1、1规范答题示例 9 导数与不等式的恒成立问题典例 9 (15 分)设函数 f(x)e mx x2 mx.(1)证明： f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；(2)若对于任意 x1， x21,1，都有| f(x1) f(x2)|e1，求 m的取值范围审题路线图 (1) 求 导 f x memx 1 2x 讨 论 m确 定 f x的 符 号 证 明 结 论(2) Error! Error! 条 件 转 化 为 |fx1 fx2|max e 1 结 合 1知 fxmin f0 Error! 构 造 函 数 gt et t e 1 研 究 gt的 单 调 性 对 m讨 论 得 适 合 条
2、 件 的 范 围规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板(1)证明 f( x) m(emx1)2 x.1分若 m0，则当 x(，0)时，e mx10， f( x)0.若 m0， f( x)0.4分所以 f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增.6分(2)解 由(1)知，对任意的 m， f(x)在1,0上单调递减，在0,1上单调递增，故 f(x)在 x0 处取得最小值所以对于任意 x1， x21,1，| f(x1) f(x2)|e1 的充要条件是Error!8 分即Error! 设函数 g(t)e t te1，则 g( t)e t1.10 分当 t0时， g( t)0.故
3、g(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增又 g(1)0， g(1)e 1 2e1时，由 g(t)的单调性，得 g(m)0，即 em me1；当 m0，即 e m me1.14 分综上， m的取值范围是1,1.15 分第一步求导数：一般先确定函数的定义域，再求f( x)第二步定区间：根据 f( x)的符号确定函数的单调性第三步寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题第四步写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立.第五步再反思：查看是否注意定义域、区间的写法、最值点的探求是否合理2等.评分细则 (1)求出导数给 1分；(2)讨论时
4、漏掉 m0 扣 1分；两种情况只讨论正确一种给 2分；(3)确定 f( x)符号时只有结论无中间过程扣 1分；(4)写出 f(x)在 x0 处取得最小值给 1分；(5)无最后结论扣 1分；(6)其他方法构造函数同样给分跟踪演练 9 (2018全国)已知函数 f(x) x aln x.1x(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)存在两个极值点 x1， x2，证明： 2，令 f( x)0，得x 或 x .a a2 42 a a2 42当 x 时，(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )f( x)0.(a a2 42 ， a a2 42 )所以 f(x)在 ， 上单调递减，在 上(
5、0，a a2 42 ) (a a2 42 ， ) (a a2 42 ， a a2 42 )单调递增(2)证明 由(1)知， f(x)存在两个极值点当且仅当 a2.由于 f(x)的两个极值点 x1， x2满足 x2 ax10，所以 x1x21，不妨设 01.由于 1 afx1 fx2x1 x2 1x1x2 ln x1 ln x2x1 x232 a 2 a ，ln x1 ln x2x1 x2 2ln x21x2 x2所以 a2 等价于 x22ln x20.fx1 fx2x1 x2 1x2设函数 g(x) x2ln x，1x由(1)知， g(x)在(0，)上单调递减，又 g(1)0，从而当 x(1，)时， g(x)0.所以 x22ln x20，1x2即 a2.fx1 fx2x1 x2
