1、1模板 2 立体几何问题(满分 15 分)如图， 已知四棱锥 PABCD， PAD 是以 AD为斜边的等腰直角三角形，BC AD， CD AD， PC AD2 DC2 CB， E 为 PD 的中点.(1)证明： CE平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.满分解答 得分说明 解题模板(1)证明 如图，设 PA 中点为 F，连接 EF， FB.因为 E， F 分别为 PD， PA 中点，所以 EF AD 且 EF AD， (1 分)12又因为 BC AD， BC AD，12(2 分)所以 EF BC 且 EF BC，即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CE BF.
2、(5 分)又因为 CE 平面 PAB，BF 平面 PAB，因此 CE平面 PAB. (6 分)能指出EF AD， BC AD 各得 1 分；能得到 CE BF，得 3 分；条件 CE 平面PAB 与 BF 平面PAB 错 1 个扣 1 分；第一步 由线线平行得平行四边形；第二步 由线线平行得线面平行；第三步 由线线垂直得线面垂直；2(2)解 分别取 BC， AD 的中点为 M， N，连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ.因为 E， F， N 分别是 PD， PA， AD 的中点，所以 Q为 EF 中点，在平行四边形 BCEF 中， MQ CE. (7 分)由 PAD 为等腰直角三角形得
3、PN AD.由 DC AD， BC AD， BC AD， N 是 AD 的中点得12BN AD.因为 PN BN N，所以 AD平面 PBN.(9 分)由 BC AD 得 BC平面 PBN，因为 BC 平面 PBC，所以平面 PBC平面 PBN. (11 分)过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，则 QH平面 PBC.连接 MH，则 MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以 QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角设 CD1. (12 分)在 PCD 中，由 PC2， CD1， PD 得 CE ，2 2在 PBN 中，由 PN BN1， PB 得 QH ，314在 Rt MQH
4、中， QH ， MQ ，所以 sin QMH14 2，28所以，直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 . 28(15 分)指出 MQ CE 得1 分；指出PN AD， BN AD，PN BN N，得 2分，缺 1 个条件扣1 分；得出 BC平面PBN 得 2 分；指出 QMH 是所求角，得到 1 分；计算正确得 3分错误一个量扣1 分.第四步 得出线面角；第五步 在三角形中计算各个边，求值.3【训练 2】 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1所有的棱长均为2， A1B ， A1B AC.6(1)求证： A1C1 B1C；(2)求直线 AC 和平面 ABB1A1所成角的余弦值(1)证明 法
5、一 取 AC 的中点 O，连接 A1O， BO， BO AC. A1B AC， A1B BO B，A1B 平面 A1BO， BO 平面 A1BO， AC平面 A1BO.连接 AB1交 A1B 于点 M，连接 OM，则 B1C OM，又 OM 平面 A1BO， AC OM， AC B1C. A1C1 AC， A1C1 B1C.法二 连接 AB1， BC1，四边形 A1ABB1是菱形， A1B AB1，又 A1B AC， AB1 AC A， A1B平面 AB1C， A1B B1C，又四边形 B1BCC1是菱形， BC1 B1C，又 A1B BC1 B， B1C平面 A1BC1， B1C A1C1.(2)解 由法二知 A1B平面 AB1C，又 A1B 平面 ABB1A1，平面 AB1C平面 ABB1A1.平面 AB1C平面 ABB1A1 AB1， AC 在平面 ABB1A1内的射影为 AB1， B1AC 为直线 AC 和平面 ABB1A1所成的角 AB12 AM2 ，AB2 BM2 10在 Rt ACB1中，cos B1AC ，ACAB1 210 105直线 AC 和平面 ABB1A1所成角的余弦值为 .105
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