1、1第一节 集合的概念与运算1集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2)元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 . (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法(4)五个特定的集合：集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 N N *或 N Z Q R2集合间的基本关系表示关系 文字语言 符号语言 记法子集集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素 x Ax B AB 或 BA真子集集合 A 是集合 B 的子集，并且集合 A 与集合 B 不相等 AB，且 A BA B 或 B A基本关系相等 集合 A， B 的元素完全相同 AB， BA A
2、 B空集不含任何元素的集合空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集x， x， A， B3集合的基本运算表示运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法交集所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素构成的集合x|x A，且x BA B并集所有属于集合 A 或者属于集合 B 的元素构成的集合x|x A，或x BA B2补集全集 U 中不属于集合A 的所有元素构成的集合x|x U，且 xA UA4.集合关系与运算的常用结论(1)若集合 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 个，真子集有 2n1 个，非空子集有2n2n1 个(2)集合的传递性： AB， BCAC.(3)ABA B A B
3、.(考虑 A 是空集和不是空集两种情况)A B(4)U(A B)( UA)( UB)， U(A B)( UA)( UB)小题体验1(2018江苏高考)已知集合 A0,1,2,8， B1,1,6,8，那么A B_.答案：1,82已知全集 U1,2,3,4,5,6， M2,3,4， N4,5，则 U(M N)_.答案：1,63设集合 A x|(x1)( x2)0， B x|0 x3，则 A B_.答案： x|0 x24设全集 UN *，集合 A2,3,6,8,9，集合 B x|x3， xN *，则图中阴影部分所表示的集合是_答案：2,31认清集合元素的属性(是点集、数集或其他形式)和化简集合是正确
4、求解集合问题的两个先决条件2解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系3注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身4运用数轴图示法注意端点是实心还是空心5在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误小题纠偏31已知集合 A xN| x22 x0，则满足 A B0,1,2的集合 B 的个数为_解析：由 A 中的不等式解得 0 x2， xN，即 A0,1,2因为 A B0,1,2，所以 B 可能为0，1，2，0,1，0,2，1,2，0,1,2，共 8 个答案：82已知集合 M1,2， N3,4,5
5、， P x|x a b， a M， b N，则集合 P 的元素个数为_解析：因为 a M， b N，所以 a1 或 2， b3 或 4 或 5.当 a1 时，若 b3，则x4；若 b4，则 x5；若 b5，则 x6.同理，当 a2 时，若 b3，则 x5；若b4，则 x6；若 b5，则 x7，由集合中元素的特性知 P4,5,6,7，则 P 中的元素共有 4 个答案：43设集合 A x|ylg( x2 x2)， B x|x a0，若 AB，则实数 a 的取值范围是_解析：由题设条件得 A x| x2 x20 x|1 x2，B x|x a因为 AB，在数轴上表示出两集合如图所示，故 a1.答案：(
6、，14已知集合 A m2,2 m2 m，若 3 A，则 m 的值为_解析：由题意得 m23 或 2m2 m3，则 m1 或 m .32当 m1 时， m23 且 2m2 m3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当 m 时， m2 ，而 2m2 m3，满足题意32 12故 m .32答案：32考 点 一 集 合 的 基 本 概 念 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透41(易错题)已知集合 A1,2,4，则集合 B( x， y)|x A， y A中元素的个数为_解析：集合 B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2
