（江苏专版）2019届高三数学备考冲刺140分问题12利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题（含解析）.doc

1、1问题 12 利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题一、考情分析不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析,供参考二、经验分享(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正” “二定” “三相等” 所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法

2、：一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解(5)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(6)求参数的值或范围：观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围三、知识拓展1(1)若 Rba,则；(2)若 Rba,则 2ba（当且仅当 ba时取“=” ） 2(1)若 0,则2；(2)若 0,则（当且仅当 时取“=” ） ；(3)若

3、 ,则（当且仅当 时取“=” ） 3若 0x,则1x（当且仅当 1x时取“=” ） ；若 0x,则12x（当且仅当 1x时取“=” ）；若 ,则2,即 或2（当且仅当 ba时取“=” ） 4若 0ab,则a（当且仅当 ba时取“=” ） ；若 0,则2,即2ab或2（当且仅当 b时取“=” ） 26若 Rba,则（当且仅当 ba时取“=” ） 7一个重要的不等式链：8. 9函数图象及性质(1)函数图象如右图所示：(2)函数性质：值域：；单调递增区间：；单调递减区间：10.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和

4、定积最大” ；(2)求最值的条件“一正,二定,三相等” ；(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用四、题型分析(一) 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求函数最值时,应注意三个条件：“一正,二定,三相等”,这三个条件中,以定值为本因为在一定限制条件下,某些代数式需经过一定的变式处理,才可利用基本不等式求得最值,而怎样变式,完全取决于定值的作用主要有两种类型：一类是中条件给出定值式,一类是条件中无定值式类型一 给出定值【例 1】 【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019 届高三第一学期期末】已知实数 ，且 ，则 的最小值为_【答案

5、】【解析】由于 a+b2，且 a b0，则 0 b1 a2，3所以， ，令 t2 a1（1，3） ，则 2a t+1，所以，当且仅当 ，即当 时，等号成立因此， 的最小值为 故答案为： 【小试牛刀】设 ,xy是正实数,且 1xy,则 的最小值是_【答案】14【分析一】考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；【解析一】【分析二】考虑整体替换的方法,分母的和为常数【解析二】设 2xs, 1yt,则 4st, 类型二 未知定值【例 2】已知 为正实数,则 的最小值为 xy43xyA B C D3531032【答案】34【解析】 ,当且仅当 时取等号.【点评】配凑法是解决

6、这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对于这种没有明 确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式【小试牛刀】已知函数 在 R 上是单调递增函数,则 23cba的最小值是 【答案】1【解析】 由题意的 ,因为函数 fx在 R上单调递增,所以满足 ,可得23bca,且 0所以 ,当且仅当 b时等号成立,所以 .技巧一：凑项【例 3】设 ,则 的最小值是 0ab【分析】拼凑成和为定值的形式【解析】(当且仅当 和 ,即 时取等号).41ab2【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件,如果不符合条件则：非正化正、非定构定

7、、不等作图 （单调性）.平时应 熟练掌握双钩函数的图象,还应加强非定构定、不等作图这方面的训练,并注重表达的规范性,才能灵活应对这类题型.5【小试牛刀】 【江苏省无锡市 2019 届高三上学期期中】设 为正实数，且 ，则 的最小值为_.【答案】27【解析】因为 ，所以因此当且仅当 时取等号，即 的最小值为 27.技巧二：凑系数【例 4】 当 04x时,求 的最大值【分析】由 知 820x,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值注意到 为定值,故只需将 凑 上一个系数即可【解析】 ,当 28x,即 2x时取等号,当 2x时, 的最大值为 8【评注】本

8、题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值【小试牛刀】设 230x,求函数 的最大值【解析】 , 03x, ,当且仅当23x=-,即 时等号成立【点评】总的来说, 要提高拼凑的技巧,设法拼凑出乘积或和为定值的形式技巧三： 分离【例 5】 求 的值域6【分析一】本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有 ()1x+的项,再将其分离【解析一】 ,当 ,即 时,（当且仅当 1x=时取“”号） 【小试牛刀】已知 a,b 都是负实数,则 的最小值 是 【答案】2（ 1）【解析】 2技巧四：换元【例 6】已知 a,b 为正实数,2 b ab a30,求 y

9、 的最小值1ab【分析】这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的；二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行【解法一】由已知得 a ,ab b a0,0 b15令 t b+1,则30 2bb 1 30 2bb 1 2 b 2 30bb 11 t16, ab 2（ t ）34 t 2 8, ab18, y ,当且仅当 2t 2 34t 31t 16t 16t 118t4,即 a6, b3 时,等号成立【

