2019高中数学第一章计数原理测评（含解析）北师大版选修2_3.doc

1、- 1 -第一章 计数原理测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.某铁路所有车站共发行 132 种普通客票,则这段铁路共有车站数是( )A.8 B.12 C.16 D.24解析: =n(n-1)=132.n= 12.故选 B.答案:B2.若 =6 ,则 m 等于( )A.9 B.8 C.7 D.6解析:由 m(m-1)(m-2)=6 ,解得 m=7.答案:C3.(1+2x)5的展开式中, x2的系数等于( )A.80 B.40 C.20 D.10解析:(1 +2x)5的展开式的通项为 Tr+1= (2x)r=2r xr,令

2、 r=2,则 22 =410=40.答案:B4.一次考试中,要求考生从试卷上的 9 个题目中选 6 个进行答题,要求至少包含前 5 个题目中的 3 个,则考生答题的不同选法的种数是( )A.40 B.74C.84 D.200解析:分三类:第一类,前 5 个题目的 3 个,后 4 个题目的 3 个,第二类,前 5 个题目的 4 个,后 4 个题目的 2 个,第三类,前 5 个题目的 5 个,后 4 个题目的 1 个,由分类加法计数原理得 =74.答案:B5.有 1,2,3,4 共四个数字,排成 2 行 2 列,要求每行数字之和不能为 5,则排法的种数为( )A.8 B.10 C.12 D.16答

3、案:D6.某校园有一椭圆形花坛,分成如图四块种花,现有 4 种不同颜色的花可供选择,要求每块地只能种一种颜色,且有公共边界的两块不能种同一种颜色,则不同的种植方法共有( )- 2 -A.48 种 B.36 种 C.30 种 D.24 种解析:由于相邻两块不能种同一种颜色,故至少应当用三种颜色,故分两类 .第一类,用 4 色有种,第二类,用 3 色有 4 种,故共有 +4 =48 种 .答案:A7.(2016浙江宁波效实中学第一学期期末)在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6个程序,其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则在该实验中程序顺序的编排方法

4、共有( )A.144 种 B.96 种C.48 种 D.34 种解析:首先将 B,C 捆绑在一起作为整体,共有 两种,又 A 只能出现在第一步或者最后一步,故总的编排方法为 2=96 种,故选 B.答案:B8.现有三种类型的卡片各 10 张,这些卡片除类型不同外其他全部相同,现把这三种类型的卡片分给 5 个人,每人一张,要求三种类型的卡片都要用上,则分法的种数为( )A.30 B.75 C.150 D.300解析:分为两类:第一类,5 人中有 3 人卡片类型相同,则分法有 =60 种;第二类,5 人中各有2 人卡片类型相同,则分法有 =90 种 .所以由分类加法计数原理得,分法的种数为60+9

5、0=150.答案:C9.(2016湖北孝感高中高二上学期期中考试)已知(1 +x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a10(1-x)10,则 a8=( )A.-180 B.45 C.-45 D.180解析:由于(1 +x)10=2-(1-x)10,因此其展开式的通项为 Tk+1=(-1)k210-k (1-x)k,令 k=8,得a8=4 =180,故答案:为 D.答案:D10.(2016山东莱芜一中高三 1 月自主考试)在( ax+1)7的展开式中, x3项的系数是 x2项系数和 x5项系数的等比中项,则实数 a 的值为( )A. B. C. D.解析:展开式的通项为 Tr+1=

6、(ax)7-r,x 3项的系数是 a3,x2项的系数是 a2,x5项的系数是 a5,- 3 -x 3项的系数是 x2的系数与 x5项系数的等比中项, ( a3)2= a2 a5,a= .故选 A.答案:A11.有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复 .若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式有( )A.264 种 B.240 种C.200 种 D.120 种解析:由条件上午不测“握力”,则 4 名同学测四个项目,有 ;下午不测“台阶”但不

7、能与上午所测项目重复,如甲 乙 丙 丁上午 台阶 身高与体重 立定跳远 肺活量下午下午甲测“握力”,乙、丙、丁所测不与上午重复有 2 种,甲测“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”中一种有 33=9(种),故 (2+9)=264 种 .答案:A12.有两条平行直线 a 和 b,在直线 a 上取 4 个点,直线 b 上取 5 个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有( )A.70 个 B.80 个C.82 个 D.84 个解析:分两类,第一类:从直线 a 上任取一个点,从直线 b 上任取两个点,共有 种方法;第二类:从直线 a 上任取两个点,从直线 b 上任取一个点,共有 种方法 .所以满足

8、条件的三角形共有 =70 个 .故选 A.答案:A二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.(2016湖北孝感高中高二上学期期中考试)回文数是指从左到右读与从右到左都是一样的正整数 .如 121,94 249 是回文数,则 4 位回文数有 个 . 解析:4 位回文数的特点为中间两位数相同,千位和个位数字相同但不能为零,第一步,选千位和个位数字,共有 9 种选法;第二步,选中间两位数字,共有 10 种选法 .故 4 位回文数有910=90(个) .答案:90- 4 -14.某公园现有甲、乙、丙三只小船,甲船可乘 3 人,乙船可乘 2 人,丙船可乘 1 人,今有三个成人和

