2020高考数学刷题首选卷第六章立体几何考点测试44直线、平面垂直的判定及其性质文（含解析）.docx

1、1考点测试 44 直线、平面垂直的判定及其性质高考概览本 考 点 是 高 考 必 考 知 识 点 ， 各 种 题 型 都 有 考 查 ， 分 值 为 5分 或 10分 ， 中 等 难 度考纲研读1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题一、基础小题1下列条件中，能判定直线 l平面 的是( )A l 与平面 内的两条直线垂直B l 与平面 内无数条直线垂直C l 与平面 内的某一条直线垂直D l 与平面 内任意一条直线垂直答案 D解析 由直线与平面垂直的定义，可知 D 正确2设 l，

2、m， n 均为直线，其中 m， n 在平面 内，则“ l ”是“ l m 且 l n”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 当 l 时， l m 且 l n但当 l m， l n 时，若 m， n 不是相交直线，则得不到 l 即 l 是 l m 且 l n 的充分不必要条件故选 A3给出下列四个命题：垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面其中真命题的个数是( )A1 B2 C3 D4

3、答案 B解析 由直线与平面垂直的性质，可知正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底2面，而不平行，故错误；由直线与平面垂直的定义知正确，而错误4若空间三条直线 a， b， c 满足 a b， b c，则直线 a 与 c( )A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交、异面直线都有可能答案 D解析 当 a， b， c 共面时， a c；当 a， b， c 不共面时， a 与 c 可能异面也可能相交5下列命题中错误的是( )A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l平

4、面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 答案 D解析 对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的直线可能不垂直于平面 ，即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其他选项易知均是正确的6如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中， BAC90， BC1 AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在( )A直线 AB 上B直线 BC 上C直线 AC 上D ABC 内部答案 A解析 由 AC AB， AC BC1， AC平面 ABC1又 AC平面 ABC，平面 ABC1平面 ABC C1在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面交线 AB 上7如图所示，在立体图形 D ABC

5、中，若 AB CB， AD CD， E 是 AC 的中点，则下列结3论正确的是( )A平面 ABC平面 ABDB平面 ABD平面 BDCC平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面 BDED平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC平面 BDE答案 C解析 因为 AB CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE AC，同理有 DE AC，而BE DE E，所以 AC平面 BDE因为 AC 在平面 ABC 内，所以平面 ABC平面 BDE又由于AC 在平面 ADC 内，所以平面 ADC平面 BDE故选 C8如图所示，已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形， PA平面ABCDEF， PA2

6、 AB，则下列结论正确的是( )A PA ADB平面 ABCDEF平面 PBCC直线 BC平面 PAED直线 PD 与平面 ABCDEF 所成的角为 30答案 A解析 因为 PA平面 ABCDEF，所以 PA AD，故选项 A 正确；选项 B 中两个平面不垂直，故选项 B 错；选项 C 中， AD 与平面 PAE 相交， BC AD，故选项 C 错；选项 D 中， PD 与平面 ABCDEF 所成的角为 45，故选项 D 错故选 A二、高考小题9(2017全国卷)在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则( )A A1E DC1 B A1E BDC A1E BC1 D

7、 A1E AC答案 C4解析 如图， A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC， BD 垂直，B，D 错误； A1E 在平面 BCC1B1上的投影为 B1C，且 B1C BC1， A1E BC1，故 C 正确；(证明：由条件易知， BC1 B1C， BC1 CE，又 CE B1C C， BC1平面 CEA1B1又A1E平面 CEA1B1， A1E BC1) A1E 在平面 DCC1D1上的投影为 D1E，而 D1E 不与 DC1垂直，故 A 错误故选 C10(2015福建高考)若 l， m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 ，则“ l m”是“l ”的( )A充分而不

8、必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 由“ m 且 l m”推出“ l 或 l ”，但由“ m 且 l ”可推出“l m”，所以“ l m”是“ l ”的必要而不充分条件故选 B三、模拟小题11(2018大连双基测试)已知互不重合的直线 a， b，互不重合的平面 ， ， ，给出下列四个命题，错误的命题是( )A若 a ， a ， b，则 a bB若 ， a ， b ，则 a bC若 ， ， a，则 a D若 ， a ，则 a 答案 D解析 构造一个长方体 ABCD A1B1C1D1对于 D，平面 ABCD平面 A1B1C1D1， A1B1平面 ABCD A

