安徽省宿城一中（宿州一中）2019届高三数学12月质检试题理（PDF）.pdf

1、安 徽 宿 城 一 中 2019 届 高 三 12月 质 检数 学 （ 理 ） 试 卷第 卷 （ 选 择 题 共 50 分 ）一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 集 合 lnA x y x ， 集 合 2, 1,1,2B ， 则 A B A.(1,2) B. 1,2 C. 1, 2 D.(0, )2 对 于 事 件 A， P（ A） 表 示 事 件 A 发 生 的 概 率 。 则 下 列 命 题 正 确 的 是A 如 果 (

2、 ) ( ) ( )P A B P A P B ， 那 么 事 件 A、 B 互 斥B 如 果 ( ) ( ) ( ) 1P A B P A P B ， 那 么 事 件 A、 B 对 立C ( ) ( ) ( ) 1P A B P A P B 是 事 件 A、 B 对 立 的 充 要 条 件D 事 件 A、 B互 斥 是 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 的 充 分 不 必 要 条 件3 把 函 数 xsin3xcos)x(f 的 图 象 向 左 平 移 m 个 单 位 , 所 得 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 则 m的 最 小 值 为A. 65 B. 32 C. 3 D

3、. 64 一 个 直 棱 柱 被 一 个 平 面 截 去 一 部 分 后 所 剩 几 何 体 的三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为A 9 B 10C 11 D 2325 对 于 平 面 和 共 面 的 两 直 线 m、 n， 下 列 命 题 中 是 真 命题 的 为A 若 m ， m n ， 则 /n B 若 /m ， /n ， 则 /m nC 若 m ， /n ， 则 /m nD 若 m、 n与 所 成 的 角 相 等 ， 则 /m n6 等 比 数 列 na 中 5121 a ， 公 比 21q ， 记 1 2n na a a （ 即 n 表 示数 列 na

4、 的 前 n项 之 积 ） ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 中 值 为 正 数 的 个 数 是2 21 31正 视 图 侧 视 图俯 视 图 第 4 题 图A 1 B 2 C 3 D 47 设 x、 y 均 是 实 数 ， i 是 虚 数 单 位 ， 复 数 +i1 2x yii 的 实 部 大 于 0， 虚 部 不 小 于 0， 则 复 数iz x y 在 复 平 面 上 的 点 集 用 阴 影 表 示 为 下 图 中 的 设 集 合 0 1 2, ,S A A A ， 在 S 上 定 义 运 算 ： i j kA A A ， 其 中 k为 i j 被 3除 的 余数 ， , 1,2,3

5、i j ， 则 使 关 系 式 0( )i j iA A A A 成 立 的 有 序 数 对 ( , )i j 总 共 有A 对 B 对 C 对 D 对9 已 知 A， B， C， D， E 为 抛 物 线 214y x 上 不 同 的 五 点 ， 抛 物 线 焦 点 为 F， 满 足0FA FB FC FD FE ， 则 | | | | | | | | | |FA FB FC FD FE A 5 B 10 C 516 D 851610 一 支 人 数 是 5 的 倍 数 且 不 少 于 1000人 的 游 行 队 伍 ， 若 按 每 横 排 4 人 编 队 ， 最 后 差 3 人 ；若 按

6、每 横 排 3 人 编 队 ， 最 后 差 2 人 ； 若 按 每 横 排 2 人 编 队 ， 最 后 差 1 人 则 这 只 游 行 队 伍 的最 少 人 数 是A 1025 B 1035 C 1045 D 1055第 卷 （ 非 选 择 题 共 1 0 0 分 ）考 生 注 意 事 项 ：请 用 0 .5 毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上 作 答 ， 在 试 题 卷 上 答 题 无 效 .二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 2 5 分 .把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相 应 位 置 .11. 输 入 正 整 数 n

7、（ 2n ） 和 数 据 1a ， 2a ， ， na ，如 果 执 行 如 图 2 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 s 是 数 据 1a ，2a ， ， na 的 平 均 数 ， 则 框 图 的 处 理 框 中 应 填 写 的是 _;12. 已 知 函 数 sin( )( 0,0 )y x 为 偶函 数 ,其 图 象 与 直 线 y=1 的 交 点 的 横 坐 标 为 1 2,x x .若 1 2x x 的 最 小 值 为 p ,则 的 值 为_;13 设 0 (sin cos )a x x dx ， 则 二 项 式 61( )ax x 的 展 开 式 中 常 数 项 _;14 函 数