10、解法二】由已知得：30 ab a2 b a2 b2 ,30 ab2 令 u ,则2 ab 2 ab abu22 u300,5 u3 , 3 ,ab18, y 2 2 2 ab 2118【点评】本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式 出发求得 ab的范围,关键是寻找到 ab与之间的关系,由此想到不等式 ,这样将已知条件转换为含 ab的不等式,进而解得 的范围7【小试牛刀】设正实数 满足 ,则 的取值范围为 yx,1【答案】89,1【解析】因为 ,所以 410xy设 ,所以当 时,上式取得最大值41t当 时,上式取得最小值2t所以 的取值范围为89,1【点评】基本不等式具

11、有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错【例 7】已知 0,xy,且19xy,求 xy的最小值【错解】 ,且 ,故 【错因】解法中两次连用基本不等式,在 等号成立条件是 xy,在192xy等号成立条件是19xy,即 x,取等号的条件的不一致,产生错误因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解

12、题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法8【正解】 , ,当且仅当9yx时,上式等号成立,又19xy,可得 时, 【小试牛刀】 【江苏省苏北四市 2019 届高三第一学期期末】已知正实数 满足 ，则 的最小值为_【答案】【解析】正实数 x， y 满足 1，则： x+y xy，则： 4x+3y，则： 4 3 7+4 ，故 的最小值为 故答案为： .技巧六：取平方【例 8】已知 x,y 为正实数,3 x2 y10,求函数 W 的最值3x 2y【解析】 W0, W23 x2 y2 102 10( )2( )2 10(3 x2 y)3x 2y 3x 2y 3x 2y20, W 2 20 5【小试

13、牛刀】求函数 的最大值【解析】注意到 1x与 x的和为定值,又 0y, ,当且仅当 21x=5x,即32时取等号,故 max2y【点评】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件技巧七：构造要求一个目标函数 ),(yxf的最值,我们利用基本不等式构造一个以 ),(yxf为主元的不等式（一般为二次9不等式）,解之即可得 ),(yxf的最值【例 9】设 ,xy为实数,若 ,则 2xy的最大值是 【分析】利用基本不等式将已知定值式中 4的均转化成含 2xy的不等式,再求 2xy的最大值【答案】2105【解析】 ,可解得 2xy的最大值为2105【点评】本题的解法过程体现了“消

14、元”的思想,所求目标函数是和的形式,那我们就设法消去条件等式中的乘积,方法就是利用基本不等式,这里它的作用,一个是消元,还有就是把条件的等式变为了不等式【小试牛刀】若正实数 , ,满足 ,则 的最大值为 xyxy【分析】构成关于 的不等式,通过解不等式求最值 【解析】由 ,得 .即 ,.计算得出: . 的最大值是 .yx4技巧八：添加参数【例 10】若已知 0,cba,则 的最小值为 【解析】 时可取得函数的最小值,此时,此时 51,最小值为 52【小试牛刀】设 wzyx,是不全为零的实数,求 的最大值【解析】显然我们只需考虑 的情形,但直接使用基本不等式是不行的,我们假设可10以找到相应的正

15、参数 ,满足：故依据取等号的条件得, ,参数 t就是我们要求的最大值消去 ,我们得到一个方程 ,此方程的最大根为我们所求的最大值,得到21t【点评】从这个例子我们可以看出,这种配凑是有规律的,关键是我们建立了一个等式,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是为了取得最值【小试牛刀】设 ,xyz是正实数,求 的最小值【解析】引进参数 k,使之满足,依据取等号的条件,有： ,故 的最小值 4综上所述,应用均值不等式求最值要注意：一要“正”：各项或各因式必须为正数；二可“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最

16、值就会出错；三能“等”：要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值(二) 基本不等式与恒成立问题【例 11】已知 0, 0,且 ,若 恒成立,则实数 的取值范围是 xy21+=m【分析】先求左边式子的最小值【解析】 , ,且 , ,当且仅当0xy21+=x,即 时取等号,又 , , , ,要使 恒成立,只4y=y4x2y11需 ,即 ,解得 ,故答案为 .28m+24m24m【点评】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于 等）,此时,函数中的参数成为限制了这一0可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件）,因此,适当的分离参数能简化解题过程例：要使函

17、数 恒大于 ,就必须对 进行限制-令 ,这是比较简单的情况,而0a0a对于比较复杂的情况时,先分离参数的话做题较简单.【小试牛刀】若 对任意的正实数 ,xy恒成立,求 的最小值【解析】 对任意的正实数 ,恒成立, 对任意的正实数 ,xy恒成立设 ,由取等号条件： ,消去 k,可以得到：210t,解得：512t,因此 a的最小值为512题型二 基本不等式的实际应用【例 12】某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时， C(x) x210 x(万元)当年产量不小于 80 千件时， C(x)51 x 1 450(万元)13 1

