湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019届高三数学第二次调研联考试题理.doc

1、- 1 -湖南湖北八市十二校 2019 届高三第二次调研联考理科数学试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3本试题卷共 6 页。时量 120 分钟，满分 150 分。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 全集 ，集合 ，集合 ，则A B C D 2若复数 为纯虚数，则 A B 13 C 10 D 3若点 是角 的终边

2、上一点，则(,4)Psin2A B C D 2575165854给出下列五个命题：将 A，B，C 三种个体按 312 的比例分层抽样调查，若抽取的 A 种个体有 9 个，则样本容量为 30；一组数据 1，2，3，3，4，5 的平均数、众数、中位数都相同；甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5，6，9，10，5，那么这两组数据中比较稳定的是甲；已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为 12 x，则 x 每增加 1 个单位，y平均减少 2 个单位；统计的 10 个样本数据为 125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在114.5，124.5)内的

3、频率为 0.4.其中是真命题的为A B C D - 2 -5设 ，则 的展开式中常数项是A 160 B 160 C 20 D 206函数 的图象大致为32ln1yxxA. B. C. D. 7已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，则()fx(,)(1)()fxf(1)2f123(50ffA B0 C2 D50508已知数列 的通项公式 ，则na1na13910aaaA.150 B. 162 C. 180 D. 2109已知 的一内角 ， 为 所在平面上一点，满足 ，设，则 的最大值为A B C D 10过抛物线 上 两点 分别作抛物线的切线 ,若两切线垂直且交于点,则直线 的方程为A B -

4、 3 -C D 11已知三棱锥 的四个顶点都在半径为 3 的球面上， ，则该三棱锥体积的最大值是A B C D 6412已知函数 ，要使函数 的零点个数最多，则 k 的取值范围是A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为 ，则判断框中的条件 中的整数 的值是_.14以椭圆 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 ，其左右焦点分别是 ，已知点 的坐标为 ，双曲线 上的点 满足，则 _.15已知菱形 ， 为 的中点，且 ，则菱形 面积的最大值为_。16已知数列 的前 项和 ，若不等式 对 恒成na12nnSa235nn

5、a*N立，则整数 的最大值为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。- 4 -（一）必考题：60 分。17在 中，角 的对边分别为 且 .ABC, ,abc2（1）若 求 的值；,3bsin（2）若 ，且 的面积 ，22sincoco3siACAB5sin2SC求 和 的值. a18如图，在多面体 中，四边形 为梯形， ， 均为等边三角形， （1）过 作截面与线段 交于点 ，使得 平面 ，试确定点 的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线 与平面 所成角的正弦

6、值19近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用 x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表 1 所示：根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图(1)根据散点图判断，在推广期内， yabx(c，d 均为大于零的常数)哪一个 适宜作为扫码支xyc与付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型?( 给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表 l 中的数据，求 y 关于 x 的

7、回归方程，并预测活动推出第 8 天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2- 5 -已知该线路公交车票价为 2 元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受 8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受 7 折优惠的概率为 ，享受 8折优惠的概率为 ，享受 9 折优惠的概率为 根据所给数据以事件161312发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用参考数据：其中71,iiigy参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘12,nuu Aau估 计 公 式

8、分 别 为 ： .AA12,niiau20在平面 直角坐标系 中，椭圆 C 过点 ，焦点 ，圆 O 的直径xOy1(3,)212(3,0)(,)F为 12F（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 两点若 的面积为 ，求直线 l 的方程,ABOAB 26721知函数 .)(2ln12Raxaxf ）（）（1）当 =1 时，求 的单调区间 ；af（2）设函数 ，若 =2 是 的唯一极值点，求 .2)(egxxga（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23

9、 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程- 6 -在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数，以原点 为极点，xOy1C2cosinxyO轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .x 2 4sin（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；12（2）已知曲线 的极坐标方程为 ，点 是曲线 与 的交点，点3C0,RA3C1是曲线 与 的交点，且 均异于原点 ，且 ，求 的值.B2,ABO42Ba23. 选修 45：不等式选讲已知 .()fxax（1）在 时，解不等式 ；2()1f（2）若关于 的 不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围

10、.x4xRa湖南湖北八市十二校 2019 届高三第二次调研联考理科数学试题参考答案及解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12选项 D A A B B C C B A D A B9.【答案】A【详解】由题意可知， O 为 ABC 外接圆的圆心，如图所示，在圆 中， 所对的圆心角为 ， ，点 A,B 为定点，点 为优弧上的动点，则点 满足题中的已知条件，延长 交 于点 ，设 ，由题意可知： ，由于三点共线，据此可得： ，则 ，则 的最大值即 的最大值，由于 为定值

11、，故 最小时， 取得最大值，由几何关系易知当是， 取得最小值，此时 .- 7 -10、 【答案】D【详解】由 ，得 ， 设 ，则 ，抛物线在点 处的切线方程为 ，点 处的切线方程为 ，由 解得 ，又两切线交于点， ，故得 过 两点的切线垂直， ，故 ， ，故得抛物线的方程为 由题意得直线 的斜率存在，可设直线方程为 ，由 消去 y 整理得 ， ，由 和 可得 且 ，直线 的方程为 11、 【答案】A【详解】设 ，则 ，外接圆直径为 ，如图， 体积最大值为，设 ，则 ，令 ，得 ，在 上递增，在 上递减， ，即该三棱锥体积的最大值- 8 -是 。12B【详解】因为 ，所以 ，可得 在 上递减，在

