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1、13参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x， y 的取值范围保持一致 把曲线的普通方程化为参数方程例 1 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程(1) 1， x cos 1，( 为参数)；(x 1)23 (y 2)25 3(2)x2 y x10， x t1，( t 为参数)解 (1)将 x cos 1 代入 1，得 y2 sin .3(x 1)23 (y 2)25 5Error! ( 为

2、参数)这就是所求的参数方程(2)将 x t1 代入 x2 y x10，得 y x2 x1( t1) 2 t11 t23 t1，Error! (t 为参数)这就是所求的参数方程普通方程化为参数方程时的注意点(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的如本例(2)，若令 xtan ( 为参数)，则参数方程为Error!( 为参数)21.如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数，则圆 x2 y2 x0 的参数方程为_解析：由题意得圆的方程为 2 y2 ，圆心 在 x 轴上，半径为 ，(x12) 14 (12， 0) 12则该圆

3、的参数方程为Error!( 为参数)，注意 为圆心角， 为圆弧所对的圆周角，则有 2 ，故Error!即Error!( 为参数)答案：Error! ( 为参数)将参数方程化为普通方程例 2 将下列参数方程化为普通方程：(1)Error!(t 为参数)；(2)Error!( 为参数)思路点拨 (1)可采用代入法，由 x1 解出 ，代入 y 的表达式；t t(2)采用三角恒等变换求解解 (1)由 x1 得 1 x，将其代入 y12 得 y32 x.因为 0，t t t t所以 x1 1，t所以参数方程化为普通方程为 y32 x(x1)方程表示的是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)(2)由Er

4、ror! 得Error! ， 2 2得 1(5 x5，5 y3)x225 (y 1)216将参数方程化为普通方程的三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 f(t)和 g(t)的值域，即 x 和 y 的取值范围2参数方程Error!( t 为参数)化为普通方程为( )A x2 y213B x2 y21 去掉(0,1)点C x2 y21 去掉(1,0)点D x2 y2

5、1 去掉(1,0)点解析：选 D 结合题意，x2 y2 2 2 1， x 1 1，故选 D.(1 t21 t2) ( 2t1 t2) 1 t21 t2 21 t23已知曲线的参数方程为Error!( 为参数)，则曲线的普通方程为( )A y21 x B y21 xC y21 x( y ) D以上都不对2 2解析：选 C 因为 ycos sin cos ，所以 y ， ，由2 ( 4) 2 2y212sin cos 1sin 2 ，得 y21 x， y ， ，故选 C.2 2一、选择题1将参数方程Error!( 为参数)化为普通方程为( )A y x2 B y x2C y x2(2 x3) D

6、y x2(0 y1)解析：选 C 方程可化为 y x2， x2,3， y0,1，故选 C.2参数方程Error!( 为参数)表示的曲线是( )A直线 B圆C线段 D射线解析：选 C xcos 2 0,1， ysin 2 0,1， x y1( x0,1)为线段3曲线Error!( 为参数)的对称中心( )A在直线 y2 x 上B在直线 y2 x 上C在直线 y x1 上D在直线 y x1 上解析：选 B 将Error!( 为参数)化为普通方程为( x1) 2( y2) 21，其表示以(1,2)为圆心，1 为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(1,2)在直线 y2 x 上，故选 B.4已知曲线 C：

7、Error!( t 为参数)， A(1,0)， B(1,0)，若曲线 C 上存在点 P 满足AP BP 0，则实数 a 的取值范围为( )4A. B1,122， 22C ， D2,22 2解析：选 C 设 P(x， y)， A(1,0)， B(1,0)，点 P 满足 AP BP 0， P 的轨迹方程是 x2 y21，表示圆心为(0,0)，半径为 1 的圆曲线 C：Error!( t 为参数)化成普通方程为 x y a0，由题意知，圆心(0,0)到直线 x y a0 的距离 d1， a .|a|2 2 2二、填空题5 x2 y22 x4 y10 化为参数方程为_解析： x2 y22 x4 y10

8、 化成标准方程是( x1) 2( y2) 24，表示圆心为(1,2)，半径为 2 的圆，故参数方程为Error!( 为参数)答案：Error! ( 为参数)6直线Error!( t 为参数)与曲线Error!( 为参数)的交点个数为_解析：Error! (t 为参数)化为普通方程为 x y1，Error!( 为参数)化为普通方程为x2 y29，表示以(0,0)为圆心，3 为半径的圆圆心(0,0)到直线的距离为 ，小于12 22半径 3，所以直线与圆相交因此，交点的个数为 2.答案：27已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos .以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 的参

9、数方程为_解析：曲线 C 的直角坐标方程是( x1) 2 y21，其参数方程为Error!( 为参数)答案：Error! ( 为参数)三、解答题8把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线(1)Error!(t 为参数， t0)；(2)Error!( t2)解：(1)Error!由得 t y1，又 t0，所以 y1.所以 x4( y1) 2(y1)，即(y1) 2 x(y1)14方程表示的是顶点为(0,1)，对称轴平行于 x 轴，开口向左的抛物线的一部分(2)由Error! 得 1.x24 y295 t2，2 x2，3 y0.所求方程为 1(3 y0)，x24 y29它表示半个椭圆

10、椭 圆x24 y29 1在 x轴 下 方 的 部 分 )9如图所示，经过圆 x2 y24 上任一点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，求线段 PQ 中点轨迹的普通方程解：圆 x2 y24 的参数方程为Error!( 为参数)在此圆上任取一点 P(2cos ，2sin )，则 PQ 的中点为 M(2cos ，sin )，所以 PQ 中点轨迹的参数方程为Error!( 为参数)，化成普通方程 y21.x2410已知曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，曲线 C2的极坐标方程为 2cos 6sin .(1)将曲线 C1的参数方程化为普通方程，将曲线 C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(

11、2)曲线 C1， C2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由解：(1)由Error!( 为参数)得( x2) 2 y210，曲线 C1的普通方程为( x2)2 y210. 2cos 6sin ， 22 cos 6 sin ， x2 y22 x6 y，即( x1) 2( y3) 210.曲线 C2的直角坐标方程为( x1) 2( y3) 210.(2)圆 C1的圆心为(2,0)，圆 C2的圆心为(1,3)，| C1C2| 3 2 ，( 2 1)2 (0 3)2 2 10两圆相交设相交弦长为 d，两圆半径相等，公共弦平分线段C1C2， 2 2( )2，解得 d ，公共弦长为 .(d2) (3 22) 10 22 226