2020高考数学刷题首选卷第六章立体几何考点测试46直线、平面垂直的判定及其性质理（含解析）.docx

1、1考点测试 46 直线、平面垂直的判定及其性质高考概览 本 考 点 是 高 考 必 考 知 识 点 ， 各 种 题 型 都 有 考 查 ， 分 值 为 5分 或 10分 ， 中 等 难 度考纲研读1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题一、基础小题1下列条件中，能判定直线 l平面 的是( )A l 与平面 内的两条直线垂直B l 与平面 内无数条直线垂直C l 与平面 内的某一条直线垂直D l 与平面 内任意一条直线垂直答案 D解析 由直线与平面垂直的定义，可知 D 正确2设 l，

2、 m， n 均为直线，其中 m， n 在平面 内，则“ l ”是“ l m 且 l n”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 当 l 时， l m 且 l n但当 l m， l n 时，若 m， n 不是相交直线，则得不到 l 即 l 是 l m 且 l n 的充分不必要条件故选 A3给出下列四个命题：垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面其中真命题的个数是( )A1 B2 C3 D

3、42答案 B解析 由直线与平面垂直的性质，可知正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故错误；由直线与平面垂直的定义知正确，而错误4若空间三条直线 a， b， c 满足 a b， b c，则直线 a 与 c( )A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交、异面直线都有可能答案 D解析 当 a， b， c 共面时， a c；当 a， b， c 不共面时， a 与 c 可能异面也可能相交5下列命题中错误的是( )A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l

4、平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 答案 D解析 对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的直线可能不垂直于平面 ，即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其他选项易知均是正确的6如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中， BAC90， BC1 AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在( )A直线 AB 上B直线 BC 上C直线 AC 上D ABC 内部答案 A解析 由 AC AB， AC BC1， AC平面 ABC1又 AC平面 ABC，平面 ABC1平面 ABC3 C1在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面交线 AB 上47如图所示，在立体图形 D A

5、BC 中，若 AB CB， AD CD， E 是 AC 的中点，则下列结论正确的是( )A平面 ABC平面 ABDB平面 ABD平面 BDCC平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面 BDED平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC平面 BDE答案 C解析 因为 AB CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE AC，同理有 DE AC，而 BE DE E，所以 AC平面 BDE因为 AC 在平面 ABC 内，所以平面 ABC平面 BDE又由于 AC 在平面 ADC 内，所以平面 ADC平面 BDE故选 C8如图所示，已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形， PA平面ABCDEF，

6、 PA2 AB，则下列结论正确的是( )A PA ADB平面 ABCDEF平面 PBCC直线 BC平面 PAED直线 PD 与平面 ABCDEF 所成的角为 30答案 A解析 因为 PA平面 ABCDEF，所以 PA AD，故选项 A 正确；选项 B 中两个平面不垂直，故选项 B 错；选项 C 中， AD 与平面 PAE 相交， BC AD，故选项 C 错；选项 D 中， PD 与平面 ABCDEF 所成的角为 45，故选项 D 错故选 A5二、高考小题9(2017全国卷)在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则( )A A1E DC1 B A1E BDC A1E

7、BC1 D A1E AC答案 C解析 如图， A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC， BD 垂直，解 法 一 ：B，D 错误； A1E 在平面 BCC1B1上的投影为 B1C，且 B1C BC1， A1E BC1，故 C 正确；(证明：由条件易知， BC1 B1C， BC1 CE，又 CE B1C C， BC1平面 CEA1B1又A1E平面 CEA1B1， A1E BC1) A1E 在平面 DCC1D1上的投影为 D1E，而 D1E 不与 DC1垂直，故 A 错误故选 C解法二(空间向量法)：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则A(1，0，0)，

8、B(1，1，0)， C(0，1，0)， D(0，0，0)， A1(1，0，1)， C1(0，1，1)， E，(0，12， 0) ， (0，1，1)， (1，1，0)， (1，0，1)，A1E ( 1， 12， 1) DC1 BD BC1 (1，1，0)，AC 0， 0， 0， 0， A1E BC1故选 CA1E DC1 A1E BD A1E BC1 A1E AC 10(2015福建高考)若 l， m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 ，则“ l m”是“l ”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 B解析 由“ m 且 l m”推出“ l 或

9、 l ”，但由“ m 且 l ”可推出“l m”，所以“ l m”是“ l ”的必要而不充分条件故选 B6三、模拟小题11(2018大连双基测试)已知互不重合的直线 a， b，互不重合的平面 ， ， ，给出下列四个命题，错误的命题是( )A若 a ， a ， b，则 a bB若 ， a ， b ，则 a bC若 ， ， a，则 a D若 ， a ，则 a 答案 D解析 构造一个长方体 ABCD A1B1C1D1对于 D，平面 ABCD平面 A1B1C1D1， A1B1平面 ABCD A1B1 平面 A1B1C1D1 /12(2018河南安阳二模)已知 a， b 表示两条不同的直线， ， 表示两

