1、1第九节 函数模型及其应用1几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x) ax b(a， b 为常数， a0)反比例函数模型 f(x) b(k， b 为常数且 k0)kx二次函数模型 f(x) ax2 bx c(a， b， c 为常数， a0)指数函数模型f(x) bax c(a， b， c 为常数， b0， a0 且 a1)对数函数模型f(x) blogax c(a， b， c 为常数， b0， a0 且 a1)幂函数模型 f(x) axn b(a， b 为常数， a0)2解函数应用问题的 4 步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将
2、自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题以上过程用框图表示如下：小题体验1(2019徐州诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过 10 立方米的，按每立方米 3 元收费；用水超过 10 立方米的，超过的部分按每立方米 5 元收费某职工某月的水费为 55 元，则该职工这个月实际用水为_立方米解析：设该职工某月的实际用水为 x 立方米时，水费为 y 元，由题意得 yError!即 yError!易知该职工这个月的实际用水量超过 10 立方米，所以
3、 5x2055，解得 x15.答案：152用 18 m 的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙若使矩形面积最大，则能围2成的最大面积是_m 2.解析：设隔墙长为 x m，则面积 S x 2 x29 x2 2 .18 4x2 (x 94) 818所以当 x 时，能围成的面积最大，为 m2.94 818答案：8181函数模型应用不当，是常见的解题错误所以要正确理解题意，选择适当的函数 模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性小题纠偏1据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次，其中变速车
4、存车费是每辆一次 0.3 元，普通车存车费是每辆一次 0.2 元若普通车存车量为 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是_答案： y0.1 x1 200(0 x4 000)2某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n) n(n1)(2 n1)吨，但如果年产量超过 15012吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_年解析：各年产量为 an f(n) f(n1) n(n1)(2 n1) n(n1)(2 n1)12 123 n2(nN *)，令 3n2150，
5、得 1 n5 .又 nN *，所以 1 n7，故生产期限最长为 72年答案：7考 点 一 二 次 函 数 模 型 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段已知跳水板 AB 长为 2 m，跳水板距水面 CD 的高 BC 为 3 m为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点 A 处水平距 h m(h1)时达到距水面最大高度 4 m，规定：以 CD 为横轴， BC 为纵轴建立直角坐标系3(1)当 h1 时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时 h 的取值范围解
6、：由题意，最高点为(2 h,4)， h1.设抛物线方程为 y ax(2 h)24.(1)当 h1 时，最高点为(3,4)，方程为 y a(x3) 24.(*)将点 A(2,3)代入(*)式得 a1.即所求抛物线的方程为 y x26 x5.(2)将点 A(2,3)代入 y ax(2 h)24，得 ah21.由题意，方程 ax(2 h)240 在区间5,6内有一解令 f(x) ax(2 h)24 x(2 h)24，1h2则Error! 解得 1 h .43故达到比较好的训练效果时的 h 的取值范围是 .1，43由题悟法二次函数模型问题的 3 个注意点(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域；(
7、2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题即时应用(2019启东中学高三检测)某企业实行裁员增效，已知现有员工 a 人，每人每年可创利润 1 万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员 1 人，则留岗员工每人每年可多创收 0.01 万元，但每年需付给每个下岗工人 0.4 万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的 ，设该企业裁员 x 人后纯收益为 y 万元34(1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围；(2)当 140 a280 时，问该企业裁员多少人，才能获得
