1C1C 所成的角为30，则该长方体的体积为( )A8 B6 C8 D82 2 3答案 C解析 如图，连接 AC1， BC1， AC. AB平面 BB1C1C， AC1B 为直线 AC1与平面 BB1C1C 所成的角， AC1B30.又 AB BC2，在 Rt A

28、BC1中，AC1 4，2sin 30在 Rt ACC1中， CC1 2 ，AC21 AC2 42 22 22 2 V 长方体 ABBCCC1222 8 .2 2故选 C.6已知 m， n， l1， l2表示不同的直线， ， 表示不同的平面，若m ， n ， l1 ， l2 ， l1 l2 M，则 的一个充分条件是( )A m 且 l1 B m 且 n C m 且 n l2 D m l1且 n l2答案 D解析 对于选项 A，当 m 且 l1 时， ， 可能平行也可能相交，故 A 不是 15的充分条件；对于选项 B，当 m 且 n 时，若 m n，则 ， 可能平行也可能相交，故 B 不是 的充分

29、条件；对于选项 C，当 m 且 n l2时， ， 可能平行也可能相交，故 C 不是 的充分条件；对于选项 D，当 m l1， n l2时，由线面平行的判定定理可得 l1 ， l2 ，又 l1 l2 M，由面面平行的判定定理可以得到 ，但 时， m l1且 n l2不一定成立，故 D 是 的一个充分条件故选 D.7在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为线段 B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号) AC BE； B1E平面 ABCD；三棱锥 E ABC 的体积为定值；直线 B1E直线 BC1.答案 解析 因为 AC平面 BDD1B1， BE平面 BDD1B1，所以 AC

30、BE，故正确；因为 B1D1 BD，即 BD B1E， B1E平面 ABCD， BD平面 ABCD，所以 B1E平面 ABCD，故正确；记正方体的体积为 V，则 VE ABC V 为定值，故正确；16B1E 与 BC1不垂直，故错误8.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面是以 ABC 为直角的等腰直角三角形， AC2 a， BB13 a，点 D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1上，当 AF_时，CF平面 B1DF.答案 a 或 2a解析 由题意易知， B1D平面 ACC1A1，又 CF平面 ACC1A1，所以 B1D CF.要使 CF平面 B1DF，

31、只需 CF DF 即可16令 CF DF，设 AF x，则 A1F3 a x.易知 Rt CAFRt FA1D，得 ，即 ，ACA1F AFA1D 2a3a x xa整理得 x23 ax2 a20，解得 x a 或 x2 a.9(2018全国)如图，在三棱锥 P ABC 中， AB BC2 ， PA PB PC AC4， O 为2AC 的中点(1)证明： PO平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC2 MB，求点 C 到平面 POM 的距离(1)证明 因为 PA PC AC4， O 为 AC 的中点，所以 OP AC，且 OP2 .3如图，连接 OB.因为 AB BC AC，22

32、所以 ABC 为等腰直角三角形，所以 OB AC， OB AC2.12由 OP2 OB2 PB2知 PO OB.因为 OP OB， OP AC， OB AC O， OB， AC平面 ABC，所以 PO平面 ABC.(2)解 作 CH OM，垂足为 H，又由(1)可得 OP CH，因为 OM OP O， OM， OP平面 POM，所以 CH平面 POM.故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题意可知 OC AC2， CM BC ，12 23 42317 ACB45，所以在 OMC 中，由余弦定理可得， OM ，253CH .OCMCsin ACBOM 455所以点 C 到平面 POM

33、的距离为 .45510(2018黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)已知 ABC 中，AB BC， BC2， AB4，分别取边 AB， AC 的中点 D， E，将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使 A1D BD.设点 M 为棱 A1D 的中点，点 P 为棱 A1B 的中点，棱 BC 上的点 N 满足 BN3 NC.(1)求证： MN平面 A1EC；(2)求三棱锥 N PCE 的体积(1)证明 取 A1E 的中点 F，连接 MF， CF， M 为棱 A1D 的中点， MF DE 且 MF DE，在 ABC 中， D， E 分别为边 AB， AC 的中点，12 DE BC 且 DE

