2020高考数学刷题首选卷考点测试60古典概型（理）（含解析）.docx

1、1考点测试 60 古典概型高考概览 高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 ， 分 值 为 5分 ， 中 等 难 度考纲研读1理解古典概型及其概率计算公式2会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率一、基础小题1某银行储蓄卡上的密码是一个 6 位数号码，每位上的数字可以在 09 这 10 个数字中选取某人未记住密码的最后一位数字，如果随意按密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是( )A B C D1106 1105 1102 110答案 D解析 只考虑最后一位数字即可，从 0 到 9 这 10 个数字中随机选一个的概率为 1102一只蚂蚁在如图

2、所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为( )A B12 13C D38 582答案 B解析 该树枝的树梢有 6 处，有 2 处能找到食物，所以获得食物的概率为 26 133天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率可利用计算机产生 0 到 9 之间的整数值的随机数，如果我们用 1，2，3，4 表示下雨，用 5，6，7，8，9，0 表示不下雨，顺次产生的随机数如下：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683631 257 393 027 556 48

3、8 730 113 137 989则这三天中恰有两天下雨的概率约为( )A B C D1320 720 920 1120答案 B解析 由题意知这 20 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191，271，932，812，631，393，137，共 7 组随机数，所求概率为 7204给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个给甲打电话的概率是( )A B C D16 13 12 23答案 B解析 给三人打电话的不同顺序有 6 种可能，其中第一个给甲打电话的可能有 2 种，故所求概率为 P 26 135一个袋子中有 5 个大小相同的球，其中有 3 个黑球与 2 个红球，如果从中任取

4、两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A B C D15 310 25 12答案 C解析 基本事件有 C 10 个，其中为同色球的有 C C 4 个，故所求概率为25 23 2 故选 C410 256一部 3 卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为 1，2，3 的概率是( )A B C D16 13 12 23答案 B3解析 3 卷文集随机排列，共有 A 6 种结果，卷号自左向右或自右向左恰为31，2，3 的只有 2 种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为 1，2，3 的概率是 故26 13选 B7一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为 27 个同样大小的小正方体，从中任取一个

5、，它恰有一个面涂有红色的概率是_答案 29解析 研究涂红后的正方体的六个面，发现每个面中仅最中间那块只有一个面涂有红色，故所求概率为 627 298连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n，记向量 a( m， n)与向量 b(1，1)的夹角为 ，则 的概率是_(0， 2答案 712解析 ab m n，夹角 ， ab0，即 m n满足 的点(0， 2 (0， 2A(m， n)有 65432121 个，列举可知点 A(m， n)的基本事件总数为 36，故所求概率为 2136 712二、高考小题9(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2

6、 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如 30723在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( )A B C D112 114 115 118答案 C解析 不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有 C 45 种方法，因为 7231119131730，所以随机选210取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法，故概率为 故选 C345 11510(2017天津高考)有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2

7、支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A B C D45 35 25 154答案 C解析 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色彩笔的取法有 C 10 种，其中取出的 2 支彩笔25中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，所以所求概率 P 故410 25选 C11(2017全国卷)从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A B C D110 15 310 25答案 D解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的基本事件总数为5525，第一张卡片上的数大

8、于第二张卡片上的数的事件数为 10，所求概率P 故选 D1025 2512(2016江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是_答案 56解析 先后抛掷 2 次骰子，所有可能出现的情况共 36 个，其中点数之和不小于 10 的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共 6 个，从而点数之和小于 10 的有 30 个，故所求概率 P 3036 56三、模拟小题13(2018湖南省湘潭市四模)食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引

9、起中毒反应已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为( )A B C D13 23 310 710答案 C解析 已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，基本事件总数 nC 10，它们相克的概25率为 P 故选 C31014(2018江西南昌二模)在周易中，长横“ ”表示阳爻，两个短横“ ”表示阴爻有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有 238 种组合方法，这便是系辞5传所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦” 有放回地取阳爻和阴爻一次有 2 种不

10、同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况所谓的“算卦” ，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是( )A B C D17 516 916 58答案 B解析 在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件的总数为 n2 664，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为 mC 20，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率36是 P 故选 Bmn 2064 51615(2019福建漳州质检)某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、丁 4 名志愿者，随机安排 2 人到 A

11、展区，另 2 人到 B 展区维持秩序，则甲、乙两人同时被安排到 A 展区的概率为( )A B C D112 16 13 12答案 B解析 随机安排 2 人到 A 展区，另 2 人到 B 展区维持秩序，有 C 种不同的方法，其中24甲、乙两人同时被安排到 A 展区，有 C 种方法，则由古典概型的概率公式，得甲、乙两人2同时被安排到 A 展区的概率为 P C2C24 1616(2018湖北调研)党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展现有 4 名男生和 2 名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教将这 6 名毕业生全部进行安

12、排，每所学校至少安排 2 名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为( )A B C D425 25 1425 45答案 C解析 由题意，将这六名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排 2 名毕业生，基本事件的总数为 NC A 50 种，每所学校女毕业生至少安排一名共有：一是其中26C36C3A2 2一个学校安排一女一男，另一个学校安排一女三男，有 C C A 16 种；二是其中一个学校12142安排一女二男，另一个学校安排一女二男，有 C C 12 种，共有 161228 种，所以所1224求概率为 P 故选 C2850 1425617(2018东北三省三校一模)从标有 1，2，3，4

