1、- 1 -习题课复数运算的综合问题课后训练案巩固提升1.若复数 z满足 |z-1+i|=3,则复数 z对应的点的轨迹围成图形的面积等于( )A.3 B.9 C.6 D.9解析: 由题意得,复数 z对应的点的轨迹是以(1, -1)为圆心,以 3为半径的圆,其面积等于 32=9 .答案: D2.已知 a,bR,且 2+ai,b+3i是一个实系数一元二次方程的两个根,则 a,b的值分别是( )A.a=-3,b=2 B.a=3,b=-2C.a=-3,b=-2 D.a=3,b=2解析: 由题意得,这两个复数一定是互为共轭复数,故 a=-3,b=2.答案: A3.满足条件 |z+i|=|z+3i|的复数
2、z对应点的轨迹是 ( )A.直线 B.圆C.椭圆 D.线段解析: 由已知得,复数 z对应的点到两点(0, -1),(0,-3)的距离相等,因此其轨迹是这两个点连线的垂直平分线,是一条直线 .答案: A4.已知复数 z1,z2满足 |z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|= ,则 |z1+z2|的值等于( )A. B.6 C. D.58解析: 由 |z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)及已知条件可得 |z1+z2|= .答案: C5.关于 x的方程 3x2- x-1=(10-x-2x2)i有实根,则实数 a的值等于 . 解析: 设方程的实数根为 x=m,则原方程可变为
3、 3m2- m-1=(10-m-2m2)i,所以解得 a=11或 a=- .答案: 11或 -6.关于复数 z的方程 |z|+2z=13+6i的解是 . 解析: 设 z=x+yi(x,yR),则有 +2x+2yi=13+6i,于是解得因为 13-2x= 0,所以 x ,故 x= 舍去,故 z=4+3i.答案: z=4+3i7.已知 zC,且 |z+1|=|z-i|,则 |z+i|的最小值等于 . 解析: 由于 |z+1|=|z-i|表示以( -1,0),(0,1)为端点的线段的垂直平分线,而 |z+i|=|z-(-i)|表示直线上的点到(0, -1)的距离,数形结合知其最小值为 .- 2 -答
4、案:8.已知复数 z= ,z1=2+mi.(1)若 |z+z1|=5,求实数 m的值;(2)若复数 az+2i在复平面上对应的点在第二象限,求实数 a的取值范围 .解: (1)z= =1+i.因为 |z+z1|=|1+i+2+mi|=|3+(m+1)i|= =5,所以 9+(m+1)2=25.解得 m=-5或 m=3.(2)az+2i=a(1+i)+2i=a+(a+2)i,在复平面上对应的点在第二象限,所以 解得 -2a0.9. 导学号 40294029已知关于 x的方程 x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)有实数根 b.(1)求实数 a,b的值 .(2)若复数 z满足 | -a-bi|-
5、2|z|=0,当 z为何值时, |z|有最小值?并求出 |z|的最小值 .解: (1)因为 b是方程 x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)的实根,所以( b2-6b+9)+(a-b)i=0,故 解得 a=b=3.(2)设 z=m+ni(m,nR),由 | -3-3i|=2|z|,得( m-3)2+(n+3)2=4(m2+n2),即( m+1)2+(n-1)2=8,所以 Z点的轨迹是以 O1(-1,1)为圆心,以 2 为半径的圆 .如图,当 Z点在直线 OO1上时, |z|有最大值或最小值 .因为 |OO1|= ,半径 r=2 ,所以当 z=1-i时, |z|有最小值,且 |z|min= .- 3 -