34、BC，12 MF BC，即 MF NC，且 MF BC NC，14四边形 MFCN 为平行四边形， MN FC， MN平面 A1EC， FC平面 A1EC， MN平面 A1EC.18(2)解 取 BD 的中点 H，连接 PH，则 PH 为 A1BD 的中位线， PH A1D，在 ABC 中， AB BC， DE BC，在空间几何体中， DE DA1， A1D BD， DB DE D， DB， DE平面 BCED， A1D平面 BCED， PH A1D， PH平面 BCED， PH 为三棱锥 P NCE 的高， PH A1D AB1， S NCE NCBD 2 ，12 14 12 12 12 1

35、2 VN PCE VP NCE PHS NCE13 1 .13 12 16B 组 能力提高11(2018河南省南阳市第一中学月考)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点E， F 分别是棱 BC， CC1的中点， P 是侧面 BCC1B1内一点，若 A1P平面 AEF，则线段 A1P 长度的取值范围是( )A. B.(324， 52) 324， 52C. D.1，52 0， 52答案 B解析 如图所示，19分别取棱 BB1， B1C1的中点 M， N，连接 MN， BC1， NE， A1N， A1M， M， N， E， F 分别为所在棱的中点， MN BC1， EF BC

36、1， MN EF，又 MN平面 AEF， EF平面 AEF， MN平面 AEF. AA1 NE， AA1 NE，四边形 AENA1为平行四边形， A1N AE，又 A1N平面 AEF， AE平面 AEF， A1N平面 AEF，又 A1N MN N， A1N， MN平面 A1MN，平面 A1MN平面 AEF. P 是侧面 BCC1B1内一点，且 A1P平面 AEF，点 P 必在线段 MN 上在 Rt A1B1M 中，A1M .A1B21 B1M21 (12)2 52同理，在 Rt A1B1N 中，可得 A1N ，52 A1MN 为等腰三角形当点 P 为 MN 中点 O 时， A1P MN，此时

37、A1P 最短；点 P 位于 M， N 处时， A1P 最长 A1O A1M2 OM2 (52)2 (24)2 ， A1M A1N .324 52线段 A1P 长度的取值范围是 .324， 5212(2018泉州质检)已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都相等， M， N 分别为B1C1， BB1的中点现有下列四个结论：p1： AC1 MN；p2： A1C C1N；p3： B1C平面 AMN；20p4：异面直线 AB 与 MN 所成角的余弦值为 .24其中正确的结论是( )A p1， p2 B p2， p3C p2， p4 D p3， p4答案 C解析 正三棱柱 ABC A1B1C1的所

38、有棱长都相等，M， N 分别为 B1C1， BB1的中点对于 p1：如图所示，MN BC1， BC1 AC1 C1， AC1与 MN 不平行，是异面直线， p1错误；对于 p2：如图所示，连接 AC1，交 A1C 于点 O，连接 ON，易知 A1C AC1， ON平面 ACC1A1， ON A1C，又 ON AC1 O， ON， AC1平面 ONC1， A1C平面 ONC1，又 C1N平面 ONC1， A1C C1N， p2正确；对于 p3：如图所示，取 BC 的中点 O，连接 AO， BC1，过点 O 作 OP BC1，交 CC1于点 P，连接 AP，则 AO平面 BCC1B1，又 B1C平