13、，5 的五张卡中，依次抽出 2 张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( )A B C D14 12 13 23答案 B解析 由题意，记“第一次抽到奇数”为事件 A，记“第二次抽到偶数”为事件 B，则 P(A) ， P(AB) ，所以 P(A|B) 故选 BC13C15 35 C13C15 C12C14 310 PABPA 1218(2018广东中山一中第五次统测)小球 A 在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下面某个出口落出，则投放一个小球，从“出口 3”落出的概率为( )A B15 14C D38 316答案 C解析 我们把从 A 到 3 的路线图单独画出来，从 A

14、到 3 需两横两竖四段路径，从四段路径中选出两段，共有 C 6 种走法，每一种走法的概率都是 ，珠子从出口 3 出来是 C24124 故选 C2412 387一、高考大题1(2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的 7 名同学分别用 A， B， C， D， E， F， G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，

15、求事件 M 发生的概率解 (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3 人，2 人，2 人(2)从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 A， B， A， C，A， D， A， E， A， F， A， G， B， C， B， D， B， E， B， F， B， G， C， D，C， E， C， F， C， G， D， E， D， F， D， G， E， F， E， G， F， G，共 21种由(1)，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A， B， C，来自

16、乙年级的是D， E，来自丙年级的是 F， G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为 A， B， A， C， B， C， D， E， F， G，共 5 种所以事件 M 发生的概率 P(M) 5212(2017山东高考)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1， A2， A3和 3 个欧洲国家B1， B2， B3中选择 2 个国家去旅游(1)若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1但不包括 B1的概率解 (1)由题意知，从 6 个国家中任选两个国家，其一切可能

17、的结果组成的基本事件有C 15 个26所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有： A1， A2， A1， A3， A2， A3，共 3 个，则所求事件的概率为 P 315 15(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：339 个包括 A1但不包括 B1的事件所包含的基本事件有： A1， B2， A1， B3，共 2 个，则所8求事件的概率为 P 293(2016天津高考)某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为 3，3，4现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会(1)设 A 为事件“选出的

18、 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望解 (1)由已知，有 P(A) C13C14 C23C210 13所以，事件 A 发生的概率为 13(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2P(X0) ，C23 C23 C24C210 415P(X1) ，C13C13 C13C14C210 715P(X2) C13C14C210 415所以，随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P 415 715 415随机变量 X 的数学期望 E(X)0 1 2 1415 715 415二、模拟

19、大题4(2018江西联考一)最近， “百万英雄” “冲顶大会”等一些闯关答题类游戏风靡全国，既能答题，又能学知识，还能挣奖金若某闯关答题一轮共有 4 类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰只能观战；若能坚持到 4 类题型全部回答正确，就能分得现金并获得一枚复活币每一轮闯关答题顺序：文史常识类；数理常识类；生活常识类；影视艺术常识类现从全省高中生中随机调查了 100 位同学的答题情况统计如下表：题型及序号 文史 数理 生活 影视艺术9常识类 常识类 常识类 常识类通过人数 90 80 60 20淘汰人数 10 10 20 40(1)现用样本的数据特征估算整体的数据特征，从全省高中

20、生中挑选 4 位同学，记 为这 4 位同学获得奖金的总人数，求 的分布列和数学期望；(2)若王同学某轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮游戏中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，若王同学在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型请问：仍用样本的数据特征估算王同学的数据特征，那么王同学在获得复活币的下一轮答题游戏中能够最终获得奖金的概率是多少？解 (1)由题易得 B4，15则 的分布列为 0 1 2 3 4P 256625 256625 96625 16625 1625所以数学期望 E( )4 15 45(2)由题易知所求概率 P 110 29 910 19 28 910 89 28

21、 26 610 2573605(2018广州综合测试二)某工厂生产的 A 产品按每盒 10 件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是从每盒 10 件产品中任取 4 件，4 件都做检验，若 4 件都为合格品，则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；若 4 件中次品数多于 1 件，则认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；若 4 件中只有 1 件次品，则把剩余的 6 件采用一件一件抽取出来检验，没有检验出次品则认为该盒产品合格，检验出次品则认为该盒产品不合格且停止检验假设某盒 A 产品中有 8 件合格品，2 件次品(1)求该盒 A 产品可出厂的概率；(2)已知每件产品的检验费用为 10 元，且

22、抽取的每件都需要检验，设该盒 A 产品的检验费用为 X(单位：元)求 P(X40)；求 X 的分布列和数学期望 E(X)解 (1)依题意，该盒 A 产品可出厂即任取的 4 件产品都为合格品，从 10 件中任取 4件的基本事件数为 C ，4 件都为合格品的事件数为 C ，410 4810故该盒 A 产品可出厂的概率为 P C48C410 13(2)该盒 A 产品的检验费用 X40 元表示只检验 4 件产品就停止检验，记“从该盒 10 件产品中任取 4 件产品都为合格品”为事件 T1， “从该盒 10 件产品中任取 4 件产品中，2 件为合格品，2 件为次品”为事件 T2，事件 T1与事件 T2为

23、互斥事件，则 P(X40) P(T1 T2) P(T1) P(T2) 13 C28C2C410 715 X 的所有可能取值分别为 40，50，60，70，80，90，100，P(X40) ， P(X50) ，715 C38C12C410 C1C16 445P(X60) ，C38C12C410 C15C16 C1C15 445P(X70) ，C38C12C410 C15C16 C14C15 C1C14 445同理， P(X80) ， P(X90) ，445 445P(X100) ，445所以 X 的分布列为X 40 50 60 70 80 90 100P 715 445 445 445 445 445 445数学期望 E(X)40 50 60 70 80 90 100 715 445 445 445 445 445 445 176311