10、个不同的平面，下列说法错误的是( )A若 a ， b ， ，则 a bB若 a ， b ， a b，则 C若 a ， a b， ，则 b D若 a， a b，则 b 或 b 答案 C解析 对于 A，若 a ， ，则 a ，又 b ，故 a b，A 正确；对于 B，若 a ， a b，则 b 或 b ，存在直线 m ，使得 m b，又b ， m ， ，故 B 正确；对于 C，若 a ， a b，则 b 或 b ，又 ， b 或 b ，故 C 错误；对于 D，若 a， a b，则 b 或 b ，故 D 正确，故选 C13(2018安徽亳州模拟)如图甲所示，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是

11、 BC， CD 的中点， G 是 EF 的中点，现在沿 AE， AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 H，如图乙所示，那么，在四面体 A EFH 中必有( )A AH平面 EFH B AG平面 EFH7C HF平面 AEF D HG平面 AEF答案 A解析 AH HE， AH HF，且 EH HF H， AH平面 EFH，A 正确；过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，B 不正确； AG EF， EF AH， AG AH A， EF平面HAG， EF平面 AEF，平面 HAG AEF，过 H 作平面 AEF 的垂线，一定在平面 HAG 内

12、，C 不正确； HG 不垂直于 AG， HG平面 AEF 不正确，D 不正确，故选 A14(2018福建泉州二模)在下列四个正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F， G 均为所在棱的中点，过 E， F， G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线 BD1与平面 EFG 不垂直的是( )答案 D解析 如图，在正方体中， E， F， G， M， N， Q 均为所在棱的中点，易知E， F， G， M， N， Q 六个点共面，直线 BD1与平面 EFMNQG 垂直，并且选项 A，B，C 中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项 D 中的直线 BD1与平面 EFG 不垂直，满足题意故选 D

13、15(2018南昌模拟)如果 PA， PB， PC 两两垂直，那么点 P 在平面 ABC 内的投影一定8是 ABC 的( )A重心 B内心 C外心 D垂心答案 D解析 如图， O 是点 P 在平面 ABC 内的投影，连接 OA， OB， OC， PA， PB， PC 两两垂直， PA平面 PBC，又 BC平面 PBC， PA BC，而 PO平面 ABC， BC平面 ABC， PO BC，又 PA PO P， BC平面 PAO又 AO平面 PAO， BC AO同理可知 AC BO， AB CO O 为 ABC 的垂心故选 D16(2018南昌摸底)如图，四棱锥 P ABCD 中， PAB 与 P

14、BC 是正三角形，平面PAB平面 PBC， AC BD，则下列结论不一定成立的是( )A PB ACB PD平面 ABCDC AC DPD平面 PBD平面 ABCD答案 B解析 取 BP 中点 O，连接 OA， OC，易得 BP OA， BP OCBP面 OACBP AC选项9A 正确；又 AC BDAC面 BDPAC PD，平面 PBD平面 ABCD，所以选项 C，D 也正确故选 B17(2018山西临汾模拟)如图，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD平面ABCD， NB平面 ABCD，且 MD NB1， E 为 MC 的中点，则下列结论不正确的是( )A平面 BCE平面 A

15、BNB MC ANC平面 CMN平面 AMND平面 BDE平面 AMN答案 C解析 分别过 A， C 作平面 ABCD 的垂线 AP， CQ，使得 AP CQ1，连接PM， PN， QM， QN，将几何体补成棱长为 1 的正方体 BC平面 ABN，又 BC平面 BCE，平面 BCE平面 ABN，故 A 正确；连接 PB，则 PB MC，显然， PB AN， MC AN，故 B 正确；取 MN 的中点 F，连接 AF， CF， AC AMN 和 CMN 都是边长为 的等边三角形，2 AF MN， CF MN， AFC 为二面角 A MN C 的平面角， AF CF ， AC ， AF2 CF2

16、AC2，即62 2 AFC ， 2平面 CMN 与平面 AMN 不垂直，故 C 错误； DE AN， MN BD， DE BD D， DE， BD平面 BDE， MN AN N， MN， AN平面 AMN，平面 BDE平面 AMN，故 D 正确，故选 C18(2018西安六校联考)已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形， PA底面ABCD，点 E， F 分别是棱 PC， PD 的中点，则10棱 AB 与 PD 所在的直线垂直；平面 PBC 与平面 ABCD 垂直； PCD 的面积大于PAB 的面积；直线 AE 与直线 BF 是异面直线以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)答案

