1、143 列联表独立性分析案例读教材填要点1列联表一般地，对于两个因素 X 和 Y， X 的两个水平取值： A 和 (如吸烟和不吸烟)， Y 也有两A个水平取值： B 和 (如患肺癌和不患肺癌)，我们得到下表中的抽样数据，这个表格称为B22 列联表.YX BB 总计A a b a bA c d c d总计 a c b d n其中 n a b c d.2独立性分析事件 A 与 B 独立，这时应该有 P(AB) P(A)P(B)成立我们用字母 H0来表示上式，即H0： P(AB) P(A)P(B)，称之为统计假设我们引入统计中一个非常有用的 2统计量，它的表达式是 2 .n ad bc 2 a b
2、c d a c b d用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设 H0.如果算出的 2值较大，就拒绝 H0，也就是拒绝“事件 A 与 B 无关” ，从而就认为它们是有关的了小问题大思维1利用 2进行独立性分析，估计值的准确度与样本容量有关吗？提示：利用 2进行独立性分析，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量 n越大，这个估计值越准确如果抽取的样本容量很小，那么利用 2进行独立性检验的结果就不具有可靠性2在 2运算后，得到 2的值为 29.78，在判断因素相关时， P( 26.635)0.01和 P( 27.88)0.005，哪种说法是正确的？提示：两种说法均正确 P( 26.635)0.0
3、1 的含义是在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为两因素相关；而 P( 27.88)0.005 的含义是在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为两因素相关2独立性分析的原理某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990 件产品中有合格品 982 件，次品 8 件；不在生产现场时，510 件产品中有合格品 493 件，次品 17 件能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系？自主解答 根据题目所给数据得如下 22 列联表：合格品 次品 总计甲在生产现场 982 8 990甲不在生产现场 493 17 510总计 1 475 25 1 5
4、00由列联表中的数据，得 2 13.09710.828.1 500 98217 8493 29905101 47525因此，在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系1解决一般的独立性分析问题，首先由所给 22 列联表确定 a， b， c， d， n 的值，然后代入随机变量的计算公式求出观测值 2，将 2与临界值 x0进行对比，确定有多大的把握认为两个分类变量有关系2反证法原理与独立性检验原理的比较反证法原理在假设 H0下，如果推出一个矛盾，就证明了 H0不成立独立性检验原理在假设 H0下，如果出现一个与 H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成
5、立，且该推断犯错误的概率不超过小概率1某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，经过调查得到如下列联表：积极支持企业改革不太支持企业改革总计工作积极 54 40 94工作一般 32 63 95总计 86 103 1893根据列联表的独立性分析，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为工作态度与支持企业改革之间有关系？解：由列联表中的数据，得 2 10.7596.635，189 5463 4032 2949586103在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为工作态度与支持企业改革之间有关系独立性分析的应用某校对学生课外活动进行调查，结果整理如下表：体育
6、 文娱 总计男生 21 23 44女生 6 29 35总计 27 52 79根据列联表的独立性分析，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为喜欢体育还是文娱与性别有关？自主解答 由列联表中的数据，得 2 8.1066.635.79 2129 236 2 21 23 6 29 21 6 23 29在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关 ”独立性分析的步骤(1)提出统计假设 H0： X 与 Y 无关；(2)根据 22 列联表与 2计算公式计算出 2的值；(3)根据两个临界值，作出判断2同时抛掷两颗均匀的骰子，请回答以下问题：(1)求两颗骰子都出现 2
7、点的概率；(2)若同时抛掷两颗骰子 180 次，其中甲骰子出现 20 次 2 点，乙骰子出现 30 次 2 点，问两颗骰子在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下均出现 2 点是否相关？解：(1)每颗骰子出现 2 点的概率都为 ，由相互独立事件同时发生的概率公式得两颗16骰子都出现 2 点的概率为 .16 16 1364(2)依题意，列 22 列联表如下：出现 2 点 出现其他点 合计甲骰子 20 160 180乙骰子 30 150 180合计 50 310 360假设 H0：两颗骰子在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下均出现 2 点无关由公式计算得 2 2.323.360 20150 1
8、6030 250310180180因为 2.3236.635.200 7065 3530 210010010595因此，我们有 99%的把握，即在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“注射药物 A后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异” 在绘制列联表时，应对问题中的不同数据分成不同的类别，然后列表要注意列联表中各行、各列中数据的意义及书写格式3某地区甲校高二年级有 1 100 人，乙校高二年级有 900 人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了 200 名学生的数学成绩，如表(已知本次测试合格线是 50 分，两校合格率均为 10
