1、1第一节 集合1集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2)元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 . (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法(4)五个特定的集合：集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 N N*或 N Z Q R2集合间的基本关系表示关系 文字语言 符号语言 记法子集集合 A 的元素都是集合 B 的元素 x Ax B AB 或 BA真子集集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不属于 AAB，且存在 x0 B， x0A A B 或 B A基本关系相等 集合 A， B 的元素完全相同 AB， BA A
2、 B空集不含任何元素的集合空集是任何集合 A 的子集任意的 x， x， A 3集合的基本运算表示运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法交集属于集合 A 属于集合 B 的且元素组成的集合x|x A，且 x B A B并集属于集合 A 属于集合 B 的或元素组成的集合x|x A，或 x B A B补集全集 U 中 属于集合 A 的元不素组成的集合x|x U，且 xA UA24集合问题中的几个基本结论(1)集合 A 是其本身的子集，即 AA；(2)子集关系的传递性，即 AB， BCAC；(3)A A A A ， A ， A ， UU ， U .A A U(4)A B AAB， A B BAB.小题
3、体验1已知集合 A1,2， B x|0 x5， xN，则满足 ACB 的集合 C 的个数为( )A1 B2C3 D4答案：D2已知集合 A1,2,3， B2,4,5，则集合 A B 中元素的个数为_答案：53(2018江苏高考)已知集合 A0,1,2,8， B1,1,6,8，那么A B_.解析： A B0,1,2,81,1,6,81,8答案：1,81认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件2解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系3易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身4运用数轴图示法易忽视端点是实
4、心还是空心5在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误小题纠偏1(2019浙江名校联考)已知 RM x|ln|x|1， NError!，则 M N( )A(0，e Be，)C(，e(0，) De，e解析：选 B 由 ln|x|1 得| x|e， Me，e N(0，)， M Ne，)故选 B.2若集合 A x|2 x5， B x|m1 x2 m1，且 BA，则由 m 的可能取值组成的集合为_解析：当 m12 m1，即 m2 时， B，满足 BA；若 B，3且满足 BA，如图所示，则Error! 即Error!所以 2 m3.故 m2 或
5、 2 m3，即所求集合为 m|m3答案： m|m33已知集合 A0, x1， x25 x，若4 A，则实数 x 的值为_解析：4 A， x14 或 x25 x4. x5 或 x1 或 x4.若 x1，则 A0, 2，4，满足条件；若 x4，则 A0, 5，4，满足条件；若 x5，则 A0，4,50，满足条件所以 x1 或 x4 或5.答案：1 或 4 或5考 点 一 集 合 的 基 本 概 念 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1下列命题正确的有( )很小的实数可以构成集合；(易错题)集合 与集合( x， y)|y x21是同一个集合；y|y x2 11， ，0.5 这些数组
6、成的集合有 5 个元素；3264| 12|集合( x， y)|xy0， x， yR是指第二和第四象限内的点集A0 个 B1 个C2 个 D3 个解析：选 A 由题意得，不满足集合的确定性，故错误；两个集合，一个是数集，一个是点集，故错误；中 0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；不|12|仅仅表示的是第二、四象限的点，还可表示原点，故错误综上，没有正确命题，故选 A.2已知 a0， bR，若 a b,0， a2，则 a2 b2的值为( )a， 4，baA2 B4C6 D8解析：选 B 由已知得 a0，则 0，所以 b0，于是 a24，即 a2 或 a2，ba因为 a0，所以 a2，故