12、 递增，所以， 有最小值 ，且 时， ，所以， 时， 最多有两个根， 最多有 2 个根，即在 有两个根时，的零点最多为 4 个， ，解得 ，故选B.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、6【详解】第一次循环： ；第二次循环：；第三次循环： ；第四次循环： ；第五次循环： ，输出 ，不满足判断框中的条件，判断框中的条件 ，故答案为 .14、2【详解】椭圆 ，其顶点坐标为 焦点坐标为（ ，双曲线方程为 由，可得 在 与 方向上的投影相等，- 9 -，直线 PF1的方程为 即： ，把它与双曲线联立可得 ，轴，又 ，所以 ，即 是 的内切圆的 圆心， 1512【解析】设 ，

13、则 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ，即 ， ，设 ，在中，由余弦定理可知 ，即 ，令 ，则，则 ，当 时，即 时， 有最大值 ，故答案为 .16.4三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17解：（1）由余弦定理-3 分22 1cos94237,abAa由正弦定理 得 -6 分,siniaCin（2）由已知得： 1cos1cosi3in22BACsiii6iA()in,5iB所以 - - -10 分510abc- 10 -又 所以 -125sinsi,SabC2

14、5ab由解得 -12 分18 （1）当 为线段 的中点时，使得 平面 证法如下：连接 ， ，设 ，四边形 为矩形， 为 的中点，又 为 的中点， 为 的中位线， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，故 为 的中点时，使得 平面 （2）过 作 分别与 ， 交于 ， ，因为 为 的中点，所 以 ， 分别为 ， 的中点， 与 均为等边三角形，且 ， ，连接 ， ，则得 ， ， ， ， ， ，四边形 为等腰梯形取 的中点 ，连接 ，则 ，又 ， ， ， 平面 ，过 点作 于 ，则 ， ， 分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，不妨设，则由条件可得：， ， ， ， ， 设 是平

15、面 的法向量，- 11 -则 即所以可取 ，由 ，可得 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 19解：（1）根据散点图判断， 适宜作为扫码支付的人数 关于活动推出天数xycd y的回归方程类型；2x分（2） ，两边同时取常用对数得： ；xycd1()xgycd1gdx设 3 分1,gv1g，4,.5,x72140ix，4 分712lgiivdx2.71.5470.2508把样本中心点 代入 ,得: ，(4,.5)1vgcdxlg.4c， ， 5 分0.2vxl0.425y关于 的回归方程式： ；y.0.40.250.25(1)3.71xxx把 代入上式， ； 8x23.71y- 12 -活动推出第

16、 天使用扫码支付的人次为 ； 7 分83470（3）记一名乘客乘车支付的费用为 ，Z则 的取值可能为： ；8 分Z2,1.6,.； ；()0.P1(8)03.52P； 10 分1671(4)0.3.56PZ分布列为： Z21.84P0.0570所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：（元）12 分20.18.516.74.620.（1）因为椭圆 C 的焦 点为 ，可设椭圆 C 的方程为12() 3,0(,)F又点 在椭圆 C 上，所以 ，解得 因此，椭2(0)xyab(,)231,4ab24,1ab圆 C 的方程为 因为圆 O 的直径为 ，所以其方程为 214xy12F23xy（2）设直线 l 与

17、圆 O 相切于 ，则 ，所以直线 l 的方程00(),)Pxy20为 ，即 由 消去 y，得00()xyy03y201,43,xy （*）2220004436()xx因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以22220000()()( )(48)yyx因为 ，所以 因此，点 P 的坐标为 ,xy,1x(2,1)因为三角形 OAB 的面积为 ，所以 ，从而 设267 67ABO47AB，由（*）得 ，12,()(),AxyB2001,248()xyx- 13 -所以 因为 ，22 211()()xByA220048()()xyx 203xy所以 ，即 ，解得 舍去） ，则2206()34

18、9x420051x22005(，因此 P 的坐标为 综上，直线 l 的方程为 201y1(,)2 3yx21、- 14 -22.（1）由 消去参数 可得 普通方程为 ，2cosinxy1C24xy ， ，由 ，得曲线 的直角坐标方程为4si24sincosinxy2C；22xy- 15 -（2）由（1）得曲线 ，其极坐标方程为 ，由题意设21:4Cxy4cos，则 ，12,AB12sinco2in2AB ， ， ， . sin144kZ03423.解：（1）在 时， .在 时， ，2a21xx(2)(21x；5x在 时， ， ， 无解；()(3在 时， ， ， .2122)1xx13x综上可知：不等式 的解集为 .()f|53（2） 恒成立，而 ，4xa2(1)xaax或 ，故只需 恒成立，或 恒成立，2(1)x(1)44 或 . 的取值为 或 .1aa