7、)，(4,4)，共 9 个答案：92若1 a1,2 a1， a21，则实数 a 的取值集合是_解析：若 a11，解得 a0，此时集合中的元素为1,1，1，不符合元素的互异性；若 2a11，解得 a1，此时集合中的元素为2，1，0，符合题意；若 a211，解得 a0，不符合题意，综上所述， a1，故填1答案：13若集合 A xR| ax23 x20中只有一个元素，则 a_.解析：若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax23 x20 只有一个实根或有两个相等实根当 a0 时， x ，符合题意23当 a0 时，由 (3) 28 a0，得 a ，98所以 a 的值为 0 或 .98答案：0 或984(
8、易错题)已知集合 A1,2,3， B1， m，若 3 m A，则非零实数 m 的值是_解析：由题意知，若 3 m1，则 m2，符合题意；若 3 m2，则 m1，此时集合B 不符合元素的互异性，故 m1；若 3 m3，则 m0，不符合题意故 m2.答案：2谨记通法与集合中元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集(2)看这些元素满足什么限制条件(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性5考 点 二 集 合 间 的 基 本 关 系 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领1已知集合 M1,2,3,4，则集合
9、P x|x M 且 2xM的子集有_个解析：由题意，得 P3,4，所以集合 P 的子集有 224 个答案：42已知集合 AError!， BError!，则集合 A， B 的关系为_解析： x 1 ， nZ，2 n 为偶数，2 n1 为奇数，2 n3 为奇数， 2n3 2n 33 A B.答案： A B3(2019无锡期中)已知集合 A0,1,2，集合 B ，且 BA，则实数1，1xx_.解析： B 且 BA， 2， x .1，1x 1x 12答案：12由题悟法判断集合间关系的 3 种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系结构法从元素的结构
10、特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系即时应用1已知集合 A x|x23 x20， xR， B x|0 x5， xN，则满足条件ACB 的集合 C 的个数为_解析：由 x23 x20 得 x1 或 x2，所以 A1,2由题意知 B1,2,3,4，所以满足条件的 C 可为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4，故所求集合 C 的个数为 4.答案：42(2018镇江二模)设集合 A2,4， B a2,2(其中 a0)，若 A B，则实数a_.6解析： A2,4， B a2,2，
11、且 A B， a24.又 a0， a2.答案：23(2019海门中学测试)已知集合 A1,3， ， B2 x,1x(1)记集合 M1,4， y，若集合 A M，求实数 x y 的值；(2)是否存在实数 x，使得 BA？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由解：(1)由题可知Error!所以Error!故 x y19.(2)假设存在实数 x，使得 BA，则 2 x3，或 2 x .x若 2 x3，则 x1，不合题意；若 2 x ，则 x 20，解得 x1，不合题意x x故不存在实数 x，使得 BA.考 点 三 集 合 的 基 本 运 算 题 点 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向
12、集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力常见的命题角度有：(1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数；(3)新定义集合问题 题点全练角度一：集合的运算1设集合 A1,2,6， B2,4， C1,2,3,4，则( A B) C_.解析：由题意知 A B1,2,4,6，所以( A B) C1,2,4答案：1,2,42(2019汇龙中学检测)已知全集 U1,2,3,4,5，集合 A1,3,4，集合B2,4，则( UA) B_.解析：因为 UA2,5，所以( UA) B2,4,5答案：