7、 a2 b22 20 24.3若集合 A xR| ax23 x20中只有一个元素，则 a 等于( )4A. B.92 98C0 D0 或98解析：选 D 若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax23 x20 只有一个实根或有两个相等实根当 a0 时， x ，符合题意23当 a0 时，由 (3) 28 a0，得 a ，98所以 a 的值为 0 或 .984(易错题)(2019江西重点中学协作体联考)设集合 A1,2,3， B2,3,4 ， M x|x ab， a A， b B，则 M 中的元素个数为_解析：结合题意列表计算 M 中所有可能的值如下：ba 2 3 41 2 3 42 4 6 83
8、6 9 12观察可得： M2,3,4,6,8,9,12，据此可知 M 中的元素个数为 7.答案：7谨记通法与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集(2)看这些元素满足什么限制条件(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性考 点 二 集 合 间 的 基 本 关 系 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领1已知集合 M1,2,3,4，则集合 P x|x M 且 2xM的子集有( )A8 个 B4 个C3 个 D2 个解析：选 B 由题意，得 P3,4，所以集合 P 的子集有 224 个2已知集合
9、 A x|x2 x20， B x|ax1，若 BA，则 a( )5A 或 1 B2 或112C2 或 1 或 0 D 或 1 或 012解析：选 D 集合 A x|x2 x202,1当 x2 时，2 a1，解得a ；当 x1 时， a1；又因为 B 是空集时也符合题意，这时 a0，故选 D.12由题悟法集合间基本关系的两种判定方法和一个关键即时应用1集合 a， b， c， d， e的真子集的个数为( )A32 B31C30 D29解析：选 B 因为集合有 5 个元素，所以其子集的个数为 2532 个，其真子集的个数为 25131 个2已知集合 A x|1 x3， B x| m x m，若 BA
10、，则 m 的取值范围为_解析：当 m0 时， B，显然 BA.当 m0 时， A x|1 x3当 BA 时，在数轴上标出两集合，如图，Error! 0 m1.综上所述 m 的取值范围为(，1答案：(，1考 点 三 集 合 的 基 本 运 算 题 点 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力常见的命题角度有：6(1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数；(3)新定义集合问题 题点全练角度一：集合的运算1(2018北京高考)已知集合 A
11、x|x|2， B2,0,1,2，则 A B( )A0,1 B1,0,1C2,0,1,2 D1,0,1,2解析：选 A A x|x|2 x|2 x2，B2,0,1,2， A B0,1故选 A.2(2018全国卷)已知集合 A x|x2 x20，则 RA( )A x|1 x2 B x|1 x2C x|x1 x|x2 D x|x1 x|x2解析：选 B x2 x20，( x2)( x1)0， x2 或 x1，即 A x|x2 或 x1则 RA x|1 x2故选 B.角度二：利用集合运算求参数3(2019浙江联盟校联考)已知集合 P x|1 x1，Q x|0 x a，若PQ x|1 x2，则实数 a
12、的值为( )A1 B2C D12 32解析：选 B 因为 P x|1 x1，Q x|0 x a，所以当 a1 时，PQ x|1 x1，不符合题意；当 a1 时， PQ x|1 x a，结合PQ x|1 x2，可得 a2.角度三：新定义集合问题4如果集合 A， B，同时满足 A B1,2,3,4， A B1， A1， B1，就称有序集对( A， B)为“好集对” 这里有序集对( A， B)是指当 A B 时，( A， B)和( B， A)是不同的集对，那么“好集对” 一共有( )个( )A5 个 B6 个C7 个 D8 个解析：选 B 因为 A B1,2,3,4， A B1， A1， B1，所以
