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1、1第二讲 讲明不等式的基本方法 考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少” “至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明 真题体验 1(2017全国卷)已知 a0， b0， a3 b32.证明：(1)(a b)(a5 b5)4；(2)a b2.证明：(1)( a b

2、)(a5 b5) a6 ab5 a5b b6( a3 b3)22 a3b3 ab(a4 b4)4 ab(a2 b2)24.(2)因为( a b)3 a33 a2b3 ab2 b323 ab(a b)2 (a b)3(a b)242 ，3(a b)34所以( a b)38，因此 a b2.2(2016全国卷)已知函数 f(x) ， M 为不等式 f(x)2 的解集|x12| |x 12|(1)求 M；(2)证明：当 a， b M 时，| a b|1 ab|.解：(1) f(x)Error!当 x 时，由 f(x)2 得2 x2，解得 x1；12当 x 时， f(x)2 恒成立；12 12当 x

3、时，由 f(x)2 得 2x2，解得 x1.122所以 f(x)2 的解集 M x|1 x1(2)证明：由(1)知，当 a， b M 时，1 a1，1 b1，从而( a b)2(1 ab)2 a2 b2 a2b21( a2 1)(1 b2)0.因此| a b|1 ab|.比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是：作差；恒等变形；判断结果的符号；下结论其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变

4、形的方法例 1 若 x， y， zR， a0， b0， c0，求证：x2 y2 z22( xy yz zx)b ca c ab a bc证明 x2 y2 z22( xy yz zx)b ca c ab a bc (bax2 aby2 2xy) (cby2 bcz2 2yz) x y2(acz2 cax2 2zx) ba aby z2 z x20.cb bc ac ca x2 y2 z22( xy yz zx).b ca c ab a bc综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推” ，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立综合法证明不等式的

5、依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论证明时要注意：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握例 2 设 a， b， cR 且 a b c1.求证：(1)2 ab bc ca ；c22 12(2) 2.a2 c2b b2 a2c c2 b2a3证明 (1)因为 1( a b c)2 a2 b2 c22 ab2 bc2 ca4 ab2 bc2 ca c2，当且仅当 a b 时等号成立，所以 2ab bc ca (4ab2 b

6、c2 ca c2) .c22 12 12(2)因为 ， ， ，a2 c2b 2acb b2 a2c 2abc c2 b2a 2bca当且仅当 a b c 时等号成立13所以 a2 c2b b2 a2c c2 b2a (acb abc) (abc bca) (acb bca) a b c(cb bc) (ac ca) (ab ba)2 a2 b2 c2，当且仅当 a b c 时等号成立.13分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆推” ，即由待证的不等式出发， 逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到

7、的充分条件是已知(或已证)的不等式当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效分析法是“执果索因” ，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果” ，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用例 3 已知 a0， b0，且 a b1，求证： 2.a 12 b 12证明 要证 2，a 12 b 12只需证 24，(a 12 b 12)即证 a b12 4.(a 12)(b 12)即证

8、1.(a12)(b 12)也就是要证 ab (a b) 1，12 144即证 ab .14 a0， b0， a b1.1 a b2 ， ab ，即上式成立ab14故 2.a 12 b 12反证法证明不等式用直接法证明不等式困难的时候，可考虑用间接证法予以证明，反证法是间接证法的一种假设欲证的命题是“若 A 则 B”，我们可以通过否定 来达到肯定 B 的目的，如果 只有B B有限多种情况，就可用反证法用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件、公理、定理或某些性质相矛盾的结论，从而肯定原命题成立例 4 已知 a， b， c 为实数， a b c0， ab bc ca

9、0， abc0，求证：a0， b0， c0.证明 假设 a， b， c 不全是正数，即其中至少有一个不是正数不妨先设 a0，下面分 a0 或 a0，可得 bc0，所以 b c a0，于是 ab bc ca a(b c) bc0 相矛盾因此， a0.同理可以证明 b0， c0，所以原命题成立.放缩法证明不等式放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的例 5 已知 nN ，求证： bC a b D a b解析：选 B alg

10、 2lg 51， be x(xb.3已知 a， b， c， d 为实数， ab0， ，则下列不等式中成立的是( )ca dbA bc ad B bc adC. D. ac bd ac bd解析：选 B 将 两边同乘以正数 ab，得 bc ad，所以 bc ad.ca db4已知 x10， x11，且 xn1 (nN *)，试证“数列 xn对任意xn(xoal(2,n) 3)3x2n 1正整数 n 都满足 xnxn1 ”，当此题用反证法否定结论时，应为( )A对任意的正整数 n，都有 xn xn1B存在正整数 n，使 xnxn1C存在正整数 n(n2)，使 xn xn1 且 xn xn1D存在正