9、1B1 平面 A1B1C1D1 /12(2018河南安阳二模)已知 a， b 表示两条不同的直线， ， 表示两个不同的5平面，下列说法错误的是( )A若 a ， b ， ，则 a bB若 a ， b ， a b，则 C若 a ， a b， ，则 b D若 a， a b，则 b 或 b 答案 C解析 对于 A，若 a ， ，则 a ，又 b ，故 a b，A 正确；对于 B，若 a ， a b，则 b 或 b ，存在直线 m ，使得 m b，又b ， m ， ，故 B 正确；对于 C，若 a ， a b，则 b 或 b ，又 ， b 或 b ，故 C 错误；对于 D，若 a， a b，则 b 或

10、 b ，故 D 正确，故选 C13(2018安徽亳州模拟)如图甲所示，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点， G 是 EF 的中点，现在沿 AE， AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 H，如图乙所示，那么，在四面体 A EFH 中必有( )A AH平面 EFH B AG平面 EFHC HF平面 AEF D HG平面 AEF答案 A解析 AH HE， AH HF，且 EH HF H， AH平面 EFH，A 正确；过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，B 不正确； AG EF， EF AH， AG AH A， E

11、F平面HAG， EF平面 AEF，平面 HAG AEF，过 H 作平面 AEF 的垂线，一定在平面 HAG 内，C 不正确； HG 不垂直于 AG， HG平面 AEF 不正确，D 不正确，故选 A14(2018福建泉州二模)在下列四个正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F， G 均为所在棱的中点，过 E， F， G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线 BD1与平面 EFG 不垂直的是( )6答案 D解析 如图，在正方体中， E， F， G， M， N， Q 均为所在棱的中点，易知E， F， G， M， N， Q 六个点共面，直线 BD1与平面 EFMNQG 垂直，并且选项 A，B

12、，C 中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项 D 中的直线 BD1与平面 EFG 不垂直，满足题意故选 D15(2018南昌模拟)如果 PA， PB， PC 两两垂直，那么点 P 在平面 ABC 内的投影一定是 ABC 的( )A重心 B内心 C外心 D垂心答案 D解析 如图， O 是点 P 在平面 ABC 内的投影，连接 OA， OB， OC， PA， PB， PC 两两垂直， PA平面 PBC，又 BC平面 PBC， PA BC，而 PO平面 ABC， BC平面 ABC， PO BC，又 PA PO P， BC平面 PAO7又 AO平面 PAO， BC AO同理可知 AC BO， A

13、B CO O 为 ABC 的垂心故选 D16(2018南昌摸底)如图，四棱锥 P ABCD 中， PAB 与 PBC 是正三角形，平面PAB平面 PBC， AC BD，则下列结论不一定成立的是( )A PB ACB PD平面 ABCDC AC DPD平面 PBD平面 ABCD答案 B解析 取 BP 中点 O，连接 OA， OC，易得 BP OA， BP OCBP面 OACBP AC选项A 正确；又 AC BDAC面 BDPAC PD，平面 PBD平面 ABCD，所以选项 C，D 也正确故选 B17(2018山西临汾模拟)如图，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD平面ABCD，

14、NB平面 ABCD，且 MD NB1， E 为 MC 的中点，则下列结论不正确的是( )A平面 BCE平面 ABNB MC ANC平面 CMN平面 AMND平面 BDE平面 AMN8答案 C解析 分别过 A， C 作平面 ABCD 的垂线 AP， CQ，使得 AP CQ1，连接PM， PN， QM， QN，将几何体补成棱长为 1 的正方体 BC平面 ABN，又 BC平面 BCE，平面 BCE平面 ABN，故 A 正确；连接 PB，则 PB MC，显然， PB AN， MC AN，故 B 正确；取 MN 的中点 F，连接 AF， CF， AC AMN 和 CMN 都是边长为 的等边三角形，2 A