8、最大的经济效益？(在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员)解：(1) 由题意， y( a x)(10.01 x)0.4 x x2 x a，1100 (a100 75)因为 a x ，所以 x .3a4 a44故 x 的取值范围为 0 x 且 xN *.a4(2)由(1)知 y 2 2 a，1100x (a2 70) 1100(a2 70)当 140 a280 时，0 70 ，a2 a4当 a 为偶数时， x 70， y 取最大值；a2当 a 为奇数时， x 70 或 x 70， y 取最大值，a 12 a 12因尽可能少裁员，所以 x 70，a 12所以当 a 为偶数时，应裁员 人；当
9、 a 为奇数时，应裁员 人(a2 70) (a 12 70)考 点 二 函 数 y xax模 型 的 应 用 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系 C(x) (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造k3x 5费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费
10、用 f(x)达到最小，并求最小值解：(1)由已知条件得 C(0)8，则 k40，因此 f(x)6 x20 C(x)6 x (0 x10)8003x 5(2)f(x)6 x10 102 1070(万元)，8003x 5 6x 10 8003x 5当且仅当 6x10 ，即 x5 时等号成立8003x 5所以当隔热层厚度为 5 cm 时，总费用 f(x)达到最小值，最小值为 70 万元由题悟法应用函数 y x 模型的关键点ax5(1)明确对勾函数是正比例函数 f(x) ax 与反比例函数 f(x) 叠加而成的bx(2)解决实际问题时一般可以直接建立 f(x) ax 的模型，有时可以将所列函数关系bx
11、式转化为 f(x) ax 的形式bx(3)利用模型 f(x) ax 求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号bx成立的条件即时应用某隧道长 2 150 m，通过隧道的车速不能超过 20 m/s.一列有 55 辆车身长都为 10 m的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为 40 m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为 x m/s，根据安全和车流的需要，当 0 x10 时，相邻两车之间保持 20 m 的距离；当 10 x20 时，相邻两车之间保持 m 的距离自第 1 辆车车头进入隧道至第 55(16x2 13x)辆车车尾离开隧道所用的时间为 y(s)(1)将 y 表示为 x 的
12、函数；(2)求车队通过隧道的时间 y 的最小值及此时车队的速度( 1.73)3解：(1)当 0 x10 时，y ，2 150 1055 20 55 1x 3 780x当 10 x20 时，y 9 x18，2 150 1055 (16x2 13x) 55 1x 2 700x所以 yError!(2)当 x(0,10时，在 x10 时， ymin 378(s)3 78010当 x(10,20时， y 9 x18182 18180 329.4(s)，2 700x 9x2 700x 3当且仅当 9x ，即 x17.3(m/s)时取等号2 700x因为 17.3(10,20，所以当 x17.3(m/s)
13、时， ymin329.4(s)，因为 378329.4，所以当车队的速度为 17.3 m/s 时，车队通过隧道的时间 y 有最小值 329.4 s.6考 点 三 指 数 函 数 与 对 数 函 数 模 型 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领已知某物体的温度 (单位：摄氏度)随时间 t(单位：分钟)的变化规律是： m2t 2 1 t(t0，并且 m0)(1)如果 m2，求经过多少时间，物体的温度为 5 摄氏度；(2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度，求 m 的取值范围解：(1)若 m2，则 22 t2 1 t2 ，(2t12t)当 5 时，2 t ，12t 52令 2t x(x
14、1)，则 x ，即 2x25 x20，1x 52解得 x2 或 x (舍去)，此时 t1.12所以经过 1 分钟，物体的温度为 5 摄氏度(2)物体的温度总不低于 2 摄氏度，即 m2t 2 恒成立，亦即 m2 恒成立22t (12t 122t)令 x，则 0 x1，所以 m2 x22 x，12t因为2 x22 x2 2 ，(x12) 12 0， 12所以 m ，12因此，当物体的温度总不低于 2 摄氏度时， m 的取值范围是 .12， )由题悟法指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增
15、长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题即时应用候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为： v a blog3 (其中 a， b 是实数)Q107据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s.(1)求出 a， b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其
