1、1专题对点练 6 导数与函数的单调性、极值、最值1.已知函数 f(x)=ln x+ (aR) .axx+1(1)若函数 f(x)在区间(0,4)上单调递增,求 a的取值范围;(2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y=2x相切,求 a的值 .2.已知函数 f(x)=ln x+ ax2-x-m(mZ) .12(1)若 f(x)是增函数,求 a的取值范围;(2)若 a0时,求函数 f(x)的极值;(2)若不等式 f(x)0恒成立 .F (x)在(0, + )上恒为正值,F (x)在(0, + )上单调递增 .F (1)=0,x 0=1代入 式得 a=4.2.解 (1) f(x)= +ax-1,1x
2、依题设可得 a ,(1x-1x2)max而 =- ,当 x=2时,等号成立 .1x-1x2 (1x-12)2+14 14所以 a的取值范围是 .14,+ )(2)由(1)可知 f(x)= +ax-1= .设 g(x)=ax2-x+1,则 g(0)=10,g(1)=a0,当 xx0时, f(x)0.12 12 1x-12=2-x2x所以 r(x)在(0,1)内单调递增 .所以 r(x)0),ax-ex2当 a0时,由 f(x)0,解得 x ,由 f(x)0时,函数 f(x)在区间 内为减函数,在区间 内为增函数,(0,ea) (ea,+ ) 若 e2 ,即 0 ,即 a ,则函数 f(x)的最小
3、值是 f =aln +a,ea 1e (ea) ea令 f =aln +ae2.(ea) ea综上,实数 a的范围是 (e 2,+ ).(- ,-12e)4.解 (1)由题意 f(x)=x2-ax,所以当 a=2时, f(3)=0,f(x)=x2-2x,所以 f(3)=3,因此曲线 y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程是 y=3(x-3),即 3x-y-9=0.(2)因为 g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以 g(x)=f(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x).令 h(x)=x-sin
4、 x,则 h(x)=1-cos x0,所以 h(x)在 R上单调递增 .因为 h(0)=0,所以当 x0时, h(x)0;当 x0,g(x)单调递增;当 x( a,0)时, x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增 .所以当 x=a时 g(x)取到极大值,极大值是 g(a)=- a3-sin a,16当 x=0时 g(x)取到极小值,极小值是 g(0)=-a. 当 a=0时, g(x)=x(x-sin x),当 x( - ,+ )时, g(x)0, g(x)单调递增 .所以 g(x)在( - ,+ )上单调递增, g(x)无极大值也无极小值 . 当 a0时, g(x)=(x-a)(x-sin x).当 x( - ,0)时, x-a0,g(x)单调递增;当 x(0, a)时, x-a0,g(x)0,g(x)单调递增 .所以当 x=0时 g(x)取到极大值,极大值是 g(0)=-a;当 x=a时 g(x)取到极小值,极小值是 g(a)=- a3-sin a.16综上所述:当 a0时,函数 g(x)在( - ,0)和( a,+ )上单调递增,在(0, a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是 g(0)=-a,极小值是 g(a)=- a3-sin a.16