8、22|log |,0 4( ) 2 708 , 43 3x xf x x x x ， 若 , , ,a b c d 互 不 相 同 ， 且( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d ， 则 abcd 的 取 值 范 围 是 _;15 有 以 下 四 个 命 题 xsin3xsiny 22 的 最 小 值 是 32 已 知 10x 11x)x(f , 则 )3(f)4(f )1a,0a()a2(logy xa 在 R 上 是 增 函 数 函 数 )6x2sin(2y 的 图 象 的 一 个 对 称 中 心 是 )0,12( 其 中 真 命 题 的 序 号 是 _ (把 你 认

9、为 正 确 命 题 的 序 号 都 填 上 )三 .解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 7 5 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .解 答 写 在答 题 卡 上 的 指 定 区 域 内 .16 （ 本 题 满 分 12 分 ）（ 1） 证 明 ： 2cos2sin2sinsin yxyxyx （ 2） 三 角 形 ABC 中 ， a、 b、 c 分 别 为 角 A、 B、 C 所 对 的 边 ， 若 a， b， C 成 等 差 数 列 ， 求 证2tan tan tan2 2 2A C B 。17 （ 本 小 题 12 分 ） 某

10、 进 修 学 校 为 全 市 教 师 提 供 心 理 学 和 计 算 机 两 个 项 目 的 培 训 ， 以 促 进 教师 的 专 业 发 展 ， 每 位 教 师 可 以 选 择 参 加 一 项 培 训 、 参 加 两 项 培 训 或 不 参 加 培 训 现 知 全 市 教师 中 ， 选 择 心 理 学 培 训 的 教 师 有 60%， 选 择 计 算 机 培 训 的 教 师 有 75%， 每 位 教 师 对 培 训 项 目 的选 择 是 相 互 独 立 的 ， 且 各 人 的 选 择 相 互 之 间 没 有 影 响 (1)任 选 1 名 教 师 ， 求 该 教 师 选 择 只 参 加 一 项

11、 培 训 的 概 率 ；(2)任 选 3 名 教 师 ， 记 为 3 人 中 选 择 不 参 加 培 训 的 人 数 ， 求 的 分 布 列 和 期 望 18 （ 本 小 题 12分 ） 如 图 所 示 ， 已 知 AB为 圆 O的 直 径 ， 点 D为 线 段 AB上 一 点 ，且 13AD DB ， 点 C 为 圆 O上 一 点 ， 且 3BC AC 点 P在 圆 O所 在 平 面 上 的 正 投 影 为 点 D， PD DB （ 1） 求 证 ： PA CD ；（ 2） 求 二 面 角 C PB A 的 余 弦 值 19 （ 本 小 题 13分 ） 已 知 函 数 2 2( ) ln (

12、 1),f x x x a x a R ，（ 1） 当 0a 时 ， 求 ( )f x 的 最 小 值 ；（ 2） 当 1x 时 ， ( ) 0f x 恒 成 立 ， 求 a的 取 值 范 围 。20 （ 本 小 题 13分 ） 数 列 na 的 各 项 均 为 正 值 ， 1 1a ， 对 任 意 n N*，21 21 4 ( 1), log ( 1)n n n n na a a b a 都 成 立 （ 1） 求 数 列 na ， nb 的 通 项 公 式 ；（ 2） 当 k 7 且 k N*时 ， 证 明 ： 对 任 意 n N*都 有 1 2 11 1 1 1 32n n n nkb b

13、 b b 成 立 21（ 本 小 题 13分 ） 过 椭 圆 C： )0(12222 babyax 外 一 点 A（ m， 0） 作 一 直 线 l 交 椭 圆 于P、 Q两 点 ， 又 Q 关 于 x轴 对 称 点 为 1Q ， 连 结 1PQ 交 x轴 于 点 B。（ 1） 若 AQAP ， 求 证 ： 1BQPB ； （ 2） 求 证 ： 点 B 为 一 定 点 )0,( 2ma 。数 学 （ 理 ） 答 案答 案 ： 1。 B 2。 D 3。 B 4 C 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 C11 i asis i )1(12 22 13. 16014 （ 32， 35） ，