13、当 A1,2时， B1,3,4；当 A1,3时， B1,2,4；当 A1,4时， B1,2,3；当7A1,2,3时， B1,4；当 A1,2,4时， B1,3；当 A1,3,4时， B1,2所以满足条件的“好集对”一共有 6 个，故选 B.通法在握解集合运算问题 4 个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决应用数形 常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图创新性问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知
14、识来解决演练冲关1(2019浙江十校联盟适考)已知集合 A x|1 x4， B xZ| x26 x0，则(RA) B( )A1,4 B4,5C1,4,5 D2,3解析：选 C 法一：由 x26 x0 可得 0 x6，所以 B1,2,3,4,5，又RA x|x1 或 x4，所以( RA) B1,4,5法二：因为求的是( RA) B，故排除 D，又 1,5 RA,1，5 B，故选 C.2(2019长沙模拟)已知集合 A1,2,3， B x|x23 x a0， a A，若A B ，则 a 的值为( )A1 B2C3 D1 或 2解析：选 B 当 a1 时， x23 x10，无整数解，则 A B；当
15、a2 时，B1,2， A B1,2；当 a3 时， B， A B .因此实数 a2.3(2019杭州高三四校联考)设集合 A x|(x3)( x a)0， aR， B x|(x1)(x4)0，则 A B 的子集个数最多为( )A2 B4C8 D16解析：选 D 由题意可知，要使 A B 的子集个数最多，则需 A B 中的元素个数最多，此时 a1， a3，且 a4，即集合 A3， a， B1,4， A B1,3,4， a，故 A B的子集最多有 2416 个4如图所示的 Venn 图中， A， B 是非空集合，定义集合 A B 为阴8影部分表示的集合若 x， yR， A x|y ， B y|y3
16、 x，2x x2x0，则 A B 为( )A x|0 x2 B x|1 x2C x|0 x1 或 x2 D x|0 x1 或 x2解析：选 D 因为 A x|0 x2， B y|y1， A B x|x0，A B x|1 x2，所以 A B A B(A B) x|0 x1 或 x2，故选 D. 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019浙江考前热身联考)已知集合 M x|y ， N x|1 x1，则2x x2M N( )A0,1) B(1,2)C(1,2 D(，0(1，)解析：选 C 法一：易知 M x|0 x2，又 N x|1 x1，所以M N(1,2故选 C.法二：取 x2，则 2 M，所以
17、 2 M N，排除 A、B；取 x3，则 3M,3N，所以3M N，排除 D，故选 C.2(2019浙江三地联考)已知集合 P x| 2，Q x|1 x3，则 PQ( )|x|A1,2) B(2,2)C(2,3 D1,3解析：选 A 由| x|2，可得2 x2，所以 P x|2 x2，所以PQ1,2)3(2018嘉兴期末测试)已知集合 P x|x1，Q x|x0，则( )A PQ BQ PC PRQ D RPQ解析：选 D 由已知可得 RP1，)，所以 RPQ.故选 D.4(2018浙江吴越联盟第二次联考)已知集合 M0,1,2,3,4， N2,4,6，P M N，则 P 的子集有_个解析：集
18、合 M0,1,2,3,4， N2,4,6， P M N2,4，则 P 的子集有，2，4，2,4，共 4 个. 答案：45已知集合 A x|x3， B x|x m，且 A B A，则实数 m 的取值范围是_解析：9因为集合 A x|x3， B x|x m，且 A B A，所以 BA，如图所示，所以 m3.答案：3，) 二保高考，全练题型做到高考达标1(2019杭州七校联考)已知集合 A x|x21， B x|(x21)( x24)0，则集合 A B 中的元素个数为( )A1 B2C3 D4解析：选 B A x|x1 或 x1， B2，1,1,2， A B2,2，故选 B.2(2019浙江六校联考
19、)已知集合 U x|y ， A x|ylog 9x， B y|y2 x则3xA( UB)( )A BRC x|x0 D0解析：选 C 由题意得， UR， A x|x0，因为 y2 x0，所以 B y|y0，所以 UB x|x0，故 A( UB) x|x0故选 C.3(2019永康模拟)设集合 M x|x22 x30， N x|3 x3，则( )A MN B NMC M NR D M N解析：选 C 由 x22 x30，解得 x3 或 x1，所以 M x|x1 或 x3，所以 M NR.4(2019宁波六校联考)已知集合 A x|x23 x0， B1， a，且 A B 有 4 个子集，则实数 a
