1、1第 3 讲 平面向量考情考向分析 1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，且为基础题.2.考查平面向量数量积及模的最值问题，以选择题、填空题为主，难度为中高档，是高考考查的热点内容.3.向量作为工具，还常与解三角形、不等式、解析几何等结合，进行综合考查热点一 平面向量的线性运算1在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化2在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接” ，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点” ，结果向量的方向是指向被减向量例 1
2、(1)如图，在 ABC 中， AB3 DB， AE2 EC， CD 与 BE 交于点 F.设 a， b， xa yb，则( x， y)为( )AB AC AF A. B.(25， 25) (14， 13)C. D.(37， 37) (25， 920)2答案 A解析 由 D， F， C 三点共线，可得存在实数 ，使得 ，即 ( )，DF DC AF AD AC AD 则 (1 ) (1 ) AF AD AC 23 AB AC (1 )a b.23由 E， F， B 三点共线，可得存在实数 ，使得 ，EF EB 即 ( )，AF AE AB AE 则 (1 ) (1 )AF AB AE AB 23
3、 AC a (1 )b.23又 a， b 不共线，由平面向量基本定理可得Error!解得 Error!所以 a b.AF 25 25所以 x ， y ，即( x， y) ，故选 A.25 25 (25， 25)(2)已知 A(1,0)， B(1,0)， C(0,1)，过点 P(m,0)的直线分别与线段 AC， BC 交于点M， N(点 M， N 不同于点 A， B， C)，且 x y (x， yR)，若 2| m|3，则 x y 的取OA OM ON 值范围是_答案 12， 13 13， 12解析 设 ，则有| | | m|.OP OA |OP |OA | M， N， P 三点共线，且点 O
4、不在直线 MN 上， n (1 n) .OP OM ON 从而有 n (1 n) x y ，OM ON OM ON 又 与 是不共线向量，OM ON Error! 得 x y .1由 2| |3，得 x y 的取值范围是 .12， 13 13， 123思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系跟踪演练 1 (1)在 ABC 中， ， P 是直线 BN 上的一点，若 m ，则实数 mAN 14NC AP AB 25AC 的值为( )A4 B1C1 D4答案 B解析 因为 kAP AB BP A
5、B BN k (1 k) ，AB (15AC AB ) AB k5AC 且 m ，又 ， 不共线，AP AB 25AC AB AC 所以Error! 解得 k2， m1，故选 B.(2)如图，矩形 ABCD 中， AB3， AD4， M， N 分别为线段 BC， CD 上的点，且满足 1，若 x y ，则 x y 的最小值为_1CM2 1CN2 AC AM AN 答案 54解析 连接 MN 交 AC 于点 G.由勾股定理知， MN2 CM2 CN2，所以 1 ，1CM2 1CN2 MN2CM2CN2即 MN CMCN，所以 C 到直线 MN 的距离为定值 1，此时 MN 是以 C 为圆心，1
6、为半径的圆的一条切线(如图所示). x y ( x y) .AC AM AN ( xx yAM yx yAN )4由向量共线定理知，( x y) ，所以 x y ，AC AG |AC |AG |5|AG |又因为| |max514，所以 x y 的最小值为 .AG 54热点二 平面向量的数量积1数量积的定义： ab| a|b|cos .2三个结论(1)若 a( x， y)，则| a| .aa x2 y2(2)若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| | .AB x2 x12 y2 y12(3)若非零向量 a( x1， y1)，非零向量 b( x2， y2)， 为 a 与 b 的夹角，
7、则 cos .ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21 x2 y2例 2 (1)已知在直角梯形 ABCD 中， AB AD2 CD2， ADC90，若点 M 在线段 AC 上，则| |的取值范围为_MB MD 答案 255， 22解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(2,0)， C(1,2)， D(0,2)，设 (0 1)，则 M( ，2 )，AM AC 故 ( ，22 )， (2 ，2 )，MD MB 则 (22 ，24 )，MB MD | |MB MD 2 2 2 2 4 2 ，20( 35)2 45当 0 时，| |取得最大值 2 ，MB MD 2当 时，|