9、 2 个儿童分乘这些船只(每船必须坐人),为安全起见,儿童必须由成人陪同方可乘船,则分乘这些船只的方法有 种 . 解析:分两类:第一类,两个儿童同坐甲船,则三个成人应分别坐到三个船上,有 种坐法;第二类,两个儿童分别坐甲船和乙船,有 种坐法,三个成人应分别坐到三个船上,有 种坐法,共有 =12 种坐法,所以由分类加法计数原理得,分乘这些船只的方法共有 6+12=18 种 .答案:1815.(2016辽宁沈阳高中高二上学期期中考试)设 a,b 是两个整数,若存在整数 d,使得 b=ad,称“ a 整除 b”,记作 a|b.给出命题: 2|(n2+n+1); 100|(9910-1); 5|(24

10、n-1)(nN +).其中正确命题的序号是 . 解析:对于 ,n 2+n=n(n+1)必为偶数,n 2+n+1 为奇数,即 2|(n2+n+1)不正确 .对于 ,9910-1=(100-1)10-1= 10010- 1009+- 100, 正确 .对于 ,24n-1=(15+1)n-1= 15n+ 15n-1+ 15, 正确 .答案: 16.在( )100的展开式中,无理项的个数是 . 解析: Tr+1= )100-r( )r= .若第 r+1 项为有理项,则 50- 均为整数,故 r为 6 的倍数时,第 r+1 项为有理项,又 0 r100, r= 0,6,12,96, 有理项共有 17 个

11、,从而无理项共有 101-17=84(个) .答案:84三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)(2016山东青岛高二联考)从 -1,0,1,2,3 这 5 个数中选 3 个不同的数组成二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的系数 .(1)开口向上的抛物线有多少条?(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条?解(1)要使抛物线的开口向上,必须 a0, =36(条) .(2)开口向上且不过原点的抛物线,必须 a0,c0, =27(条) .18.(本小题满分 12 分)设有编号为 1,2,3,4,5 的五个小球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个小

12、球放入 5 个盒子中 .- 5 -(1)若没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?(2)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?解(1)间接法: -1=119 种 .(2)分为三类:第一类,五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有 1 种;第二类,三个球的编号与盒子的编号相同,球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种,球的编号与盒子的编号不同的投放方法有 1 种 ,所以投放方法有 1=10 种;第三类,两个球的编号与盒子的编号相同,球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种,球的编号与盒子的编号不同的投放方法有 2 种 ,所以投放

13、方法有 2=20 种 .根据分类加法计数原理得,所有的投放方法有 1+10+20=31 种 .19.(本小题满分 12 分)已知 ,i 是虚数单位, x0,nN +.(1)如果展开式中的倒数第 3 项的系数是 -180,求 n 的值;(2)对(1)中的 n,求展开式中系数为正实数的项 .解(1)由已知,得 (2i)2=-180,即 4 =180,所以 n2-n-90=0,又 nN +,解得 n=10.(2) 展开式的通项为 Tk+1= (2 i)10-kx-2k= (2i)10-k.因为系数为正实数,且 k0,1,2,10,所以 k=2,6,10.所以所求的项为 T3=11 520,T7=3

14、360x-10,T11=x-20.20.导学号 43944023(本小题满分 12 分)(2016浙江宁波效实中学第一学期)设 n2, nN,=a0+a1x+a2x2+anxn.(1)求 a0+a1+a2+an.(2)记 |ak|(0 k n)的最小值为 Tn. 求 T8; 若 n 为奇数,求 Tn.解(1)令 x=1,即可得 a0+a1+a2+an= ;(2) 由题意得 |ak|= |22k-8-32k-8|,- 6 - 当 k=4 时, T8=|a4|=0; 由 可知 |ak|= |22k-n-32k-n|, 当 k 时, |ak|= (32k-n-22k-n) |a0|,综上 Tn= .

15、21.导学号 43944024(本小题满分 12 分)在( x-y)11的展开式中,求:(1)通项 Tr+1;(2)二项式系数最大的项;(3)项的系数绝对值最大的项;(4)项的系数最大的项;(5)项的系数最小的项;(6)二项式系数的和 .解(1) Tr+1=(-1)r x11-ryr.(2)二项式系数最大的项为中间两项: T6=- x6y5,T7= x5y6.(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项:T6=- x6y5,T7= x5y6.(4)因为中间两项系数的绝对值相等,一正一负,第 7 项为正,故项的系数最大的项为 T7=x5y6.(5)项的系数最小的项为 T6=- x6y5.(6)二项式系数的和为 + =211.22.导学号 43944025(本小题满分 12 分)已知( x2+1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,若( x2+1)n的展开式中系数最大的项等于 54,求 x 的值 .- 7 -解 的展开式的通项为Tr+1= .令 =0,得 r=4, 展开式的常数项为 T5= =16. (x2+1)n展开式中的各项系数之和等于 2n, 2n=16,n= 4.又( x2+1)n展开式中系数最大的项是中间项,即第 3 项, x4=54,x= .