17、 解析 由条件可得 AB平面 PAD， AB PD，故正确； PA平面 ABCD，平面 PAB，平面 PAD 都与平面 ABCD 垂直故平面 PBC 不可能与平面 ABCD 垂直，故错误； S PCD CDPD， S PAB ABPA，12 12由 AB CD， PDPA，可知正确；由 E， F 分别是棱 PC， PD 的中点可得 EF CD，又 AB CD， EF AB，故 AE 与 BF 共面，故错误一、高考大题1(2018全国卷)如图，四边形 ABCD 为正方形， E， F 分别为 AD， BC 的中点，以DF 为折痕把 DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF BF(1)证

18、明：平面 PEF平面 ABFD；(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值解 (1)证明：由已知可得， BF PF， BF EF，又 PF EF F，所以 BF平面 PEF又 BF平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD(2)作 PH EF，垂足为 H由(1)，得 PH平面 ABFD以 H 为坐标原点， 的方向为 y 轴正方向，| |为单位长，建立如图所示的空间直角HF BF 11坐标系 Hxyz由(1)可得， DE PE又 DP2， DE1，所以 PE 3又 PF1， EF2，故 PE PF所以 PH ， EH ，则 H(0，0，0)，32 32P ， D ， ， 0，0， 为平

19、面 ABFD 的法向量(0， 0，32) ( 1， 32， 0) DP (1， 32， 32) HP 32设 DP 与平面 ABFD 所成的角为 ，则 sin HP DP |HP |DP |343 34所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 342(2018北京高考)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， CC1平面 ABC， D， E， F， G 分别为 AA1， AC， A1C1， BB1的中点， AB BC ， AC AA125(1)求证： AC平面 BEF；(2)求二面角 B CD C1的余弦值；(3)证明：直线 FG 与平面 BCD 相交解 (1)证明：在三棱柱 ABC A

20、1B1C1中，因为 CC1平面 ABC，所以四边形 A1ACC1为矩形，又 E， F 分别为 AC， A1C1的中点，所以 AC EF因为 AB BC，所以 AC BE12所以 AC平面 BEF(2)由(1)知 AC EF， AC BE， EF CC1又 CC1平面 ABC，所以 EF平面 ABC因为 BE平面 ABC，所以 EF BE如图建立空间直角坐标系 Exyz由题意得 B(0，2，0)， C(1，0，0)， D(1，0，1)， F(0，0，2)， G(0，2，1)所以 (1，2，0)， (1，2，1)BC BD 设平面 BCD 的法向量为 n( x0， y0， z0)，则Error!

21、则Error!令 y01，则 x02， z04于是 n(2，1，4)又因为平面 CC1D 的一个法向量为 (0，2，0)，EB 所以 cos n， EB nEB |n|EB | 2121由题知二面角 B CD C1为钝角，所以其余弦值为 2121(3)证明：由(2)知平面 BCD 的一个法向量为n(2，1，4)， (0，2，1)FG 因为 n 20(1)2(4)(1)20，所以直线 FG 与平面 BCD 相交FG 3(2017全国卷)如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， ACD 是直角三角形， ABD CBD， AB BD13(1)证明：平面 ACD平面 ABC；(2)过 AC

22、的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D AE C 的余弦值解 (1)证明：由题设可得 ABD CBD，从而 AD CD又 ACD 是直角三角形，所以 ADC90取 AC 的中点 O，连接 DO， BO，则 DO AC， DO AO又因为 ABC 是正三角形，故 BO AC，所以 DOB 为二面角 D AC B 的平面角在 Rt AOB 中， BO2 AO2 AB2，又 AB BD，所以 BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2，故 DOB90所以平面 ACD平面 ABC(2)由题设及(1)知， OA， OB， OD 两两垂直，以

23、O 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，| |为单位长度，建立如图所示的空间直OA OA 角坐标系 Oxyz，则 A(1，0，0)， B(0， ，0)， C(1，0，0)， D(0，0，1)3由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，从而 E 到平面 ABC 的距离为12D 到平面 ABC 的距离的 ，即 E 为 DB 的中点，得 E ，12 (0， 32， 12)故 (1，0，1)， (2，0，0)，AD AC AE ( 1， 32， 12)设 n( x， y， z)是平面 DAE 的法向量，则Error! 即Error!14可取 n (1，33， 1)设 m 是平

24、面 AEC 的法向量，则Error!同理可取 m(0，1， )，3则 cos n， m nm|n|m| 77所以二面角 D AE C 的余弦值为 77二、模拟大题4(2018河南郑州二模)如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD，DAB DCB， E 为线段 BD 上的一点，且 EB ED EC BC，连接 CE 并延长交 AD 于 F(1)若 G 为 PD 的中点，求证：平面 PAD平面 CGF；(2)若 BC2， PA3，求平面 BCP 与平面 DCP 所成锐二面角的余弦值解 (1)证明：在 BCD 中， EB ED EC BC，故 BCD ， CBE CEB ，连接 A