14、15 16 解 ： （ 1） sin sin sin( ) sin( )2 2 2 22sin cos 52 2x y x y x y x yx yx y x y 分（ 2 ） 由 正 弦 定 理 得 sin sin 2sinA C B ， 又 由 （ 1 ） 可 知2sin cos 2sin 2sin( ) 4sin cos2 2 2 2cos 2cos , cos cos 3sin sin ,2 2 2 2 2 21tan tan 102 2 3A C A C A C A CB A CA C A C A C A CA C 分由 余 弦 定 理 得 ： 2 2 22 2 2 2 22 ( )

15、 3 3 2 12cos 2 2 8 21, tan3 2 3 a ca ca c b a c acB ac ac acBB 所 以 2tan tan tan2 2 2A C B 。 12 分17 （ 本 小 题 满 分 12分 ）解 ： 任 选 1 名 教 师 ， 记 “ 该 教 师 选 择 心 理 学 培 训 ” 为 事 件 A， “ 该 教 师 选 择 计 算 机 培 训 ” 为 事件 B， 由 题 设 知 ， 事 件 A与 B相 互 独 立 ， 且 ( ) 0.6P A ， ( ) 0.75P B 1分（ 1） 任 选 1 名 ， 该 教 师 只 选 择 参 加 一 项 培 训 的 概

16、 率 是1 ( ) ( ) 0.6 0.25 0.4 0.75 0.45P P AB P AB 4 分（ 2） 任 选 1 名 教 师 ， 该 人 选 择 不 参 加 培 训 的 概 率 是0 ( )= ( ) ( ) 0.4 0.25 0.1P P AB P A P B 5 分因 为 每 个 人 的 选 择 是 相 互 独 立 的 ，所 以 3 人 中 选 择 不 参 加 培 训 的 人 数 服 从 二 项 分 布 (30.1)B ， ， 6 分且 33( ) 0.1 0.9k k kP k C ， 0123k ， ， ， ， 8 分即 的 分 布 列 是 0 1 2 3P0.729 0.

17、243 0.027 0.001 10分所 以 ， 的 期 望 是 1 0.243 2 0.027 3 0.001 0.3E 12分（ 或 的 期 望 是 3 0.1 0.3E ）18 解 析 ： （ ） 法 1： 连 接 CO， 由 3AD DB 知 ，点 D为 AO的 中 点 ，又 AB为 圆 O的 直 径 ， AC CB ，由 3AC BC 知 ， 60CAB ， ACO 为 等 边 三 角 形 ， 从 而 CD AO -3分 点 P在 圆 O所 在 平 面 上 的 正 投 影 为 点 D， PD 平 面 ABC ， 又 CD平 面 ABC ， PD CD ， -5分由 PD AO D 得

18、 ， CD 平 面 PAB，又 PA平 面 PAB， PA CD -6 分（ 注 ： 证 明 CD 平 面 PAB时 ， 也 可 以 由 平 面 PAB 平 面 ACB 得 到 ， 酌 情 给 分 ）法 2： AB为 圆 O的 直 径 ， AC CB ，在 Rt ABC 中 设 1AD ， 由 3AD DB ， 3AC BC 得 ， 3DB ， 4AB ， 2 3BC ， 32BD BCBC AB ， 则 BDC BCA ， BCA BDC ， 即 CD AO -3分 点 P在 圆 O所 在 平 面 上 的 正 投 影 为 点 D， PD 平 面 ABC ， 又 CD平 面 ABC ， PD

19、CD ， -5分由 PD AO D 得 ， CD 平 面 PAB，又 PA平 面 PAB， PA CD -6分法 3： AB为 圆 O的 直 径 ， AC CB ，在 Rt ABC 中 由 3AC BC 得 ， 30ABC ，设 1AD ， 由 3AD DB 得 ， 3DB ， 2 3BC ，由 余 弦 定 理 得 ， 2 2 2 2 cos30 3CD DB BC DB BC ， 2 2 2CD DB BC ， 即 CD AO -3分 点 P在 圆 O所 在 平 面 上 的 正 投 影 为 点 D， PD 平 面 ABC ， 又 CD平 面 ABC ， PD CD ， -5 分由 PD AO