18、0 000x每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解析】(1)因为每件商品售价为 0.05 万元，则 x 千件商品销售额为 0.051 000x 万元，依题意得：当00)，即 x80 时“”成立800x x8(2)年平均利润为 x 18yx 25x( x )18，25x x 2 10，25x x25x 18( x )18108，yx 25x当且仅当 x ， 即 x5 时，取等号25x五、迁移运用1.【江苏省南通市通州区 2018-

19、2019 学年第一学期高三年级期末】对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯才13提出并证明了勾股定理 如果一个直角三角形的斜边长等于 5，那么这个直角三角形面积的最大值等于_【答案】【解析】设直角三角形的斜边为 c，直角边分别为 a，b，由题意知 ，则 ，则三角形的面积 ，则三角形的面积 ，当且仅当 a=b= 取等即这个直角三角形面积的最大值等于 ，故答案为： 2 【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市 2019 届高三第一次（2 月)模拟】在平面四边形 中， 则 的最小值为_【答案】【解析】如图，以 A

20、 为原点，建立平面直角坐标系，则 A（0,0） ，B（1,0） ，因 为 DADB，可设 D（ ，m） ，因为 ，AB1，由数量积的几何意义知 在 方向的投影为 3，可设 C（3，n） ，14又 所以， ，即， ，当且仅当 ，即 n1，m 时，取等号，故答案为 .3 【江苏省常州市 2019 届高三上学期期末】已知正数 满足 ，则 的最小值为_.【答案】4【解析】由基本不等式可得 ，所以，当且仅当 ，即当 y x2时，等号成立，因此， 的最小值为 4，故答案为：44 【江苏省扬州市 2018-2019 学年度第一学期期末】已知正实数 x，y 满足 ，若 恒成立，则实数 m 的取值范围为_【答案

21、】【解析】由于 x+4y xy0，即 x+4y xy，等式两边同时除以 xy 得， ，由基本不等式可得 ，当且仅当 ，即当 x2y=6 时，等号成立，所以， x+y 的最小值为 9 因此， m9故答案为： m95 【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港)2019 届高三年级第一次质量检测】已知 ，15，且 ，则 的最大值为_【答案】【解析】 化为 ，即 ，解得： ，所以， 的最大值为 。故答案为：6 【江苏省无锡市 2019 届高三上学期期末】在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin 2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为_【答案】【解析】由正弦定理，得： ，如图，作 BD

22、AC 于 D，设 ADx，CDy，BDh，因为 ，所以， ，化简，得：，解得：x3y， ， ， ，当且仅当 时取得最小值 .故答案为： .167 【江苏省镇江市 2019 届高三上学期期末】设函数 ( ， )若不等式对一切 恒成立，则 的取值范围为_【答案】【解析】由题可得： ，不等式 对一切 恒成立，可化为：对一切 恒成立， 所以 ，又 ，解得： ，不等式 对一切 恒成立化为：对一切 恒成立，所以： 恒成立。所以 = ，当且仅当 ， 时等号成立。8 【江苏省镇江市 2019 届高三上学期期末】已知 ， ， ，则 的最小值为_【答案】3【解析】因为 ， ，所以 =9 【江苏省盐城市、南京市 2

23、019 届高三年级第一次模拟】若正实数 、 、 满足 ，则 的最大值为_【答案】【解析】由 ， ，解得 ， ， ，1710 【江苏省如皋市 2019 届高三教学质量调研（三)】已知 ，若 ， 满足 ，且 ，则 的最小值为_【答案】【解析】由 ，且 ， ，所以 ，即，所以 ，得 ，所以，当且仅当 ，即 时，等号成立，综上，的最小值为11 【2018 年江苏高考试卷】在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交于点 D，且 ，则 的最小值为_【答案】9【解析】由题意可知， ,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得 ，因此当且仅当 时取等号，则 的最小值为 .12 【江苏省南京市 2018 届高

24、三第三次模拟】若正数 成等差数列，则 的最小值为_【答案】【解析】因为正数 a,b,c 成等差数列，所以 2b=a+c.所以18令 5a+c=x,2a+c=y，则所以当且仅当 时取等号.故答案为：13 【江苏省苏锡常镇四市 2017-2018 学年度高三教学情况调研】已知 为正实数，且 ，则 的最小值为_【答案】 .【解析】由题得 ，代入已知得 ，两边除以 得当且仅当 ab=1 时取等.所以即 的最小值为 .故答案为：14 【江苏省无锡市 2018 届高三第一学期期末检测】已知双曲线 与椭圆 的焦点重合，离心率互为倒数，设 分别为双曲线 的左，右焦点， 为右支上任意一点，则 的最小值为_19【

