1、第1节 数列的概念及简单表示法,考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.,知 识 梳 理,1.数列的定义,按照_排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.,一定顺序,2.数列的分类,有限,无限,3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是_、图象法和_. 4.数列的通项公式(1)通项公式:如果数列an的第n项an与_之间的关系可以用一个式子anf(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式:如果已知数列an的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an
2、1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.,列表法,解析法,序号n,微点提醒,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1,1,1,1,不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( ) (4)如果数列an的前n项和为Sn,则对任意nN*,都有an1Sn1Sn.( ) 解析 (1)数列:1,2,3和数列:3,2,1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的,可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1) (2) (3) (
3、4),答案 D,3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式an_.,解析 由a11514,a26524,a311534,归纳an5n4. 答案 5n4,4.(2019山东省实验中学摸底)已知数列an中,a11,an12an1(nN*),Sn为其前n项和,则S5的值为( )A.57 B.61 C.62 D.63解析 由条件可得a22a113,a32a217,a42a3115,a52a4131,所以S5a1a2a3a4a5137153157.答案 A,5.(2018北京朝阳区月考)数列0,1,0,1,0,1,0,1,的一个通项公式an等于( ),解析
4、令n1,2,3,逐一验证四个选项,易得D正确. 答案 D,考点一 由数列的前几项求数列的通项,【例1】 (1)已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是( ),规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2)具体策略:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项的符号特征和绝对值特征;化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;对于符号交替出现的情况,可用(1)k或(1)k1,kN*处理.,【训练
5、1】 写出下列各数列的一个通项公式:,考点二 由an与Sn的关系求通项 易错警示 【例2】 (1)(2019广州质检)已知Sn为数列an的前n项和,且log2(Sn1)n1,则数列an的通项公式为_.(2)(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1,则S6_.,解析 (1)由log2(Sn1)n1,得Sn12n1, 当n1时,a1S13; 当n2时,anSnSn12n,,(2)由Sn2an1,得a12a11,所以a11. 当n2时,anSnSn12an1(2an11), 得an2an1. 数列an是首项为1,公比为2的等比数列.,【训练2】 (1)已知数列an的前n项和Sn2
6、n23n,则数列an的通项公式an_.(2)已知数列an的前n项和Sn3n1,则数列的通项公式an_.,解析 (1)a1S1231, 当n2时,anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5, 由于a1也适合上式,an4n5. (2)当n1时,a1S1314, 当n2时,anSnSn13n13n1123n1. 显然当n1时,不满足上式.,考点三 由数列的递推关系求通项 易错警示,所以a2a1ln 2ln 1, a3a2ln 3ln 2, a4a3ln 4ln 3, anan1ln nln(n1)(n2). 把以上各式分别相加得ana1ln nln 1, 则an2ln n,且a12也适
7、合, 因此an2ln n(nN*).,(3)由an12an3,得an132(an3).,所以bn是以4为首项,2为公比的等比数列. bn42n12n1,an2n13.,【训练3】 (1)(2019山东、湖北部分重点中学联考)已知数列an的前n项和为Sn,若a12,an1an2n11,则an_.(2)若a11,an12nan,则通项公式an_.,解析 (1)a12,an1an2n11an1an2n11an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1,,考点四 数列的性质,规律方法 1.在数学命题中,以数列为载体,常考查周期性、单调性. 2.(1)研究数列的周期性,常由条件求出数列的
8、前几项,确定周期性,进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an1的大小,常用比差或比商法进行判断.,a2(a11)20,a3(a21)21,a4(a31)20,可知数列an是以2为周期的数列,a2 020a20. (2)由an1an知该数列是一个递增数列, 又通项公式ann2kn4,所以(n1)2k(n1)4n2kn4,即k12n. 又nN*,所以k3. 答案 (1)0 (2)(3,),思维升华 1.数列是特殊的函数,要利用函数的观点认识数列. 2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法:(1)算出前几项,再归纳、猜想.(2)形如“an1panq”这种形式通常转化为an1p(an),由待定系数法求出,再化为等比数列.,易错防范 1.解决数列问题应注意三点(1)在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值是正整数.(2)数列的通项公式不一定唯一.(3)注意anSnSn1中需n2. 2.数列an中,若an最大,则anan1且anan1;若an最小,则anan1且anan1.,
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