2020高考数学刷题首选卷第六章立体几何考点测试45直线、平面平行的判定及其性质理（含解析）.docx

1、1考点测试 45 直线、平面平行的判定及其性质高考概览高 考 中 本 考 点 各 种 题 型 都 有 考 查 ， 分 值 为 5分 或 10分 ， 中 等 难 度考纲研读1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题一、基础小题1已知平面 平面 ，若两条直线 m， n 分别在平面 ， 内，则 m， n 的关系不可能是( )A平行 B相交C异面 D平行或异面答案 B2解析 由 知， 又 m ， n ，故 m n故选 B2两条直线 a， b 满足 a b， b ，则 a 与平面 的位置关系

2、是( )A a B aC a 与 相交 D a 与 不相交答案 D解析 由于 b 且 a b，则 a 或 a 故 a 与 不相交故选 D3如图所示的三棱柱 ABC A1B1C1中，过 A1B1的平面与平面 ABC 交于 DE，则 DE 与 AB的位置关系是( )A异面B平行C相交D以上均有可能答案 B解析 在三棱柱 ABC A1B1C1中， AB A1B1， AB平面 ABC， A1B1平面 ABC， A1B1平面 ABC，过 A1B1的平面与平面 ABC 交于DE DE A1B1， DE AB4下列命题中，错误的是( )A平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B平

3、行于同一个平面的两个平面平行C若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案 C解析 由面面平行的判定定理和性质知 A，B，D 正确对于 C，位于两个平行平面内的直线也可能异面5若直线 l 不平行于平面 ，且 l ，则( )A 内的所有直线与 l 异面B 内不存在与 l 平行的直线3C 内存在唯一的直线与 l 平行D 内的直线与 l 都相交答案 B解析 因为 l ，若在平面 内存在与直线 l 平行的直线，则 l ，这与题意矛盾故选 B6下面结论中：过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；过不在平面内的一条直线，有且只有

4、一个平面与这个平面平行；过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；过不在直线上的一点，有且只有一个平面与这条直线平行正确的序号为( )A B C D答案 C解析 对于，过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行，正确；对于，当已知直线与平面相交时，不存在平面与已知平面平行，错误；对于，过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确；对于，过不在直线上的一点，有无数个平面与已知直线平行，错误故选 C7有下列命题：若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则直线 l ；若直线 a 在平面 外，则 a ；若直线 a b， b ，则 a ；若直线 a b， b ，则 a 平行

5、于平面 内的无数条直线其中真命题的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 A解析 命题， l 可以在平面 内，是假命题；命题，直线 a 与平面 可以是相交关系，是假命题；命题， a 可以在平面 内，是假命题；命题是真命题8已知正方体 ABCD A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是_(只填序号) AD1 BC1；平面 AB1D1平面 BDC1； AD1 DC1； AD1平面 BDC1答案 4解析 连接 AD1， BC1， AB1， B1D1， C1D， BD，则 AD1 BC1，从而正确；易证BD B1D1， AB1 DC1，又 AB1 B1D1 B1， BD DC1 D，故平面 AB1D

6、1平面 BDC1，从而正确；由图易知 AD1与 DC1异面，故错误；因 AD1 BC1， AD1平面 BDC1， BC1平面 BDC1，故 AD1平面 BDC1，故正确二、高考小题9(2018浙江高考)已知平面 ，直线 m， n 满足 m ， n ，则“ m n”是“m ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 m ， n ， m n， m ，故充分性成立而由 m ， n ，得 m n或 m 与 n 异面，故必要性不成立故选 A10(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点，M， N， Q 为所在棱的中点，则

7、在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )答案 A解析 A 项，作如图所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QD AB QD平面MNQ Q， QD 与平面 MNQ 相交，直线 AB 与平面 MNQ 相交B 项，作如图所示的辅助线，5则 AB CD， CD MQ， AB MQ又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ， AB平面 MNQC 项，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ， AB平面 MNQD 项，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD NQ， AB NQ又 AB平面 MNQ， NQ平面 MN