15、F MN， CF MN， AFC 为二面角 A MN C 的平面角， AF CF ， AC ， AF2 CF2 AC2，即 AFC ，平面 CMN 与平面 AMN 不垂直，62 2 2故 C 错误； DE AN， MN BD， DE BD D， DE， BD平面 BDE， MN AN N， MN， AN平面AMN，平面 BDE平面 AMN，故 D 正确，故选 C18(2018西安六校联考)已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形， PA底面ABCD，点 E， F 分别是棱 PC， PD 的中点，则棱 AB 与 PD 所在的直线垂直；平面 PBC 与平面 ABCD 垂直； PCD 的面

16、积大于PAB 的面积；直线 AE 与直线 BF 是异面直线以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)答案 解析 由条件可得 AB平面 PAD， AB PD，故正确； PA平面 ABCD，平面PAB，平面 PAD 都与平面 ABCD 垂直故平面 PBC 不可能与平面 ABCD 垂直，故错误； S PCD CDPD， S PAB ABPA，由 AB CD， PDPA，可知正确；由 E， F 分别是棱12 12PC， PD 的中点可得 EF CD，又 AB CD， EF AB，故 AE 与 BF 共面，故错误一、高考大题1(2018全国卷)如图，在三棱锥 P ABC 中，AB BC2 ， PA P

17、B PC AC4， O 为 AC 的中点29(1)证明： PO平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC2 MB，求点 C 到平面 POM 的距离解 (1)证明：因为 AP CP AC4， O 为 AC 的中点，所以 OP AC，且 OP2 3连接 OB，因为 AB BC AC，所以 ABC 为等腰直角三角形，且22OB AC， OB AC212由 OP2 OB2 PB2知 OP OB由 OP OB， OP AC， AC OB O，知 PO平面 ABC(2)作 CH OM，垂足为 H又由(1)可得 OP CH，所以 CH平面 POM故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题

18、设可知 OC AC2， CM BC ， ACB4512 23 423所以 OM ， CH 253 OCMCsin ACBOM 455所以点 C 到平面 POM 的距离为 4552(2018天津高考)如图，在四面体 ABCD 中， ABC 是等边三角形，平面 ABC平面ABD，点 M 为棱 AB 的中点， AB2， AD2 ， BAD90310(1)求证： AD BC；(2)求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；(3)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值解 (1)证明：由平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABD AB， AD AB，可得 AD平面 ABC，故 AD BC(

19、2)取棱 AC 的中点 N，连接 MN， ND又 M 为棱 AB 的中点，故 MN BC所以 DMN(或其补角)为异面直线 BC 与 MD 所成的角在 Rt DAM 中， AM1，故 DM AD2 AM2 13因为 AD平面 ABC，故 AD AC在 Rt DAN 中， AN1，故 DN AD2 AN2 13在等腰三角形 DMN 中， MN1，可得 cos DMN 12MNDM 1326所以，异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 1326(3)连接 CM因为 ABC 为等边三角形， M 为边 AB 的中点，故 CM AB， CM 3又因为平面 ABC平面 ABD，而 CM平面 ABC，故

20、 CM平面 ABD所以， CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角在 Rt CAD 中， CD 4AC2 AD2在 Rt CMD 中，sin CDM CMCD 34所以，直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 343(2017全国卷)如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB CD，且 BAP CDP9011(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PA PD AB DC， APD90，且四棱锥 P ABCD 的体积为 ，求该四棱锥的83侧面积解 (1)证明：由已知 BAP CDP90，得 AB AP， CD PD由于 AB CD，故 AB PD，又 AP PD P，从而 AB

21、平面 PAD又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD(2)如图，在平面 PAD 内作 PE AD，垂足为 E由(1)知， AB平面 PAD，故 AB PE， AB AD， AB AD A，可得 PE平面 ABCD设 AB x，则由已知可得 AD x， PE x222故四棱锥 P ABCD 的体积VP ABCD ABADPE x313 13由题设得 x3 ，故 x213 83从而结合已知可得 PA PD AB DC2， AD BC2 ， PB PC2 2 2可得四棱锥 P ABCD 的侧面积为PAPD PAAB PDDC BC2sin6062 12 12 12 12 3二、模拟大题4(