9、0%)甲校高二年级数学 成绩：分组 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100频数 10 25 35 30 x乙校高二年级数学成绩：分组 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100频数 15 30 25 y 5(1)计算 x， y 的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到 1 分)；(2)若数学成绩不低于 80 分为优秀，低于 80 分为非优秀，根据以上统计数据填写下面22 列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”？分类 甲校 乙校 总计6优秀非优秀总计解：(1)依题意，知甲校应抽
10、取 110 人，乙应抽取 90 人，所以 x10， y15.甲校的平均分为(55106525753585309510)75.1110乙校的平均分为(5515653075258515955)71.190(2)数学成绩不低于 80 分为优秀，低于 80 分为非优秀，得到列联表如下：分类 甲校 乙校 总计优秀 40 20 60非优秀 70 70 140总计 110 90 200所以 2 4.714，200 4070 2070 21109060140又因为 4.7143.841，故能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”.在调查的 480 名男人中，有 38 名患色盲
11、，520 名女人中，有 6 名患色盲试判断在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为人的性别与患色盲有关？你所得到的结论在什么范围内有效？解 由题意作 22 列联表如下：色盲 非色盲 总计男 38 442 480女 6 514 520总计 44 956 1 000法一：由列联表中数据可知，在调查的男人中，患色盲的比例是 7.917%，女人中38480患色盲的比例为 1.154%，由于两者差距较大，因而我们可以认为性别与患色盲是有关65207系的法二：由列联表中所给的数据可知，a38， b442， c6， d514，a b480， c d520， a c44， b d956， n1 000，代
12、入公式得 2 27.1.1 000 38514 6442 248052044956由于 227.16.635，所以我们有 99%的把握，即在犯错误不超过 0.01 的前提下认为性别与患色盲有关系这个结论只对所调查的 480 名男人和 520 名女人有效1下面是 22 列联表：y1 y2 总计x1 a 21 73x2 2 25 27总计 b 46则表中 a， b 的值分别为( )A94,96 B52,50C52,54 D54,52解析： a2173， a52.又 a2 b， b54.答案：C2下列关于 2的说法中正确的是( )A 2在任何相互独立问题中都可以用于检验是否相关B 2的值越大，两个事
13、件的相关性越大C 2是用来判断两个相互独立事件相关与否的一个统计量，它可以用来判断两个事件是否相关这一类问题D 2n ad bc a b c d a c b d答案：C3对于因素 X 与 Y 的随机变量 2的值，下列说法正确的是( )A 2越大， “X 与 Y 有关系”的可信程度越小B 2越小， “X 与 Y 有关系”的可信程度越小C 2越接近于 0， “X 与 Y 没有关系”的可信程度越小8D 2越大， “X 与 Y 没有关系”的可信程度越大解析： 2越大， “X 与 Y 没有关系”的可信程度越小，则“ X 与 Y 有关系”的可信程度越大 2越小， “X 与 Y 有关系”的可信程度越小答案：
14、B4若由一个 22 列联表中的数据计算得 2的观测值 k4.013，那么在犯错误的概率不超过_的前提下，认为两个变量之间有关系解析：因为 4.0133.841，所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为两个变量之间有关系答案：0.055当某矿石粉厂生产一种矿石粉时，在数天内即有部分工人患职业性皮肤炎，在生产季节开始，随机抽取 75 名车间工人穿上新防护服，其余仍穿原用的防护服，生产进行一个月后，检查两组工人的皮肤炎患病人数如下：阳性例数 阴性例数 总计新防护服 5 70 75旧防护服 10 18 28总计 15 88 103通过数据分析，说明有_的把握认为新防护服对预防工人职业性皮炎有
15、效解析： 2 13.8266.635.103 518 7010 275281588故有 99%的把握说，新防护服比旧防护服对预防工人职业性皮炎有效答案：99%6为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球 不喜爱打篮球 总计男生 a b5女生 c10 d总计 50已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到爱打篮球的学生的概率为 .35(1)请将上面的列联表补充完整；9(2)是否有 99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？请说明理由解：(1)列联表补充如下：喜爱打篮球 不喜爱打篮球 总计男生 20 5 25女生 10 15 25总计 30 2
16、0 50(2) 2 8.3336.635，50 2015 105 230202525有 99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关一、选择题1在第 29 届北京奥运会上，中国健儿取得了 51 金、21 银、28 铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的 2 548 名男性中有 1 560 名持反对意见，2 452 名女性中有 1 200 名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力( )A平均数与方差 B回归直线方程C独立性检验 D概率解析：由于参加调查
17、的人按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况，判断有关与无关，符合 22 列联表的要求，故用独立性检验最有说服力答案：C2春节期间， “厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：做不到“光盘” 能做到“光盘”男 45 10女 30 15则下面的正确结论是( )附表及公式：P( 2 x0) 0.100 0.050 0.010 0.001x0 2.706 3.841 6.635 10.828 2 ， n a b c d.n ad bc 2 a b c d a c b d10A有 90%以上的把握认为“该市居民能否做