8、Q， AB平面 MNQ故选 A11(2016全国卷)平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A， 平面CB1D1， 平面 ABCD m， 平面 ABB1A1 n，则 m， n 所成角的正弦值为( )A B C D32 22 33 13答案 A解析 如图，延长 B1A1至 A2，使 A2A1 B1A1，延长 D1A1至 A3，使 A3A1 D1A1，连接AA2， AA3， A2A3， A1B， A1D易证 AA2 A1B D1C， AA3 A1D B1C平面 AA2A3平面CB1D1，即平面 AA2A3为平面 于是 m A2A3，直线 AA2即为直线 n显然有AA2 AA3 A2A3，

9、于是 m， n 所成的角为 60，其正弦值为 故选 A3212(2016全国卷) ， 是两个平面， m， n 是两条直线，有下列四个命题：如果 m n， m ， n ，那么 ；6如果 m ， n ，那么 m n；如果 ， m ，那么 m ；如果 m n， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案 解析 由 m n， m ，可得 n 或 n 在 内，当 n 时， 与 可能相交，也可能平行，故错易知都正确三、模拟小题13(2018陕西西安一中模拟)在三棱锥 A BCD 中， E， F， G， H 分别是AB， BC， CD， DA 上的点，当

10、 BD平面 EFGH 时，下面结论正确的是( )A E， F， G， H 一定是各边的中点B G， H 一定是 CD， DA 的中点C BE EA BF FC，且 DH HA DG GCD AE EB AH HD 且 BF FC DG GC答案 D解析 由 BD平面 EFGH，得 BD EH， BD FG，则 AE EB AH HD，且BF FC DG GC故选 D14(2018福建厦门第二次质量检查)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N， P 分别是 C1D1， BC， A1D1的中点，则下列命题正确的是( )A MN APB MN BD17C MN平面 BB1D1DD

11、MN平面 BDP答案 C解析 取 B1C1中点 Q，连接 MQ， NQ，由三角形中位线定理可得 MQ B1D1， MQ面BB1D1D，由四边形 BB1QN 为平行四边形，得 NQ BB1， NQ面 BB1D1D，平面 MNQ平面BB1D1D， MN面 MNQ， MN平面 BB1D1D，故选 C15(2018衡阳二模)若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面 平行的棱有( )A0 条 B1 条C2 条 D1 条或 2 条答案 C解析 如图所示，平面 截三棱锥所得截面为平行四边形 EFGH，因为 FG EH，可证明 FG平面 ABD，由线面平行的性质可知 FG AB，所以 AB ，

12、同理可得 CD ，所以有两条棱和平面平行，故选 C16(2018南昌一模)下列四个正方体图形中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， P分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是( )A B C D答案 D解析 在中，由正方体性质得到平面 MNP 与 AB 所在平面平行， AB平面 MNP，故成立；若下底面中心为 O，则 NO AB， NO面 MNP N， AB 与面 MNP 不平行，故不成立；过 P 作与 AB 平行的直线 PO，则 PO 与平面 MNP 相交， AB 与面 MNP 不平行，故不成立；在中， AB 与 PN 平行， AB平面 MNP，故成立综上所述

13、，答案为 D817(2018太原模拟)在长方体 ABCD A1B1C1D1中， B1C 和 C1D 与底面所成的角分别为60和 45，则异面直线 B1C 和 C1D 所成的角的余弦值为_答案 64解析 B1B平面 ABCD， BCB1是 B1C 与底面所成角， BCB160 C1C底面 ABCD， CDC1是 C1D与底面所成角， CDC145，连接 A1D， A1C1，则 A1D B1C， A1DC1或其补角为异面直线 B1C 与 C1D 所成角，不妨设 BC1，则CB1 DA12， BB1 CC1 CD， C1D ， A1C12在等腰三角形 A1C1D 中，3 6cos A1DC1 12C

14、1DA1D 6418 题图 18(2018合肥质检三)如图直三棱柱 ABC A B C中， ABC 为边长为 2的等边三角形， AA4，点 E， F， G， H， M 分别是边 AA， AB， BB， A B， BC 的中点，动点 P 在四边形 EFGH 内部运动，并且始终有 MP平面 ACC A，则动点 P 的轨迹长度为_答案 4解析 因为 H， F， M 分别为 A B， AB， BC 的中点，所以 FM AC， HF AA，所以FM平面 ACC A， HF平面 ACC A，又因为 FM HF F，所以平面 HFM平面ACC A，要使 MP平面 ACC A，则 MP平面 HFM，所以点 P