16、耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故有 a blog3 0，即 a b0.3010当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s，故 a blog3 1，整理得 a2 b1.9010解方程组Error!得Error!(2)由(1)知， v a blog3 1log 3 .Q10 Q10所以要使飞行速度不低于 2 m/s，则有 v2，所以1log 3 2，Q10即 log3 3，解得 27，即 Q270.Q10 Q10所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位 一抓基础
17、，多练小题做到眼疾手快1某种商品进价为 4 元/件，当日均零售价为 6 元/件，日均销售 100 件，当单价每增加 1 元，日均销量减少 10 件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为 20 元，则预计单价为_元/件时，利润最大解析：设单价为 6 x，日均销售量为 10010 x，则日利润 y(6 x4)(10010 x)2010 x280 x18010( x4) 2340(0 x10)所以当 x4 时， ymax340.即单价为 10 元/件，利润最大答案：102(2018盐城中学检测)“好酒也怕巷子深” ，许多著名品牌是通过广告宣传进入消8费者视线的已知某品牌商品靠广告销售的收入 R
18、 与广告费 A 之间满足关系 R a (a 为常A数)，广告效应为 D R A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为_(用常数 a 表示)解析： D R A a A，令 t (t0)，则 A t2，A A所以 D at t2 2 a2.(t12a) 14所以当 t a，即 A a2时， D 取得最大值12 14答案： a2143某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费
19、1 元现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了_km.解析：设出租车行驶 x km 时，付费 y 元，则 yError!由 y22.6，解得 x9.答案：94(2019盐城调研)一批货物随 17 列货车从 A 市以 v km/h 匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400 km，为了安全，两列货车间距离不得小于 2 km，那么这批物资全部运到(v20)B 市，最快需要_ h(不计货车的身长)解析：设这批物资全部运到 B 市用的时间为 y，因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为 16 2时，时间最快(v20)则 y 2 8，(v20)21
20、6 400v v25 400v v25400v当且仅当 ，即 v100 时等号成立， ymin8.v25 400v答案：85(2019南通模拟)用长度为 24 的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_9解析：设矩形场地的宽(即隔墙的长度)为 x，则长为 ，其面积24 4x2S x12 x2 x22( x3) 218，当 x3 时， S 有最大值 18，所以隔墙的长度24 4x2为 3.答案：36有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话 m 分钟的电话费由函数 f(m)1.06(0.5 m1)(元)决定，其中 m0， m是大于或等于 m 的最小整数则从北京到
21、上海通话时间为 5.5 分钟的电话费为_元解析：因为 m5.5，所以5.56.代入函数解析式，得 f(5.5)1.06(0.561)4.24.答案：4.24 二保高考，全练题型做到高考达标1某电信公司推出两种手机收费方式： A 种方式是月租 20 元，B 种方式是月租 0 元一个月的本地网内通话时间 t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话 150 分钟时，这两种方式电话费相差_元解析：依题意可设 sA(t)20 kt， sB(t) mt，又 sA(100) sB(100)，所以 100k20100 m，得 k m0.2，于是 sA(150) sB(150)20150 k150 m
22、20150(0.2)10，即两种方式电话费相差 10 元答案：102某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件，根据市场预测，销售价为每件100 元时可全部售完，定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件，若要获得最大利润，销售价应定为每件_元解析：设售价提高 x 元，利润为 y 元，则依题意得 y(1 0005 x)(100 x)801 0005 x2500 x20 0005( x50) 2 32 500，故当 x50 时， ymax32 500，此时售价为每件 150 元答案：1503(2019海安中学检测)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2017 年全年投入