22、2018湖南益阳模拟)如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAB平面ABCD， AD BC， AD2 BC， DAB ABP9012(1)求证： AD平面 PAB；(2)求证： AB PC；(3)若点 E 在棱 PD 上，且 CE平面 PAB，求 的值PEPD解 (1)证明：因为 DAB90，所以 AD AB因为平面 PAB平面 ABCD，且平面 PAB平面 ABCD AB，所以 AD平面 PAB(2)证明：由(1)知 AD AB，因为 AD BC，所以 BC AB又 ABP90，所以 PB AB因为 PB BC B，所以 AB平面 PBC，因为 PC平面 PBC，所以 AB PC(3

23、)过 E 作 EF AD 交 PA 于 F，连接 BF因为 AD BC，所以 EF BC所以 E， F， B， C 四点共面又 CE平面 PAB，且 CE平面 BCEF，平面 BCEF平面 PAB BF，所以 CE BF，所以四边形 BCEF 为平行四边形，所以 EF BC AD12在 PAD 中，因为 EF AD，所以 ，即 PEPD EFAD 12 PEPD 12135(2018广东江门一模)如图，直角梯形 ABEF 中， ABE BAF90， C， D 分别是 BE， AF 上的点，且 DA AB BC a， DF2 CE2 a沿 CD 将四边形 CDFE 翻折至四边2形 CDPQ 的位

24、置，连接 AP， BP， BQ，得到多面体 ABCDPQ，且 AP a6(1)求多面体 ABCDPQ 的体积；(2)求证：平面 PBQ平面 PBD解 (1) DA AB BC a， ABC BAD90，2四边形 ABCD 是正方形， CD AD， CD DP，又 AD DP D， CD平面 ADP AB CD， AB平面 ADP， AD2 DP2 AP2， AD DP，又 CD AD， CD DP D， AD平面 CDPQ，又 AD BC， BC平面 CDPQ， VB CDPQ S 梯形 CDPQBC a a3，13 13 a 2a2a2 2VB ADP S ADPAB a2a a ，13 1

25、3 12 2 2 2a33多面体 ABCDPQ 的体积为VB CDPQ VB ADP 5a33(2)证明：取 BP 的中点 G，连接 GQ， DG， DQ，在 ABP 中，BP 2 a，AB2 AP2 2 BG BP a，12 2在 BCQ 中， BQ aBC2 CQ2 3PQ a，DP CQ2 CD2 314 PQ BQ， GQ BP QG a，BQ2 BG2又 BD AB2 a DP， DG BP，2 DG a，BD2 BG2 2又 DQ a，CQ2 CD2 3 DQ2 QG2 DG2， QG DG又 BP DG G， QG平面 PBD，又 QG平面 PBQ，平面 PBQ平面 PBD6(2

26、018辽宁锦州模拟)如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD BC， AD CD， Q 是 AD 的中点， M 是棱 PC 的中点， PA PD2， BC AD1， CD ， PB 12 3 6(1)求证： PA平面 MQB；(2)求证：平面 PAD底面 ABCD；(3)求三棱锥 B PQM 的体积解 (1)证明：如图，连接 AC，交 BQ 于 N，连接 MN， QC， BC AD， AD BC， Q 是 AD 的中点，12 AQ BC，且 AQ BC，四边形 ABCQ 是平行四边形， N 是 BQ 的中点， M 是棱 PC 的中点， MN PA， PA平面 MQB， MN平面 MQB， PA

27、平面 MQB15(2)证明： AD BC， BC AD1， Q 是 AD 的中点，12 BC QD， BC QD，四边形 BCDQ 为平行四边形， CD BQ， AD CD， BQ AD又 PA PD2， AD2， Q 是 AD 的中点，故 PQ 3又 QB CD ， PB ，3 6 PB2 PQ2 QB2，由勾股定理的逆定理可知 PQ QB，又 PQ AD Q， BQ平面 PAD，又 BQ平面 ABCD平面 PAD平面 ABCD(3)由(2)可知， PQ ， BQ ，3 3 PA PD2， Q 是 AD 的中点， PQ AD，平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD AD， PQ平面 ABCD，又 M 是棱 PC 的中点，故 VB PQM VP BQC VM BQC VP BQC VP BQC12 VP BQC 1 12 12 13 12 3 3 1416