15、 的轨迹为线段 HF，点 P 的轨迹长度为 49一、高考大题1(2018江苏高考)在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AA1 AB， AB1 B1C1求证：(1)AB平面 A1B1C；(2)平面 ABB1A1平面 A1BC证明 (1)在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AB A1B1，因为 AB平面 A1B1C， A1B1平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C(2)在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形又因为 AA1 AB，所以四边形 ABB1A1为菱形，所以 AB1 A1B因为AB1 B1C1， BC B1C1，所以 AB1 B

16、C又因为 A1B BC B， A1B平面 A1BC， BC平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC，又因为 AB1平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC102(2017浙江高考)如图，已知四棱锥 P ABCD， PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， BC AD， CD AD， PC AD2 DC2 CB， E 为 PD 的中点(1)证明： CE平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值解 (1)证明：如图，设 PA 的中点为 F，连接 EF， FB因为 E， F 分别为 PD， PA 的中点，所以 EF AD 且 EF AD12又因为 BC A

17、D， BC AD，12所以 EF BC 且 EF BC，所以四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CE BF因为 BF平面 PAB， CE平面 PAB，所以 CE平面 PAB(2)分别取 BC， AD 的中点 M， N连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ因为 E， F， N 分别是 PD， PA， AD 的中点，所以 Q 为 EF 的中点在平行四边形 BCEF 中， MQ CE由 PAD 为等腰直角三角形得 PN AD由 DC AD， BC AD， BC AD， N 是 AD 的中点得 BN AD所以 AD平面 PBN12由 BC AD 得 BC平面 PBN，那么平面 PBC平面 PBN

18、过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH，MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以 QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角设 CD1在 PCD 中，由 PC2， CD1， PD 得 CE ，2 211在 PBN 中，由 PN BN1， PB 得 QH ，314在 Rt MQH 中， QH ， MQ ，14 2所以 sin QMH 28所以，直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 283(2016四川高考)如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD BC， ADC PAB90，BC CD AD， E 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 9012(

19、1)在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；(2)若二面角 P CD A 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值解 (1)在梯形 ABCD 中， AB 与 CD 不平行延长 AB， DC，相交于点 M(M平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点理由如下：由已知， BC ED，且 BC ED所以四边形 BCDE 是平行四边形从而 CM EB又 EB平面 PBE， CM平面 PBE，所以 CM平面 PBE(说明：延长 AP 至点 N，使得 AP PN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)解法一：由已知， CD PA， CD AD， PA

20、 AD A，所以 CD平面 PAD，从而 CD PD12所以 PDA 是二面角 P CD A 的平面角所以 PDA45设 BC1，则在 Rt PAD 中， PA AD2过点 A 作 AH CE，交 CE 的延长线于点 H，连接 PH易知 PA平面 ABCD，又 CE平面 ABCD，从而 PA CE于是 CE平面 PAH所以平面 PCE平面 PAH过 A 作 AQ PH 于 Q，则 AQ平面 PCE所以 APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角在 Rt AEH 中， AEH45， AE1，所以 AH 22在 Rt PAH 中， PH ，PA2 AH2322所以 sin APH AHPH 13解

21、法二：由已知， CD PA， CD AD， PA AD A，所以 CD平面 PAD，于是 CD PD从而 PDA 是二面角 P CD A 的平面角所以 PDA45由 PA AB，可得 PA平面 ABCD设 BC1，则在 Rt PAD 中， PA AD2作 Ay AD，以 A 为原点，以 ， 的方向分别为 x 轴， z 轴的正方向，建立如图所示AD AP 的空间直角坐标系 Axyz，则A(0，0，0)， P(0，0，2)， C(2，1，0)， E(1，0，0)，所以 (1，0，2)，PE (1，1，0)， (0，0，2)设平面 PCE 的法向量为 n( x， y， z)，EC AP 13由Err