20、 D 得 ， CD 平 面 PAB，又 PA平 面 PAB， PA CD -6 分（ ） 法 1： （ 综 合 法 ） 过 点 D作 DE PB ， 垂 足 为 E， 连 接 CE -7分由 （ 1） 知 CD 平 面 PAB， 又 PB 平 面 PAB， CD PB ， 又 DE CD D ， PA BDC O E PB 平 面 CDE ， 又 CE 平 面 CDE ， CE PB ， -9 分 DEC 为 二 面 角 C PB A 的 平 面 角 -10分由 （ ） 可 知 3CD ， 3PD DB ，（ 注 ： 在 第 （ ） 问 中 使 用 方 法 1 时 ， 此 处 需 要 设 出

21、线 段 的 长 度 ， 酌 情 给 分 ） 3 2PB ， 则 9 3 223 2PD DBDE PB ， 在 Rt CDE 中 ， 3 6tan 33 22CDDEC DE ， 15cos 5DEC ， 即 二 面 角 C PB A 的 余 弦 值 为 155 -12分法 2： （ 坐 标 法 ） 以 D为 原 点 ， DC 、 DB和 DP的 方 向 分 别 为 x轴 、 y 轴 和 z 轴 的 正 向 ， 建立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 -8分（ 注 ： 如 果 第 （ ） 问 就 使 用 “ 坐 标 法 ” 时 ， 建 系 之 前 先 要 证 明 CD AB ，

22、酌 情 给 分 ）设 1AD ， 由 3AD DB ， 3AC BC 得 ， 3PD DB ， 3CD ， (0,0,0)D ， ( 3,0,0)C ， (0,3,0)B ， (0,0,3)P ， ( 3,0, 3)PC ， (0,3, 3)PB ， ( 3,0,0)CD ，由 CD 平 面 PAB， 知 平 面 PAB的 一 个 法 向 量 为 ( 3,0,0)CD 设 平 面 PBC 的 一 个 法 向 量 为 ( , , )x y zn ， 则00PCPB nn ， 即 3 3 03 3 0x yy z ， 令 1y ， 则 3x ， 1z ， ( 3,1,1)n ， -10 分设 二

23、面 角 C PB A 的 平 面 角 的 大 小 为 ，则 3 15cos 5| | 5 3CDCD n|n| ， 二 面 角 C PB A 的 余 弦 值 为 155 -12 分19 解 ： 0a 时 ， 2 ( ) ln , ( ) (2ln 1),f x x x f x x x 2 分12(0, )x e 时 ， ( )f x 单 调 减 ， 12( , )x e 时 ， ( )f x 单 调 增 ， 4 分所 以 当 12x e 时 ， ( )f x 有 最 小 值 12e 5 分（ 2） 由 已 知 ， 即 1x 时 ， min( ) 0f x 6 分( ) (2ln 1 2 ),

24、1f x x x a x 8 分当 1 2 0,a 即 12a 时 ， ( ) 0f x 恒 成 立 ， 所 以 ( )f x 单 调 增min( ) (1) 0f x f ， 即 12a 时 满 足 ( ) 0f x 恒 成 立 ； 10 分当 1 2 0a 即 12a 时 ， 由 ( ) 0f x 得 12 1ax e ，所 以 12(1, )ax e 时 ， ( )f x 单 调 减 ， 即 12(1, )ax e 时 ( ) (1) 0f x f 与 题 设 矛 盾 ，即 12a 时 ， 不 能 满 足 ( ) 0f x 恒 成 立 。 12 分综 上 ， 所 求 a的 取 值 范 围

25、 是 12a 。 13分20 解 ： （ 1 ） 由 an+1 2 1 4 an(an+1 )，得 （ an+1+2 an+1 ） （ an+1-2 an-1 ） =0 ，数 列 an的 各 项 为 正 值 ， an+1+2 an+1 0 ， an+1=2 an+1 ， an+1+1 =2 （ an+1 ） ， a1+1 =2 0 ， 数 列 an+1 为 等 比 数 列 an+1 (a1 +1 )2 n1 2 n， an 2 n1 ，即 为 数 列 an的 通 项 公 式 bn=log2（ an+1 ） ， bn log2 (2 n1 +1 ) n 6 分（ 2 ） 求 证 的 的 问 题