13、2,4,5角度二：利用集合运算求参数3(2019苏州模拟)已知全集 U2,3， a22 a3， A|2 a1|,2， UA5，则实数 a_.解析：由题意知， a22 a35，解得 a4 或 a2.当 a4 时，|2 a1|9，而 9U，所以 a4 不满足题意，舍去；当 a2 时，|2 a1|3,3 U，满足题意故实7数 a 的值为 2.答案：2角度三：新定义集合问题4.如图所示的 Venn 图中， A， B 是非空集合，定义集合 A B 为阴影部分表示的集合若 x， yR， A x|y ，2x x2B y|y3 x， x0，则 A B_.解析：因为 A x|0 x2， B y|y1， A B
14、x|x0， A B x|1 x2，结合 Venn 图可知 A B A B(A B) x|0 x1 或 x 2答案： x|0 x1 或 x2通法在握解集合运算问题 4 个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决数形结合 常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图新定义型问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决演练冲关1(2018南京高三年级学情调研)若集合 P1,0,1,2，Q0,2,3，则PQ
15、_.解析：由已知可得， PQ0,2答案：0,22(2018苏州检测)设集合 A( x， y)|y ax1，集合 B( x， y)|y x b，且A B(2,5)，则 a b_.解析：因为 A( x， y)|y ax1， B( x， y)|y x b，且 A B(2,5)，所以52 a1，且 52 b，解得 a2， b3，所以 a b5.答案：53(2019南京师大附中检测)设 A， B 是非空集合，定义 AB x|x( A B)且x(A B)已知集合 A x|0 x2， B y|y0，则 AB_.解析：因为 A x|0 x2， B y|y0，所以 A B x|x0， A B x|0 x2，所以
16、 AB x|x0 或 x28答案： x|x0 或 x24(2018泰州中学高三学情调研)已知全集 I1,2,3,4,5,6，集合 A1,3,5，B2,3,6，则( IA) B_.解析：因为全集 I1,2,3,4,5,6，集合 A1,3,5，所以 IA2,4,6，又因为B2,3,6，所以( IA) B2,6答案：2,6 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018徐州、连云港、宿迁三检)已知集合 A x|x2 k1， kZ，B x|0 x5，则 A B_.解析：因为集合 A x|x2 k1， kZ为奇数集， B x|0 x5，所以A B1,3答案：1,32定义：满足任意元素 x A，则|4 x|
17、A 的集合称为优集，若集合 A1， a,7是优集，则实数 a 的值为_解析：依题意，当 x1 时，|4 x|3 A，当 x7 时，|4 x|3 A，所以 a3 符合条件答案：33(2018如皋高三上学期调研)集合 A1,3， B a22,3，若 A B1,2,3，则实数 a 的值为_解析： A1,3， B a22,3，且 A B1,2,3， a222，解得 a0，即实数 a 的值为 0.答案：04(2018盐城三模)已知集合 A1,2,3,4,5， B1,3,5,7,9， C A B，则集合C 的子集的个数为_解析：因为 A B1,3,5，所以 C1,3,5，故集合 C 的子集的个数为 238
18、.答案：85(2019徐州期中)已知集合 A1,2,3,4,5， B( x， y)|x A， y A， x y， x y A，则集合 B 的子集个数是_解析：集合 A1,2,3,4,5， B( x， y)|x A， y A， x y， x y A， B(1,2)，(2,3)，(1,3)，(1,4)，集合 B 的子集个数是 2416.9答案：166(2019南通中学检测)已知集合 A x|y ， B x|x a，若 A B A，9 x2则实数 a 的取值范围是_解析：因为 A B A，所以 AB.因为 A x|y x|9 x203,3，9 x2所以3,3 a，)，所以 a3.答案：(，3 二保高
19、考，全练题型做到高考达标1(2018常州调研)已知1 A1,2,3，则这样的集合 A 有_个解析：根据已知条件知符合条件的 A 为： A1，1,2，1,3，1,2,3，集合 A 有 4 个答案：42(2019启东中学检测)已知集合 A x|0 x6， B xN|2 x33，则集合A B 的元素个数为_解析：因为 A x|0 x6， B xN|2 x330,1,2,3,4,5，所以A B1,2,3,4,5，即 A B 的元素个数为 5.答案：53已知 a1 时，集合 x|a x2 a中有且只有 3 个整数，则实数 a 的取值范围是_解析：因为 a1，所以 2 a1，所以 1 必在集合中若区间端点