22、or! 得Error!设 x2，解得 n(2，2，1)设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ，则sin |nAP |n|AP | 2222 22 12 13所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 13二、模拟大题4(2018豫北六校联考)如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是A1B1， A1D1的中点， E， F 分别是 B1C1， C1D1的中点求证：(1)四边形 BDFE 为梯形；(2)平面 AMN平面 EFDB证明 (1)连接 B1D1在 B1D1C1中， E， F 分别是 B1C1， C1D1的中点， EF B1D1且 EF B1D1，12又知四

23、边形 BDD1B1为矩形， BD 綊 B1D1， EF BD 且 EF BD12四边形 BDFE 为梯形(2)连接 FM，在 A1B1D1中， M， N 分别为 A1B1， A1D1的中点， MN B1D1由(1)知， EF B1D1， MN EF在正方形 A1B1C1D1中， F 为 C1D1的中点， M 为 A1B1的中点， FM 綊 A1D1，又四边形 ADD1A1为正方形， AD 綊 A1D1， FM 綊 AD，四边形 ADFM 为平行四边形 AM 綊 DF又 AM MN M， DF FE F，14平面 AMN平面 EFDB5(2018江西六校联考)在如图所示的几何体中，四边形 ABC

24、D 为平行四边形， ABD90， EB平面 ABCD， EF AB， AB2， EB ， EF1， BC ，且 M 是 BD 的3 13中点(1)求证： EM平面 ADF；(2)求二面角 A FD B 的余弦值的大小解 (1)证法一：取 AD 的中点 N，连接 MN， NF在 DAB 中， M 是 BD 的中点， N 是 AD 的中点，所以 MN AB， MN AB，12又因为 EF AB， EF AB，12所以 MN EF 且 MN EF所以四边形 MNFE 为平行四边形，所以 EM FN，又因为 FN平面 ADF， EM平面 ADF，故 EM平面 ADF证法二：因为 EB平面 ABD， A

25、B BD，故以 B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz由已知可得 ，0， ， (3，2，0)， (0，1， )，EM 32 3 AD AF 3设平面 ADF 的法向量是 n( x， y， z)由Error! 得Error!令 y3，则 n(2，3， )315又因为 n0，所以 n，EM EM 又 EM平面 ADF，故 EM平面 ADF(2)由(1)中证法二可知平面 ADF 的一个法向量是 n(2，3， )3易得平面 BFD 的一个法向量是 m(0， ，1)3所以 cos m， n ，mn|m|n| 34又二面角 A FD B 为锐角，故二面角 A FD B 的余弦值大小为 346(

26、2018河北衡水中学、河南顶级名校联考)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，AC BC AB AA1，过 AA1的平面分别交 BC， B1C1于点 D， D1(1)求证：四边形 ADD1A1为平行四边形；(2)若 AA1平面 ABC， D 为 BC 的中点， E 为 DD1的中点，求二面角 A C1E C 的余弦值解 (1)证明：因为 AA1 BB1， AA1平面 BCC1B1， BB1平面 BCC1B1，所以 AA1平面BCC1B1又因为 AA1平面 ADD1A1，平面 ADD1A1平面 BCC1B1 DD1，所以 AA1 DD1因为平面 ABC平面 A1B1C1，平面 ABC平面 AD

27、D1A1 AD，平面 A1B1C1平面ADD1A1 A1D1，所以 AD A1D1所以四边形 ADD1A1为平行四边形(2)因为 D 为 BC 的中点， AC AB，所以 AD BC因为 AA1 DD1， AA1平面 ABC，所以 DD1平面 ABC，从而 DD1 AD又 DD1 BC D，所以 AD平面 BCC1B1分别以 DA， DB， DD1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示16设 AC BC AB AA12，则 A( ，0，0)，3E(0，0，1)， C1(0，1，2)， ( ，0，1)，AE 3(0，1，1)C1E 设平面 AC1E 的法向量为 n( a， b， c)，由Error! 得Error!取 c ，得 n(1， ， )3 3 3由 AD平面 BCC1B1，得平面 CC1E 的一个法向量为 ( ，0，0)，DA 3所以 cos ， n ，DA DA n|DA |n| 373 77又易知二面角 A C1E C 为锐二面角，故二面角 A C1E C 的余弦值为 7717