8、 |取得最小值 ，35 MB MD 2555| | .MB MD 255， 22(2)已知 ，| | ，| | t，若点 P 是 ABC 所在平面内的一点，且 AB AC AB 1t AC AP AB |AB |，则 的最大值为_4AC |AC | PB PC 答案 13解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ， C(0， t)， ， (0， t)，(1t， 0) AB (1t， 0) AC t (0， t)(1,4)，AP AB |AB |4AC |AC | (1t， 0) 4t P(1,4)， (1， t4)17 172 13，当且仅PB PC (1t 1， 4) (1t 4t) 1t4
9、t当 t 时“”成立12思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算跟踪演练 2 (1)如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 1， E 为 AB 的中点，若F 为正方形内(含边界)任意一点，则 的最大值为_OE OF 答案 32解析 E 为 AB 的中点，正方形 OABC 的边长为 1，6 E ，得 ，又 F 为正方形内(含边界)任意一点，设 F(x， y)， ( x， y)，(1，12) OE (1， 12) OF 满足Error! 则 x y，结合线性规划
10、知识可知，当 F 点运动到点 B(1,1)处时， OE OF 12 OE 取得最大值 .OF 32(2)已知直角梯形 ABCD 中， AD BC， BAD90， ADC45， AD2， BC1， P 是腰 CD上的动点，则 的最小值为_|3PA BP |答案 522解析 以 DA 为 x 轴， D 为原点，过 D 与 DA 垂直的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示由 AD BC， BAD90， ADC45， AD2， BC1，可得 D(0,0)， A(2,0)， B(2,1)， C(1,1)， P 在 CD 上，可设 P(t， t)(0 t1)，则 (2 t， t)， ( t2， t
11、1)，PA BP 3 (42 t，2 t1)，PA BP |3PA BP | 4 2t2 2t 12 8(t 34)2 252 252 522(当且仅当 t 时取等号)，34即 的最小值为 .|3PA BP | 522真题体验1(2017浙江)已知向量 a， b 满足| a|1，| b|2，则| a b| a b|的最小值是_，最大值是_答案 4 2 57解析 设 a， b 的夹角为 ，| a|1，| b|2，| a b| a b| a b2 a b2 .5 4cos 5 4cos 令 y .5 4cos 5 4cos 则 y2102 .25 16cos2 0，cos 2 0,1， y216,
12、20， y4,2 ，即| a b| a b|4,2 5 52(2017浙江改编)如图，已知平面四边形 ABCD， AB BC， AB BC AD2， CD3， AC与 BD 交于点 O，记 I1 ， I2 ， I3 ，则 I1， I2， I3的大小关系是OA OB OB OC OC OD _答案 I30，即 I1I3. I30，( m n)21 mn (m n)2，当且仅当 m n 时取等号1415 (m n)21，则 m n ，34 233即 m n 的最大值为 .23310(2018浙江省重点中学联考)已知矩形 ABCD， AB2， BC1，点 E 是 AB 的中点，点 P是对角线 BD
13、上的动点，若 x y ，则 的最小值是_， x y 的最大值是AC AP DE AC AP _答案 1 5解析 如图，建立平面直角坐标系，则 (2,1)， (1，1)，直线 BD 的方程为AC DE y1，x2设点 P(22 t， t)(0 t1)，则 (22 t， t)，AP 44 t t43 t(0 t1)，AC AP 当 t1 时， 取得最小值 1.AC AP 由 x y ，得AC AP DE Error!Error! x y 4(0 t1)，4t 12 t 92 t当 t1 时， x y 取得最大值 5.B 组 能力提高11.(2018天津)如图，在平面四边形 ABCD 中， AB B
14、C， AD CD， BAD120，AB AD1.若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为( )AE BE A. B. C. D32116 32 251616答案 A解析 如图，以 D 为坐标原点， DA， DC 所在直线分别为 x 轴， y 轴，建立平面直角坐标系连接 AC，由题意知 CAD CAB60， ACD ACB30，则 D(0,0)， A(1,0)， B， C(0， )设 E(0， y)(0 y )，(32， 32) 3 3则 (1， y)， ，AE BE ( 32， y 32) y2 y 2 (0 y )，AE BE 32 32 (y 34) 2116 3当 y 时， 有最小