25、答案】8【解析】由已知 ， ， ； 又双曲线 与椭圆焦点重合，离心率互为倒数， ，则双曲线 ； 在右支上 ，根据双曲线的定义有 ， ，故 的最小值为 .15 【江苏省苏北六市 2018 届高三第二次调研】已知 a， b， c 均为正数，且 abc4( a b)，则 a b c 的最小值为_【答案】8【解析】16 【江苏省南通、徐州、扬州等六市 2018 届二模】已知 abc， ， 均为正数，且 ，则abc的最小值为_【答案】8【解析】 ， ， 均为正数，且 ，当且仅当 2a， b时取等号 abc的最小值为 820故答案为 8.17 【江苏省扬州市 2017-2018 学年度第一学期期末】已知正

26、实数 ， 满足 ，则的最小值为_【答案】【解析】令 ，则： ，即 ，则： ，据此有： ，综上可得：当且仅当 时等号成立.综上可得： 的最小值为 .17 【江苏省南京师 大附中 2018 届高三高考考前模拟】已知 ，求证 【解析】证明：证法一 因为 a0，b0，ab1，21所以( )(2a1)(2b1)14 52 9 而 (2a1)(2b1)4，所以 证法二 因为 a0，b0，由柯西不等式得( )(2a1)(2b1)( )2(12)29 由 ab1，得 (2a1)(2b1)4，所以 18 【江苏省南通市 2018 届高三上学期第一次调研】已知 1a， b，求21ab的最小值.【答案】8【解析】试

27、题解析：因为 1a， b，所以 ， .两式相加： 4ba，所以 . 当且仅当 且 时“ ”成立.即 2ab时， 21ab取得最小值 8.19 【山东省德州市 2018 届高三上学期期中】水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放 a（04且 R）个单位的营养液，它在水中释放的浓度 y (克/升）随着时间 x (天)变化的函数关系式近似为 yafx，其中 ，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于 4(克/升)时，它才能有效.22（1）若只投放一次 2 个单位的营养液，则有效时间最多可能达到几天？（2）若先投放 2 个

28、单位的营养液，3 天后再投放 b个单位的营养液，要使接下来的 2 天中，营养液能够持续有效，试求 b的最小值.【答案】(1) 3 天；(2) 182.【解析】（1）营养液有效则需满足 4y，则 或 ，即为 12x或 3， 解得 ，所以营养液有效时间最多可达 3 天； （2）解法一:设第二次投放营养液的持续时间为 x天，则此时第一次投放营养液的持续时间为 天，且 02；设 1y为第一次投放营养液的浓度， 2y为第二次投放营养液的浓度， y为水中的营养液的浓度； ，由题意得 在 0,2上恒成立， 在 0,2上恒成立，令 ，则 ，又 ，当且仅当18t，即 32t时等号成立；23因为 32,5所以 b

29、的最小值为 182.答:要使接下来的 2 天中，营养液能够持续有效， b的最小值为 182.解法二:设两次投放营养液后的持续时间为 x天，则第一次投放营养液的持续时间为 天，第二次投放营养液的持续时间为 3天，且 5x，设 1y为第一次投放营养液的浓度， 2y为第二次投放营养液的浓度， y为水中的营养液的浓度； ，由题意得 在 3,5上恒成立 在 3,5上恒成立则又 ，当且仅当18x即 32时等号成立；因 32,5，所以 b的最小值为 182.答:要使接下来的 2 天中，营养液能够持续有效， b的最小值为 182.20 【江苏省南京市 2018 届高三数学上学期期初】某工厂有 100 名工人接

30、受了生产 1000 台某产品的总任务，每台产品由 9 个甲型装置和 3 个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成 1 个甲型装置或 3 个乙型装置现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置设加工甲型装置的工人有 x 人，他们加工完甲型24装置所需时间为 t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为 t2小时设 f(x) t1 t2（）求 f(x)的解析式，并写出其定义域；（）当 x 等于多少时， f(x)取得最小值？【答案】 （1） 定义域为 x|1 x99， xN *（2）当 x75 时， f(x)取得最小值【解析】 （1）因为 190tx所以 定义域为 x|1 x99， xN * （2） f(x) ， 因为 1 x99， xN *，所 以910x0， 1x0，所以 2 6， 当且仅当910x ，即当 x75 时取等号 答：当 x75 时， f(x)取得最小值25