26、即 ： 当 k 7 且 k N*时 ， 对 任 意 * 1 1 1 1 3, 1 2 1 2n N n n n nk 方法 一 ： 令 1 1 1 11 2 1S n n n nk ， 则1 1 1 11 2 1S nk nk n n 1 1 1 1 1 12 ( ) ( ) ( )1 1 2 1S n nk n nk nk n 1 1 40, 0, ( )x y x yx y x y 时 有 当 且 仅 当 时 等 号 成 立4 4 4 4 ( 1)2 1 1 2 1 1n kS n nk n nk nk n n nk 2( 1) 2( 1) 2 2 32(1 ) 2(1 )1 1 1 7

27、1 21 k kS k kk n 13分方 法 二 ：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 31 1 1 1 1 1( ) ( )6 1 6 2 7 7 1 7 2 8 11 1 1 1 1 1 1( ) ( )1 2 2 2 1 2 2 31 1 1 1 1 1( )6 1 6 2 7 2 3 71 1 1 1 2232 3 4 7 1n n n nk n n n n n n nn n n n n nn n n n n n nn n nn n n n n n 3 1340 2 分方 法 三 （ 利 用 定 积 分 放 缩 同 样 给

28、分 。 要 作 出 ( ) lnf x x 大 致 图 象 并 指 出 小 矩 形 面 积 之 和 大 于 曲 边梯 形 面 积 ）1 1 1 1 1 3ln | ln ln71 2 1 2nk nknn dx x kn n n nk x 13分21 证 明 ： （ 1） 连 结 1AQ ， 因 为 Q 与 1Q 关 于 x 轴 对 称 ， 而 A 在 x 轴 上 ，则 在 1APQ 中 ， AB平 分 1PAQ ，由 内 角 平 分 线 定 理 可 知 ： 1 1: :AP AQ PB BQ ，而 AQAP ， AQAP与 同 向 ， 故 0 且 | 1 AQAQ ，则 |:| 1BQPB

29、， 又 P、 B、 1Q 在 同 一 直 线 上 且 PB与 1BQ 同 向 ，于 是 有 ： PB= 1BQ 。 （ 6分 ）（ 2） 设 过 A（ m， 0） 的 直 线 l 与 椭 圆 C： ),(,),(1 22112222 yxQyxPbyax 交 于1Q 与 Q 关 于 x 轴 对 称 ， 则 ),( 221 yxQ ， 由 1221221 byax 及 1222222 byax 相 减 得0)()( 2 21212 2121 b yyyya xxxx ， 21 212221 21 yy xxabxx yykPQ ，PQ直 线 方 程 ： )()( )( 1212 2121 xxx

30、xa xxbyy ， 而 PQ 过 A（ m， 0） ， 则 有 ：)()( )(212 21221222212 21121 xxb yyaxxbbaxxb yyyaxm ，而 )0,(1 BxBPQ 过 ， 同 理 可 求 得 ： )( 212 21221222 xxb yyaxxbbaxB 。下 面 利 用 分 析 法 证 明 ： 2amxB 。即 证 ： 22212 221222122 )( )()( axxb yyaxbxba 只 需 证 ： 22122122122221221222 )()()( yyaxxabxxbbaxxabxxbba 只 需 证 ： 22122121222121

31、22 )()()( yyaxxxxaabxxxxaab ，即 证 ： 221221214 )()()()( yyaxaxaxaxab 而 （ 1x ， 1y ） 在 椭 圆 上 ， 则 2122122 )( yaxab 同 理 2 2 2 2 22 2( )b a x a y 由 可 知 成 立 ， 从 而 式 得 证 。 因 此 2amxB 成 立 。 maxB 2 。 点 B 为 一 定 点 （ ma2 ， 0） 。 （ 13分 ）另 法 ： 证 （ 1） 设 直 线 l 过 A（ m， 0） 与 椭 圆 交 于 ),(,),( 2211 yxQyxP ， 而 1Q 与 Q 关 于 x轴 对 称 ， 则 ),( 221 yxQ ， 由 AQAP ， 则 )0(0 21 yy ， )0(0 21 yy PB= 1BQ 。 （ 6分 ）（ 2） 由 AQAP ， 则 1 21 xxm 由 PB= 1BQ ， 则 1 21 xxxB 由 得 2 222211 xxmxB 又 1221221 byax 1222222 byax 21 yy ， 由 - 2 得 22 222221 1 axax ，)1( 2222221 axx ，22 222211 axx 由 可 知 2amxB 。 maxB 2 。 点 B 为 一 定 点 （ ma2 ， 0） 。 （ 13 分 ）