15、值 .34 AE BE 2116故选 A.12.如图，已知圆 O 的半径为 2， A， B 是圆 O 上任意两点，且 AOB ， PQ 是圆 O 的直径，23若点 C 满足 3 3(1 ) ( R)，当 取得最小值时， 的值为( )OC OA OB CP CQ A. B.12 13C. D.14 15答案 A解析 由已知得 0， 4， 22cos 2， 2 24，OP OQ OP OQ OA OB 23 OA OB 所以 ( )( )CP CQ CO OP CO OQ 2( ) 2 3 3(1 ) CO OP OQ CO OQ OP CO OQ OP OA OB 249 2 29(1 )2 2
16、18 (1 ) 436 236(1 )236 (1 )OA OB OA OB 17436(3 23 1)4108 255，当且仅当 时取等号，所以当 ( 12) 12时， 取得最小值 5.故选 A.12 CP CQ 13(2018嘉兴市、丽水市教学测试)已知| c|2，向量 b 满足 2|b c| bc.当 b， c 的夹角最大时，|b|_.答案 2 2解析 设 b， c ，则由 2|b c| bc 得4(b c)2( bc)2，即 4|b|2sin2 16| b|cos 160，则 4cos | b|sin2 2 4sin ，4|b| |b|sin2 4|b|当且仅当| b|sin2 ，4|
17、b|即| b| 时，等号成立，2sin 则 tan 1，所以 ，sin cos 4当 时，| b|2 . 4 214已知平面向量 ， ( 0， )满足| |1，且 与 的夹角为 120，则| |的取值范围是_答案 (0，233解析 如图所示，记 ， ，由正弦定理得 ，| |sin 60 | |sin | |sin sin .23 233又 0 120，0sin 1.18即 0| | .23315已知平面向量 a(sin x，cos x)， b(sin x，cos x)， c(cos x，sin x)，xR，函数 f(x) a(b c)(1)求函数 f(x)的单调递减区间；(2)若 f ，求 s
18、in 的值( 2) 22解 (1)因为 a(sin x，cos x)， b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，所以 b c(sin xcos x，sin xcos x)，f(x) a(b c)sin x(sin xcos x)cos x(sin xcos x)sin 2x2sin xcos xcos 2xsin 2 xcos 2 x sin .2 (2x 4)当 2k 2 x 2 k ， kZ， 2 4 32即 k x k ， kZ 时，函数 f(x)单调递减38 78所以函数 f(x)的单调递减区间是 ， kZ.k 38， k 78(2)由(1)知， f(x) sin
19、，2 (2x 4)又 f ，( 2) 22则 sin ，sin .2 ( 4) 22 ( 4) 12因为 sin2 cos 2 1，( 4) ( 4)所以 cos .( 4) 32又 sin sin ( 4) 4sin cos cos sin ，( 4) 4 ( 4) 4所以当 cos 时，( 4) 32sin ；12 22 32 22 2 6419当 cos 时，( 4) 32sin .12 22 32 22 2 64综上，sin .26416已知向量 m(sin x，1)，向量 n ，函数 f(x)( m n)m.( 3cos x， 12)(1)求 f(x)的单调递减区间；(2)已知 a，
20、 b， c 分别为 ABC 内角 A， B， C 的对边， A 为锐角， a2 ， c4，且 f(A)恰3是 f(x)在 上的最大值，求 A， b 和 ABC 的面积 S.0， 2解 (1) f(x)( m n)msin 2x1 sin xcos x312 1 sin 2x1 cos 2x2 32 12 sin 2x cos 2x232 12sin 2.(2x 6)由 2k 2 x 2 k (kZ)， 2 6 32得 k x k (kZ) 3 56所以 f(x)的单调递减区间为 (kZ)k 3， k 56(2)由(1)知 f(A)sin 2，(2A 6)当 x 时， 2 x ，0， 2 6 6 56由正弦函数图象可知，当 2x 时 f(x)取得最大值 3.所以 2A ， A . 6 2 6 2 3由余弦定理， a2 b2 c22 bccos A，得 12 b21624 b ，所以 b2.12所以 S bcsin A 24sin 602 .12 12 3
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