23、研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是_(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)10解析：设 2017 年后的第 n 年，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元，由130(112%) n200，得 1.12n ，两边取常用对数，得2013n 3.8，所以 n4，所以从 2021 年开始，该公司全年投入lg 2 lg 1.3lg 1.12 0.30 0.110.05的研发资金开始超过 200 万元答案：2021 年4(2019启东中学检测)某公司租地建仓库，已知
24、仓库每月占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1， y2分别是 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析：由题意设仓库在离车站 x 千米处，则 y1 ， y2 k2x，其中 x0，k1x由Error! 得Error!，即 y1 y2 x2 8，20x 45 20x45x当且仅当 x，即 x5 时等号成立20x 45答案：55将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中， t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y aent.假设过 5 分钟后甲桶和乙桶的水量
25、相等，若再过 m 分钟甲桶中的水只有 ，则a8m_.解析：根据题意知 e 5n，12令 a aent，即 e nt，18 18因为 e 5n，故 e 15n，12 18比较知 t15， m15510.答案：106一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度 v 的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时 96 元当速度为 10 海里/小时时，每小时的燃料费是 6元若匀速行驶 10 海里，当这艘轮船的速度为_海里/小时时，总费用最小解析：设每小时的总费用为 y 元，则 y kv296，又当 v10 时， k1026，解得 k0.06，11所以每小时的总费用 y0.06 v296，匀
26、速行驶 10 海里所用的时间为 小时，故总费10v用为 W y (0.06v296)0.6 v 2 48，当且仅当 0.6v ，10v 10v 960v 0.6v960v 960v即 v40 时等号成立故总费用最小时轮船的速度为 40 海里/小时答案：407某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为_解析：依题意知： ，即 x (24 y)，20 x20 y 824 8 54所以阴影部分的面积 S xy (24 y)y ( y224 y) (y12) 2180.54 54 54所以当 y12
27、 时， S 有最大值为 180.答案：1808某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额 x 为 8 万元时，奖励 1 万元销售额 x 为 64 万元时，奖励 4 万元若公司拟定的奖励模型为y alog4x b.某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为_(万元)解析：依题意得Error!即Error! 解得 a2， b2.所以 y2log 4x2，当 y8 时，即 2log4x28.x1 024(万元)答案：1 0249某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量 w(单位：百千克)与肥料费用 x(单位：百元)满足如下关系： w4 ，且投入的肥料费用不超过 5 百元，此外，还
28、需要投入其3x 1他成本(如施肥的人工费等)2 x 百元已知这种水蜜桃的市场售价为 16 元/千克(即 16 百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为 L(x)(单位：百元)(1)求 L(x)的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1) L(x)16 x2 x64 3 x， x(0,5(43x 1) 48x 1(2)法一： L(x)64 3 x67 672 43，当且仅当48x 1 48x 1 3 x 1 48x 13 x 1123( x1)，即 x3 时取等号48x 1故 L(x)max43.答：当投
29、入的肥料费用为 300 元时，该水密桃树获得的利润最大，为 4 300 元法二： L( x) 3，令 L( x)0，得 x3.48 x 1 2故当 x(0,3)时， L( x)0， L(x)在(0,3)上单调递增；当 x(3,5时， L( x)0， L(x)在(3,5上单调递减故 L(x)max L(3)43.答：当投入的肥料费用为 300 元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为 4 300 元10(2019镇江调研)如图，政府有一个边长为 400 m 的正方形公园 ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以 150 m 为半径的四分之一圆内都种植了花卉现在中间修建一块长方形的活动广场 PQMN，其中