39、面 BCC1B1， AO B1C，又 BC1 OP， BC1 B1C， B1C OP，又 AO OP O， AO， OP平面 AOP， B1C平面 AOP，又平面 AMN 与平面 AOP 有公共点 A，21 B1C 与平面 AMN 不垂直， p3错误；对于 p4：如图所示，连接 BC1， AC1，则 MN BC1， ABC1是异面直线 AB 与 MN 所成的角，设 AB1，则 AC1 BC1 ，2cos ABC1 ， p4正确22 12 22221 24综上，其中正确的结论是 p2， p4.13.如图，多面体 ABCB1C1D 是由三棱柱 ABC A1B1C1截去一部分后而成， D 是 AA1

40、的中点(1)若 F 在 CC1上，且 CC14 CF， E 为 AB 的中点，求证：直线 EF平面 C1DB1；(2)若 AD AC1， AD平面 ABC， BC AC，求点 C 到平面 B1C1D 的距离(1)证明 方法一 取 AC 的中点 G， CC1的中点 H，连接 AH， GF， GE，如图所示 AD C1H 且 AD C1H，四边形 ADC1H 为平行四边形， AH C1D，又 F 是 CH 的中点， G 是 AC 的中点， GF AH， GF C1D，又 GF平面 C1DB1， C1D平面 C1DB1， GF平面 C1DB1，又 G， E 分别是 AC， AB 的中点， GE BC

41、 B1C1，又 GE平面 C1DB1， B1C1平面 C1DB1，22 GE平面 C1DB1，又 GE GF G， GE平面 GEF， GF平面 GEF，平面 GEF平面 C1DB1，又 EF平面 GEF， EF平面 C1DB1.方法二 取 B1D 的中点 M，连接 EM， MC1，则 EM 是梯形 ABB1D 的中位线， EM BB1 CC1 AD， EM (AD BB1)12 CC1，12(12CC1 CC1) 34又 C1F CC1 CF CC1，34 EM C1F 且 EM C1F，故四边形 EMC1F 为平行四边形， C1M EF，又 EF平面 C1DB1， C1M平面 C1DB1，

42、 EF平面 C1DB1.(2)解 AD平面 ABC， AC平面 ABC， AD AC，又 AD AC1， CC12 AD， AD CC1， C1D2 DC2 AC2 AD22 AD22， C1C24，故 CC CD2 C1D2，即 C1D CD，21又 BC AC， AD BC， AC AD A，AC， AD平面 ACC1D， BC平面 ACC1D，又 CD平面 ACC1D， BC CD，又 B1C1 BC， B1C1 CD，又 DC1 B1C1 C1， DC1， B1C1平面 B1C1D， CD平面 B1C1D，点 C 到平面 B1C1D 的距离为 CD 的长，即为 .22314如图，矩形

43、AB DE(AE6， DE5)，被截去一角(即 BB C)， AB3， ABC135，平面 PAE平面 ABCDE， PA PE10.(1)求五棱锥 P ABCDE 的体积的最大值；(2)在(1)的情况下，证明： BC PB.(1)解 因为 AB3， ABC135，所以 B BC45， BB AB AB532，所以截去的 BB C 是等腰直角三角形，所以 SABCDE SAB DE S BB C65 2228.12如图，过 P 作 PO AE，垂足为 O，因为平面 PAE平面 ABCDE，平面 PAE平面 ABCDE AE， PO平面 PAE，所以 PO平面 ABCDE， PO 为五棱锥 P

44、ABCDE 的高在平面 PAE 内， PA PE10 AE6， P 在以 A， E 为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，由椭圆的几何性质知，当点 P 为短轴端点时， P 到 AE 的距离最大，此时 PA PE5， OA OE3，所以 POmax4，所以( VP ABCDE)max SABCDEPOmax 284 .13 13 1123(2)证明 连接 OB，如图，由(1)知， OA AB3，故 OAB 是等腰直角三角形，所以 ABO45，所以 OBC ABC ABO1354590，即 BC BO.由于 PO平面 ABCDE， BC平面 ABCDE，所以 PO BC，24又 PO BO O， PO， BO平面 POB，所以 BC平面 POB，又 PB平面 POB，所以 BC PB.