18、到光盘与性别有关”B 在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为 “该市居民能否做到 光盘 与性别无关 ”C 在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为 “该市居民能否做到 光盘 与性别有关 ”D有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到光盘与性别无关”解析：由列联表得到 a45， b10， c30， d15，则 a b55， c d45， a c75， b d25， ad675， bc300， n100，计算得 2n ad bc 2 a b c d a c b d 3.030.100 675 300 255457525因为 2.7063.841，所以我们有 95%的把握认为主修统计专业与性别无关
19、，即判断出错的可能性为 0.05.答案：B4已知 P( 22.706)0.10，两个因素 X 和 Y，取值分别为 x1， x2和 y1， y2，其样本频数分别是 a10， b21， c d35.若在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，认为X 与 Y 有关系，则 c 等于( )A5 B6C7 D8答案：A11二、填空题5班级与成绩 22 列联表：优秀 不优秀 总计甲班 10 35 45乙班 7 38 p总计 m n q表中数据 m， n， p， q 的值应分别为_解析： m10717，n353873，p73845，q m n90.答案：17,73,45,906在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有
20、下面的说法：若 26.635，则在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病；从独立性分析可知在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有 99%的可能患有肺病；从独立性分析可知在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有 5%的可能性使得推断错误其中说法正确的是_解析： 2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法不正确；说法中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法正确答案：7某卫生机构对 3
21、66 人进行健康体检，有阳性家族史者糖尿病发病的有 16 例，不发病的有 93 例，有阴性家族史者糖尿病发病的有 17 例，不发病的有 240 例，认为糖尿病患者与遗传有关系的概率为_解析：列出 22 列联表：发病 不发病 总计阳性家族史 16 93 10912阴性家族史 17 240 257总计 33 333 366所以随机变量 2值为 6.0673.841，366 16240 1793 210925733333所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为糖尿病患者与遗传有关答案：95%8某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观众，相关的数据
22、如下表所示：文艺节目 新闻节目 总计20 至 40 岁 40 18 58大于 40 岁 15 27 42总计 55 45 100由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关： _ (填 “是 ”或 “否 ”)解析：因为在 20 至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目，而大于 40 岁的42 名观众中有 27 名观众收看新闻节目，即 ， ，两者相差较大，所以，ba b 1858 dc d 2742经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的答案：是三、解答题9某市对该市一重点中学 2018 年高考上线情况进行统计，随机抽查得到表格：语文 数学 英语 综合科目上线 不上
23、线 上线 不上线 上线 不上线 上线 不上线总分上线201 人 174 27 178 23 176 25 175 26总分不上线 43 人 30 13 23 20 24 19 26 17总计 204 40 201 43 200 44 201 43试求各科上线与总分上线之间的关系，并求出哪一科目与总分上线关系最大？解：对于上述四个科目，分别构造四个随机变量 ， ， ， .21 2 23 24由表中数据可以得到：13语文： 7.2946.635，21244 17413 2730 22014320440数学： 30.0086.635，2244 17820 2323 22014320143英语： 24
24、.1556.635，23244 17619 2524 22014320044综合科目： 17.2646.635.24244 17517 2626 22014320143所以有 99%的把握认为语文、数学、英语、综合科目上线与总分上线有关系，数学上线与总分上线关系最大10某班主任对全班 50 名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作总计学习积极性高 18 7 25学习积极性一般 6 19 25总计 24 26 50(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一
25、般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由解：(1)随机抽查这个班的一名学生，有 50 种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有 18624 人，所以有 24 种不同的抽法，因此由古典概型概率的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是 P1 ，又因为不太主动参加班级工作且学习2450 1225积极性一般的学生有 19 人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是 P2 .1950(2)由 2统计量的计算公式得 2 11.538，50 1819 67 224262525由于 11.53810.828，所以有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系14
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