30、P，Q， M， N 四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记Q BC ，长方形活动广场的面积为 S.(1)请把 S 表示成关于 的函数关系式；(2)求 S 的最小值解：(1)过 Q 作 QE BC 于 E，连结 BQ(图略)在 Rt BQE 中，BE150cos ，Q E150sin ，0 ， 2可得矩形 PQMN 的 PQ400300sin ，Q M400300cos ，则 S PQQM(400300sin )(400300cos )10 000(43sin )(43cos )， .0， 2(2)由(1)知， S10 0001612(sin cos )9sin cos ，
31、设 tsin cos sin ，则 ，2 ( 4) 4 4 34可得 1 t ，sin cos ，2t2 12 S10 000 16 12t92 t2 1 5 000 .9(t43)2 7当 t 时， S 取得最小值 5 000735 000 m 2.43 三上台阶，自主选做志在冲刺名校某辆汽车以 x 千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60 x120)时，每小时的耗油量(所需要的汽油量)为 升，其中 k 为常数，15(x k 4 500x )13且 60 k100.(1)若汽车以 120 千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为 11.5 升，欲使每小时的耗油量不超过
32、 9 升，求 x 的取值范围；(2)求该汽车行驶 100 千米的耗油量的最小值解：(1)由题意知，当 x120 时，11.5， k100，15(x k 4 500x )由 9，15(x 100 4 500x )得 x2145 x4 5000，45 x100.又 60 x120，60 x100.故 x 的取值范围为60,100(2)设该汽车行驶 100 千米的耗油量为 y 升，则y 20 (60 x120)100x 15(x k 4 500x ) 20kx 90 000x2令 t ，则 t ，1x 1120， 160 y90 000 t220 kt2090 000 220 ，(tk9 000)
33、k2900该函数图象的对称轴为直线 t .k9 00060 k100， .k9 000 1150， 190若 ，即 75 k100，k9 000 1120则当 t ，即 x 时， ymin20 .k9 000 9 000k k2900若 ，即 60 k75，k9 000 1120则当 t ，即 x120 时， ymin .1120 1054 k6答：当 75 k100 时，该汽车行驶 100 千米的耗油量的最小值为 升；当(20k2900)60 k75 时，该汽车行驶 100 千米的耗油量的最小值为 升(1054 k6)命题点一 基本初等函数()141(2017全国卷改编)设 x， y， z
34、为正数，且 2x3 y5 z，则 2x,3y,5z 的大小关系为_解析：设 2x3 y5 z k1，所以 xlog 2k， ylog 3k， zlog 5k.因为 2x3 y2log 2k3log 3k 2logk2 3logk3 0，2logk3 3logk2logk2logk3 logk32 logk23logk2logk3 logk98logk2logk3所以 2x3 y；因为 3y5 z3log 3k5log 5k 3logk3 5logk5 0，3logk5 5logk3logk3logk5 logk53 logk35logk3logk5 logk125243logk3logk5所以
35、 3y5 z；因为 2x5 z2log 2k5log 5k 2logk2 5logk5 0，2logk5 5logk2logk2logk5 logk52 logk25logk2logk5 logk2532logk2logk5所以 5z2 x.所以 5z2 x3 y.答案：5 z2 x3 y2(2018天津高考改编)已知 alog 3 ， b13， clog 13，则 a， b， c 的大小关72 (14) 15系为_解析： clog 13log 35， alog 3 ，15 72又 ylog 3x 在(0，)上是增函数，log 35log 3 log 331， c a1.72 y x在(，)上
36、是减函数，(14)13 0 1，即 b1.(14) (14) c a b.答案： c a b153(2015江苏高考)不等式 2 x4 的解集为_解析：因为 2x2 x4，所以 2 2 2，所以 x2 x2，即 x2 x20，所以1 x2.答案：(1,2)4(2015全国卷)若函数 f(x) xln(x )为偶函数，则 a_.a x2解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f( x) f(x)0 恒成立，所以 xln( x ) xln(x )0 恒成立，所以 xln a0 恒成立，所以a x2 a x2ln a0，即 a1.答案：15(2018上海高考)已知常数 a0，函数 f(x) 的图象经过点
37、 P ，Q2x2x ax (p， 65)，若 2p q36 pq，则 a_.(q， 15)解析：因为函数 f(x)的图象经过点 P ，Q ，所以 f(p) f(q) (p，65) (q， 15) 2p2p ap 1，化简得 2p q a2pq.因为 2p q36 pq，所2q2q aq 2p q aq2p 2p q ap2q2p q aq2p ap2q a2pq 65 15以 a236 且 a0，所以 a6.答案：66(2016江苏高考)已知函数 f(x) ax bx(a0， b0， a1， b1)(1)设 a2， b .12求方程 f(x)2 的根；若对于任意 xR，不等式 f(2x) mf