11、整数 n(n2)，使( xn xn1 )(xn xn1 )0解析：选 D 命题的结论是等价于“数列 xn是递增数列或是递减数列” ，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列” ，由此可知选 D.65用反证法证明命题“设 a， b 为实数，则方程 x3 ax b0 至少有一个实根”时，要做的假设是( )A方程 x3 ax b0 没有实根B方程 x3 ax b0 至多有一个实根C方程 x3 ax b0 至多有两个实根D方程 x3 ax b0 恰好有两个实根解析：选 A 至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程 x3 ax b0没有实根” 6使不等式 1 成立的正整数 a 的最大值为(

12、 )3 8 aA10 B11C12 D13解析：选 C 用分析法可证 a12 时不等式成立， a13 时不等式不成立7已知 a， b， c， dR 且 S ，则下列判断aa b c bb c d cc d a da b d中正确的是( )A00， b0， c0，且 a2 b2 c2，则 an bn与 cn的大小关系为( n3， nN )( )A an bncn B an bnNPQ B MPNQC MPQN D NPQM解析：选 D ，0sin cos .( ，54)|sin | (|sin |sin |)|sin | M.12P |sin |cos |12PM. Q 12sin 2 sin

13、cos |sin | |cos |2 sin cos |sin | M，sin2 NPQM.二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填写在题中的横线上)11用反证法证明“在 ABC 中，若 A 是直角，则 B 一定是锐角”时，应假设_解析：“ B 一定是锐角”的否定是“ B 不是锐角” 答案： B 不是锐角12如果 a b a b ，则实数 a， b 应满足的条件是_a b b a解析：由 知 a0， 知 b0，而 a b a b ，知 b a.此时a b a b b a8a b ( a b )( )2( )0，不等式成立故实数 a， b 应满足的条件a b b

14、a a b a b是 a0， b0， a b.答案： a0， b0， a b13已知 a b0，则 与 的大小关系是_ab2 ba2 1a 1b解析： ab2 ba2 (1a 1b) a bb2 b aa2( a b) .(1b2 1a2) (a b)(a b)2a2b2 a b0，( a b)20， 0.(a b)(a b)2a2b2 .ab2 ba2 1a 1b答案： ab2 ba2 1a 1b14设 0f f f .(ab) (a nb n) (ba) (b ma m)答案： f f f f(ab) (a nb n) (ba) (b ma m)三、解答题(本大题共 4 个小题，满分 50

15、 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)设| a|1，| b|1，求证：| a b| a b|2.证明：当 a b 与 a b 同号时，| a b| a b| a b a b|2| a|2；当 a b 与 a b 异号时，| a b| a b| a b( a b)|2| b|2.| a b| a b|2.16(本小题满分 12 分)已知：在 ABC 中， CAB90， D 是 BC 的中点，求证：AD BC，因为 BD DC BC，12 12所以在 ABD 中， ADBD，从而 B BAD.同理 C CAD.所以 B C BAD CAD.即 B C A.

16、因为 B C180 A，所以 180 A A 即 A90，与已知矛盾，故 AD BC 不成立12由(1)(2)知 AD BC 成立1217(本小题满分 12 分)求证：1 11 112 11233.1123n证明：由 1123k 11222 12k 1(k 是大于 2 的自然数)，得1 11 112 1123 1123n11 112 122 123 12n 11 12n1 123 3.12n 118(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)2| x1| x2|.(1)求 f(x)的最小值 m；(2)若 a， b， c 均为正实数，且满足 a b c m，求证： 3.b2a c2b a2c解：(1)当 x1 时， f(x)2( x1)( x2)3 x(3，)；当1 x2 时， f(x)2( x1)( x2) x43,6)；10当 x2 时， f(x)2( x1)( x2)3 x6，)综上， f(x)的最小值 m3.(2)证明： a， b， c 均为正实数，且满足 a b c3，因为 ( a b c)b2a c2b a2c (b2a a) (c2b b) (a2c c)2 2( a b c)，(b2aa c2bb a2cc)当且仅当 a b c1 时，取等号，所以 a b c，即 3.b2a c2b a2c b2a c2b a2c