20、 的取值范围是( )A(0,3) B(0,1)(1,3)C(0,1) D(，1)(3，)解析：选 B A B 有 4 个子集， A B 中有 2 个不同的元素， a A， a23 a0，解得 0 a3 且 a1，即实数 a 的取值范围是(0,1)(1,3)，故选 B.5(2018镇海中学期中)若集合 MError!， N x|x1，则 M N( )A(0,1) B(0,2)C(，2) D(0，)解析：选 C 集合 MError! x|0 x2， N x|x1 M N x|x2(，2)故选 C.6设集合 A x|x2 x20， B x|x1，且 xZ，则 A B_.解析：依题意得 A x|(x1
21、)( x2)0 x|1 x2，因此10A B x|1 x1， xZ1,0答案：1,07(2018嘉兴二模)已知集合 A x|1 x2， B x|x24 x0，则A B_， A( RB)_.解析：因为 B x|x24 x0 x|0 x4，所以 A B x|1 x4；因为RB x|x0 或 x4，所以 A( RB) x|1 x0答案： x|1 x4 x|1 x08设集合 A( x， y)|y| x2|， x0， B( x， y)|y x b， A B.(1)b 的取值范围是_；(2)若( x， y) A B，且 x2 y 的最大值为 9，则 b 的值是_解析：由图可知，当 y x 往右移动到阴影区
22、域时，才满足条件，所以 b2；要使 z x2 y 取得最大值，则过点(0， b)，有02 b9 b .92答案：(1)2，) (2)929已知集合 A x|42 x16， B a， b，若 AB，则实数 a b 的取值范围是_解析：集合 A x|42 x16 x|222 x2 4 x|2 x42,4，因为 AB，所以 a2， b4，所以 a b242，即实数 a b 的取值范围是(，2答案：(，210已知集合 A x|(x2 m)(x m4)0，其中 mR，集合 BError!.(1)若 BA，求实数 m 的取值范围；(2)若 A B，求实数 m 的取值范围解：(1)集合 BError! x|
23、2 x1当 A时， m ，不符合题意43当 A时， m .43当2 m m4，即 m 时， A x|2 m x m4，43又因为 BA，所以Error! 即Error!所以 m5.当2 m m4，即 m 时， A x|m4 x2 m，43又因为 BA，11所以Error! 即Error!所以 m .12综上所述，实数 m 的取值范围为 5，)( ， 12(2)由(1)知， B x|2 x1当 A时， m ，符合题意43当 A时， m .43当2 m m4，即 m 时， A x|2 m x m4，43又因为 A B，所以2 m1 或者 m42，即 m 或者 m2，所以 m2.12 43当2 m
24、m4，即 m 时， A x|m4 x2 m，43又因为 A B，所以 m41 或者2 m2，即 m5 或者 m1，所以 1 m .43综上所述，实数 m 的取值范围为1,2 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1对于复数 a， b， c， d，若集合 S a， b， c， d具有性质“对任意 x， y S，必有xy S”，则当Error!时， b c d 等于( )A1 B1C0 Di解析：选 B S a， b， c， d，由集合中元素的互异性可知当 a1 时，b1， c21， ci，由“对任意 x， y S，必有 xy S”知i S， ci， di 或 ci， di， b c d(1)01.2对于
25、集合 M， N，定义 M N x|x M，且 xN， M N( M N)( N M)，设AError! ， B x|x0， xR，则 A B( )A. B.(94， 0) 94， 0)C. 0，) D. (0，)( ， 94) ( ， 94解析：选 C 依题意得 A B x|x0， xR， B AError!，故A B 0，)故选 C.( ， 94)123已知函数 f(x) 的定义域为集合 A，且 B xZ|2 x10，x 317 xC xR| x a 或 x a1(1)求： A 和( RA) B；(2)若 A CR，求实数 a 的取值范围解：(1)要使函数 f(x) ，x 317 x应满足 x30，且 7 x0，解得 3 x7，则 A x|3 x7，得到 RA x|x3 或 x7，而 B xZ|2 x103,4,5,6,7,8,9，所以( RA) B7,8,9(2)C xR| x a 或 x a1，要使 A CR，则有 a3，且 a17，解得 3 a6.故实数 a 的取值范围为3,6)13
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