38、(x)6 恒成立，求实数 m 的最大值(2)若 0 a1， b1，函数 g(x) f(x)2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值解：(1)因为 a2， b ，所以 f(x)2 x2 x.12方程 f(x)2，即 2x2 x2，亦即(2 x)222 x10，所以(2 x1) 20，即 2x1，解得 x0.由条件知 f(2x)2 2x2 2 x(2 x2 x)22( f(x)22.因为 f(2x) mf(x)6 对于 xR 恒成立，且 f(x)0，所以 m 对于 xR 恒成立 f x 2 4f x而 f(x) 2 4，且 4， f x 2 4f x 4f x f x 4f x f 0 2 4f
39、016所以 m4，故实数 m 的最大值为 4.(2)因为函数 g(x) f(x)2 ax bx2 有且只有 1 个零点，而 g(0) f(0)2 a0 b020，所以 0 是函数 g(x)的唯一零点因为 g( x) axln a bxln b，又由 0 a1， b1 知 ln a0，ln b0，所以 g( x)0 有唯一解 x0log ba.(ln aln b)令 h(x) g( x)，则 h( x)( axln a bxln b) ax(ln a)2 bx(ln b)2，从而对任意 xR， h( x)0，所以 g( x) h(x)是(，)上的单调增函数于是当 x(， x0)时， g( x)
40、g( x0)0；当 x( x0，)时， g( x) g( x0)0.因而函数 g(x)在(， x0)上是单调减函数，在( x0，)上是单调增函数下证 x00.若 x00，则 x0 0，于是 g g(0)0.x02 (x02)又 g(loga2) aloga2 bloga22 aloga220，且函数 g(x)在以 和 loga2 为端点x02的闭区间上的图象不间断，所以在 和 loga2 之间存在 g(x)的零点，记为 x1.x02因为 0 a1，所以 loga20.又 0，所以 x10，与“0 是函数 g(x)的唯一零点”矛盾x02若 x00，同理可得，在 和 logb2 之间存在 g(x)
41、的非 0 的零点，与“0 是函数 g(x)x02的唯一零点”矛盾因此， x00.于是 1，故 ln aln b0，所以 ab1.ln aln b7(2016上海高考)已知 aR，函数 f(x)log 2 .(1x a)(1)当 a5 时，解不等式 f(x)0；(2)若关于 x 的方程 f(x)log 2(a4) x2 a50 的解集中恰有一个元素，求 a 的取值范围；(3)设 a0，若对任意 t ，函数 f(x)在区间 t， t1上的最大值与最小值的12， 1差不超过 1，求 a 的取值范围17解：(1)由 log2 0，得 51，(1x 5) 1x解得 x (0，)( ， 14)(2)由原方
42、程可得 a( a4) x2 a5，1x即( a4) x2( a5) x10.当 a4 时， x1，经检验，满足题意当 a3 时， x1 x21，经检验，满足题意当 a3 且 a4 时， x1 ， x21， x1 x2.1a 4若 x1是原方程的解，则 a0，即 a2；1x1若 x2是原方程的解，则 a0，即 a1.1x2由题意知 x1， x2只有一个为方程的解，所以Error! 或Error!于是满足题意的 a(1,2综上， a 的取值范围为(1,23,4(3)易知 f(x)在(0，)上单调递减，所以函数 f(x)在区间 t， t1上的最大值与最小值分别为 f(t)， f(t1)f(t) f(
43、t1)log 2 log 2 1，(1t a) ( 1t 1 a)即 at2( a1) t10 对任意 t 恒成立12， 1因为 a0，所以函数 y at2( a1) t1 在区间 上单调递增，12， 1当 t 时， y 有最小值 a .由 a 0，得 a .12 34 12 34 12 23故 a 的取值范围为 .23， )命题点二 函数与方程1.(2017江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间0,1)上， f(x)Error! 其中集合 DError! ，则方程 f(x)lg x0 的解的个数是_解析：由于 f(x)0,1)，因此只需考虑 1 x10 的情况，在
44、此范围内，当 xQ 且 xZ 时，设 x ， q， pN *， p2 且 p， q 互质qp18若 lg xQ，则由 lg x(0,1)，可设 lg x ， m， nN *， m2 且 m， n 互质，nm因此 10 ，则 10n m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此 lg xQ，nm qp (qp)故 lg x 不可能与每个周期内 x D 对应的部分相等，只需考虑 lg x 与每个周期内 xD 部分的交点画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD 的部分，且 x1 处(lg x) 1，则在 x1 附近仅有一个交点，1xln 10 1ln 10因此方程 f(x)lg x0 的解的个数为 8.答案：82(2015江苏高考)已知函数 f(x)|ln x|， g(x)Error!则方程| f(x) g(x)|1实根的个数为_
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