25、E， 2 3 DAB DCB， EAB ECB，从而有 FED BEC AEB ， AE CE DE 3 AEF FED ， 3故 EF AD， AF FD又 PG GD， GF PA又 PA平面 ABCD，故 GF平面 ABCD， GF AD，又 GF EF F，故 AD平面 CFG又 AD平面 PAD，平面 PAD平面 CGF15(2)以点 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)， B(2，0，0)， C(3， ，0)， D(0，2 ，0)， P(0，0，3)3 3故 (1， ，0)， (3， ，3)， (3， ，0)BC 3 CP 3 CD 3设平面 BCP 的

26、一个法向量为 n1(1， y1， z1)，则Error! 解得Error!即 n11， ，33 23设平面 DCP 的一个法向量为 n2(1， y2， z2)，则Error! 解得Error!即 n2(1， ，2)3从而平面 BCP 与平面 DCP 所成锐二面角的余弦值为 |n1n2|n1|n2|431698 245(2018江西南昌二中模拟)如图，在等腰梯形 ABCD 中， ABC60，CD2， AB4，点 E 为 AB 的中点，现将该梯形中的三角形 BEC 沿线段 EC 折起，形成四棱锥 B AECD(1)在四棱锥 B AECD 中，求证： AD BD；(2)若平面 BEC 与平面 AEC

27、D 所成二面角的平面角为 120，求直线 AE 与平面 ABD 所成角的正弦值16解 (1)证明：由三角形 BEC 沿线段 EC 折起前， ABC60， CD2， AB4，点 E为 AB 的中点，得三角形 BEC 沿线段 EC 折起后，四边形 AECD 为菱形，边长为2， DAE60，如图，取 EC 的中点 F，连接 DF， BF， DE BEC 和 DEC 均为正三角形， EC BF， EC DF，又 BF DF F， EC平面 BFD， AD EC， AD平面 BFD， BD平面 BFD， AD BD(2)以 F 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，由 EC平面 BFD，知 z 轴在平面

28、 BFD 内， BF EC， DF EC， BFD 为平面 BEC 与平面 AECD 所成二面角的平面角， BFD120， BFz30，又 BF ，3点 B 的横坐标为 ，点 B 的竖坐标为 32 32因 D( ，0，0)， E(0，1，0)， A( ，2，0)， B ，0，3 332 32故 ( ，1，0)， ，0， ， (0，2，0)AE 3 BD 332 32 AD 设平面 ABD 的法向量为 n( x， y， z)，Error!得Error!令 x1，得 y0， z ，317平面 ABD 的一个法向量为 n(1，0， )，3cos ， nAE AE n|AE |n| 3， 1， 01，

29、 0， 322 ，34直线 AE 与平面 ABD 所成角为锐角，直线 AE 与平面 ABD 所成角的正弦值为 346(2018江西联考)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，B1B B1A AB BC， B1BC90， D 为 AC 的中点， AB B1D(1)求证：平面 ABB1A1平面 ABC；(2)在线段 CC1(不含端点)上，是否存在点 E，使得二面角 E B1D B 的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由714 |CE|CC1|解 (1)证明：取 AB 的中点 O，连接 OD， OB1因为 B1B B1A，所以 OB1 AB又 AB B1D， OB1 B1D B1，所

30、以 AB平面 B1OD因为 OD平面 B1OD，18所以 AB OD由已知条件知， BC BB1，又 OD BC，所以 OD BB1因为 AB BB1 B，所以 OD平面 ABB1A1因为 OD平面 ABC，所以平面 ABB1A1平面 ABC(2)由(1)知 OB， OD， OB1两两垂直，所以以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的方向，|OB |为单位长度 1，建立如图所示的空间直角坐标系OB 由题设知， B1(0，0， )， B(1，0，0)， D(0，1，0)， A(1，0，0)， C(1，2，0)，3C1(0，2， )， (0， 1， )， (1，0， )，设 (0 1)，3 B1D

31、 3 B1B 3 CE CC1 则 (1 ，2， ( 1)B1E B1C CE 3设平面 BB1D 的法向量为 m( x1， y1， z1)，则Error! 得Error!令 z11，则 x1 y1 ，所以平面 BB1D 的一个法向量 m( ， ，1)3 3 3设平面 B1DE 的法向量为 n( x2， y2， z2)，则Error! 得Error!令 z21，则 x2 ， y2 ，3 1 1 3所以平面 B1DE 的一个法向量 n (3 1 1 ， 3， 1)设二面角 E B1D B 的大小为 ，则 cos mn|m|n|3 3 1 3 173( 1 1)2 4 714解得 13所以在线段 CC1上存在点 E，使得二面角 E B1D B 的余弦值为 ，此时 714 |CE|CC1| 1319