20、均为整数，则 a0，集合中有 0,1,2 三个整数，所以 a0 符合题意；若区间端点不为整数，则区间长度 222 a4，解得1 a0，此时，集合中有0,1,2 三个整数，所以1 a0 符合题意综上，实数 a 的取值范围是(1,0. 答案：(1,04已知集合 A x|1 x5， B x| a x a3，若 B(A B)，则实数 a 的取值范围为_解析：因为 B(A B)，所以 BA.当 B时，满足 BA，此时 a a3，即 a .32当 B时，要使 BA，则Error!解得 a1. 32由可知，实数 a 的取值范围为(，1答案：(，15(2018通州中学高三测试)设 UR， A( a， a1)，
21、 B0,5)，若 AUB，则实10数 a 的取值范围是_解析：因为 UB(，0)5，)，又 AUB，所以 a10 或 a5，解得a1 或 a5.答案：(，15，)6(2019淮阴中学检测)设全集 U 为实数集 R，已知集合AError! ， B x|1 x2，则图中阴影部分所表示的集合为_解析：由题意知，集合 A ，阴影部分表示的集合为( UA)x|x32 BError! x|1 x2Error!.答案：Error!7设集合 A x|x2 x20， B x|x1，且 xZ，则 A B_.解析：依题意得 A x|(x1)( x2)0 x|1 x2，因此A B x|1 x1， xZ1,0答案：1,
22、08(2019海安中学检测)已知集合 MError!， N y|y ，则( RM)x 1 N_.解析：因为 MError!(，0)(2，)， N y|y 0，)，所以x 1RM 0,2，( RM) N0,2 答案：0,29设全集 U xN *|x9， U(A B)1,3， A( UB)2,4，则 B_.解析：因为全集 U1,2,3,4,5,6,7,8,9，由 U(A B)1,3，得 A B2,4,5,6,7,8,9，由 A( UB)2,4知，2,4 A，2,4 UB.所以 B5,6,7,8,9答案：5,6,7,8,910已知集合 A x|42 x16， B a， b，若 AB，则实数 a b
23、的取值范围是_解析：集合 A x|42 x16 x|222 x2 4 x|2 x42,4，因为 AB，所以 a2， b4，所以 a b242，即实数 a b 的取值范围是(，2答案：(，211(2019启东检测)已知集合 A x|a x a3， B x|x2 x60，(1)当 a0 时，求 A B， A RB；11(2)若 A B A，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a0 时， A x|0 x3，又 B x|3 x2，所以 RB x|x3 或 x2，所以 A B x|3 x3， A RB x|2 x3(2)因为 A B A，所以 AB，所以Error! 解得3 a1，所以实数 a 的取值范
24、围为3，112(2018南京高三部分学校联考)已知集合 A x|x24 x50，B x|2x60， M A B.(1)求集合 M；(2)已知集合 C x|a1 x7 a， aR，若 M C M，求实数 a 的取值范围解：(1)由 x24 x50，得1 x5，所以 A1,5由 2x60，得 x3，所以 B3，)所以 M3,5(2)因为 M C M，所以 MC，则Error! 解得 a2.故实数 a 的取值范围为(，2 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知集合 A x|x22 019x2 0180， B x|log2x m，若 AB，则整数 m的最小值是_解析：由 x22 019 x2 0180，
25、解得 1 x2 018，故 A x|1 x2 018由 log2x m，解得 0 x2 m，故 B x|0 x2 m由 AB，可得 2m2 018，因为 2101 024,2 112 048，所以整数 m 的最小值为 11.答案：112对于集合 M，定义函数 fM(x)Error!对于两个集合 A， B，定义集合A B x|fA(x)fB(x)1已知 A2,4,6,8,10， B1,2,4,8,12，则用列举法写出集合 A B_.解析：由题意知，要使 fA(x)fB(x)1，必有 x x|x A 且 xB x|x B 且xA1,6,10,12，所以 A B1,6,10,12答案：1,6,10,123已知集合 A x|1 x3，集合 B x|2m x1 m(1)当 m1 时，求 A B；(2)若 AB，求实数 m 的取值范围；12(3)若 A B，求实数 m 的取值范围解：(1)当 m1 时， B x|2 x2，则 A B x|2 x3(2)由 AB 知Error! 解得 m2，即实数 m 的取值范围为(，2(3)由 A B，得若 2m1 m，即 m 时， B，符合题意；13若 2m1 m，即 m 时，需Error!或Error!13得 0 m 或，即 0 m .13 13综上知 m0，即实数 m 的取值范围为0，)13
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