2019年高中数学第5章推理与证明5.2直接证明与间接证明5.2.1直接证明：分析法与综合法讲义（含解析）湘教版选修1_2.doc

1、152.1 直接证明：分析法与综合法读教材填要点综合法和分析法综合法 分析法定义从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，称为综合法从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，称为分析法特点从“已知”看“可知” ，由因导果，寻找必要条件从“未知”看“需知” ，执果索因，寻找充分条件小问题大思维1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” 2综合法与分析法有什么区别？提示：综合

2、法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件综合法的应用已知 a， b 是正数，且 a b1，求证： 4.1a 1b自主解答 法一： a， bR 且 a b1， a b2 .ab .ab12 4.1a 1b a bab 1ab当且仅当 a b 时，取“”号12法二： a， bR ，2 a b2 0， 2 0.ab1a 1b 1ab( a b) 4.(1a 1b)又因为 a b1， 4.1a 1b当且仅当 a b 时，取“”号12法三： a， bR ，且 a b1， 1a 1b a ba a bb1 122 4.ba ab a

3、bba当且仅当 a b 时，取“”号12保持例题条件不变，求证： 9.4a 1b证明：法一： a0， b0，且 a b1. 4 14a 1b 4 a ba a bb 4ba ab52 549.4baab当且仅当 ，即 a2 b 时等号成立4ba ab 23法二： a0， b0，且 a b1. ( a b) 4 14a 1b (4a 1b) 4ba ab52 549.4baab当且仅当 ，即 a2 b 时等号成立4ba ab 23综合法证明问题的步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程3特别地

4、，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程1在 ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对的边，若 a2 b(b c)，求证： A2 B.证明： a2 b(b c)，cos A ，b2 c2 a22bc b2 c2 b2 bc2bc c b2bcos 2B2cos 2B12 21(a2 c2 b22ac )2 21 ，(b c2a) b c 2 2b b c2b b c c b2bcos Acos 2 B.又 A， B 是三角形的内角， A2 B.分析法的应用当 a b0 时，求证： (a b)a2 b222自主解答 要证 (a b)，a2 b222只需证( )2 2，a2

5、 b2 22 a b 即证 a2 b2 (a2 b22 ab)，即证 a2 b22 ab.12因为 a2 b22 ab 对一切实数恒成立，所以 (a b)成立综上所述，不等式得证a2 b222分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可(2)书写形式：要证，只需证，即证，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立2已知 a6，求证： .a 3 a 4 a 5 a 6 a6， a30， a40， a50， a60.又 a3 a5， ，a 3 a 5同理有 ，a 4 a 6则 .a 3 a 4 a 5 a

6、6 ab bc ca.证明 法一：(分析法)要证 a2 b2 c2ab bc ca，只需证 2(a2 b2 c2)2(ab bc ca)，只需证( a2 b22 ab)( b2 c22 bc)( c2 a22 ca)0，只需证( a b)2( b c)2( c a)20，因为 a， b， cR，所以( a b)20，( b c)20，( c a)20.又因为 a， b， c 不全相等，所以( a b)2( b c)2( c a)20.所以原不等式 a2 b2 c2ab bc ca 成立法二：(综合法)因为 a， b， cR，所以( a b)20，( b c)20，( c a)20.又因为 a，

7、 b， c 不全相等，所以( a b)2( b c)2( c a)20.所以( a2 b22 ab)( b2 c22 bc)( c2 a22 ca)0.所以 2(a2 b2 c2)2(ab bc ca)所以 a2 b2 c2ab bc ca.71命题“对于任意角 ，cos 4 sin 4 cos 2 ”的证明过程：“cos4 sin 4 (cos 2 sin 2 )(cos2 sin 2 )cos 2 sin 2 cos 2 ”，此过程应用了( )A分析法 B综合法C综合法、分析法综合使用 D间接证明法解析：结合推理及分析法和综合法的定义可知，B 正确答案：B2在 ABC 中，若 sin Bs

8、in Ccos 2 ，则下列等式一定成立的是( )AA A B B A CC B C D A B C解析：sin Bsin Ccos 2 ，A2 1 cos A2 1 cos B C2cos( B C)12sin Bsin C，cos Bcos Csin Bsin C12sin Bsin C，cos Bcos Csin Bsin C1，cos( B C)1.又 0bc，且 a b c0，求证：0 B a c0C( a b)(a c)0 D( a b)(a c)0(a c)(2a c)0(a c)(a b)0.答案：C4命题“函数 f(x) x xln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程

9、“对函数 f(x) x xln x 求导得 f( x)ln x，当 x(0,1)时， f( x)ln x0，故函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法8解析：由证明过程可知，该证明方法为综合法答案：综合法5将下面用分析法证明 ab 的步骤补充完整：要证 ab，只需证a2 b22 a2 b22a2 b22 ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立答案： a2 b22 ab0 ( a b)20 ( a b)206已知 x0， y0，且 x y1，试分别用综合法与分析法证明： 9.(11x)(1 1y)证明：法一：(综合法)左边 (1x yx )(1 x yy

10、) (2 yx)(2 xy)42 1549.(yx xy)当且仅当 x y 时等号成立12法二：(分析法)要证 9 成立，(11x)(1 1y) x， yR 且 x y1， y1 x.只需证明 9 成立，(11x)(1 11 x)即证(1 x)(1 x1)9 x(1 x)，即证 2 x x29 x9 x2，即证 4x24 x10，即证(2 x1) 20，此式显然成立，所以原不等式成立一、选择题1已知 a， b， cR，那么下列命题中正确的是( )A若 ab，则 ac2bc2B若 ，则 abacbcC若 a3b3且 ab1a1bD若 a2b2且 ab0，则 b3且 ab ，故 C 对；1a1b对

11、于 D：若Error!则 D 不成立答案：C2设 a0， b0，若 是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值为( )31a 1bA8 B4C1 D.14解析： 是 3a与 3b的等比中项3 a3b33 a b3 a b1，3因为 a0， b0，所以 ab ，aba b2 12 14所以 4.1a 1b a bab 1ab 114答案：B3已知 ABC 中，cos Acos B0，则必有( )A00，得 cos Acos B，cos Acos( B)02)， q2 a24 a2( a2)，则 p 与 q 的大小关系是1a 2_解析： p a2 22 24，当且仅当 a3 时等号成立1a 2 a 2 1a 2 a24 a22( a2) 2q8若对任意 x0， a 恒成立，则 a 的取值范围是_xx2 3x 1解析： a 对任意 x0 恒成立，xx2 3x 1 1x 1x 3设 x 3( x0)1x只需 a 恒成立即可111又 x 35，当且仅当 x1 时“”成立1x00， 2 m10，1a2 4b2所以 m .72