（通用版）2020高考数学一轮复习2.12函数模型及其应用讲义文.doc

1、1第十二节函数模型及其应用一、基础知识批注理解深一点1常见的 8种函数模型(1)正比例函数模型： f(x) kx(k为常数， k0)；(2)反比例函数模型： f(x) (k为常数， k0)；kx(3)一次函数模型： f(x) kx b(k， b为常数， k0)；(4)二次函数模型： f(x) ax2 bx c(a， b， c为常数， a0)；(5)指数函数模型： f(x) abx c(a， b， c为常数， a0， b0， b1)；(6)对数函数模型： f(x) mlogax n(m， n， a为常数， m0， a0， a1)；(7)幂函数模型： f(x) axn b(a， b， n为常数，

2、a0， n1)；(8)“对勾”函数模型： y x (a0)ax(1)形如 f(x) x (a0)的函数模型称为“对勾”函数模型， “对勾”函数的性质：ax该函数在(， 和 ，)上单调递增，在 ，0)和(0， 上单调递a a a a减当 x0时， x 时取最小值 2 ，当 x0， b0， x0)在区间(0， 内单调递减，在区间xa bx ab ， )内单调递增ab2三种函数模型的性质函数性质 y ax(a1) ylog ax(a1) y xn(n0)在(0，)上的增减性单调递增 单调递增 单调递增增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳图象的变化随 x的增大，逐渐表现为与 y轴平行随 x的增大，逐

3、渐表现为与 x轴平行随 n值变化而各有不同值的比较 存在一个 x0，当 xx0时，有 logax0 可以描述增长幅度不同的变化，当 n,值较小 n1 时，增长较慢；当 n值较大 n1 时，增长较快.二、基础小题强化功底牢一点 一 判 一 判 对 的 打 “ ”， 错 的 打 “”(1)函数 y2 x的函数值比 y x2的函数值大( )(2)“指数爆炸”是指数型函数 y abx c(a0， b0， b1)增长速度越来越快的形象比喻( )(3)幂函数增长比直线增长更快( )答案：(1) (2) (3)(二)选一选1在某个物理实验中，测量后得变量 x和变量 y的几组数据，如表：x 0.50 0.99

4、 2.01 3.98y 0.99 0.01 0.98 2.00则对 x， y最适合的拟合函数是( )A y2 x B y x21C y2 x2 D ylog 2x解析：选 D 由 x0.50， y0.99，代入计算，可以排除 A；由x2.01， y0.98，代入计算，可以排除 B、C；将各数据代入函数 ylog 2x，可知满足题意2生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x万件时的生产成本为 C(x) x22 x20(万元)一万件售价是 20万元，为获取最大利润，该企12业一个月应生产该商品数量为( )A36 万件 B18 万件C22 万件 D9 万件解析：选 B 设

5、利润为 L(x)，则利润 L(x)20 x C(x) (x18) 2142，当 x1812时， L(x)有最大值3某商品价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减 20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A减少 7.84% B增加 7.84%C减少 9.5% D不增不减解析：选 A 设某商品原来价格为 a，依题意得：3a(10.2) 2(10.2) 2 a1.220.820.921 6 a，所以(0.921 61) a0.078 4 a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少 7.84%.(三)填一填4某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过 100 km，票价是 0.

6、5元/km，如果超过 100 km，超过 100 km的部分按 0.4元/km 定价，则客运票价 y(元)与行程千米数 x(km)之间的函数关系式是_解析：由题意可得 yError!答案： yError!5.有一批材料可以建成 200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为_ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为 x m，则宽为 m，200 x4则 S x ( x2200 x)200 x4 14当 x100 时， Smax2 500 (m 2)答案：2 500考 点 一 二 次

7、函 数 、 分 段 函 数 模 型典例 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30或 30以下，飞机票每张收费 900元；若每团人数多于 30，则给予优惠：每多 1人，机票每张减少 10元，直到达到规定人数 75为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解 (1)设每团人数为 x，由题意得 0x75( xN *)，飞机票价格为 y元，则 yError!即 yError!(2)设旅行社获利 S元，4则 SError!即 SError!因为 S900 x15 000 在区间(0,30上为

8、增函数，故当 x30 时， S取最大值 12 000.又 S10( x60) 221 000， x(30,75，所以当 x60 时， S取得最大值 21 000.故当 x60 时，旅行社可获得最大利润解题技法二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值题组训练1某市家庭煤气的使用量 x(m

9、3)和煤气费 f(x)(元)满足关系 f(x)Error!已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份 用气量 煤气费一月份 4 m3 4元二月份 25 m3 14元三月份 35 m3 19元若四月份该家庭使用了 20 m3的煤气，则其煤气费为( )A11.5 元 B11 元C10.5 元 D10 元解析：选 A 根据题意可知 f(4) C4， f(25) C B(25 A)14， f(35) C B(35 A)19，解得 A5， B ， C4，所以 f(x)Error!所以 f(20)124 (205)11.5.122 A， B两城相距 100 km，在两城之间距 A城 x(km)处建一核

10、电站给 A， B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的 0.25倍，若 A城供电量为每月 20亿度， B城供电量为每月 10亿度5(1)求 x的取值范围；(2)把月供电总费用 y表示成 x的函数；(3)核电站建在距 A城多远，才能使月供电总费用 y最少？解：(1)由题意知 x的取值范围为10,90(2)y5 x2 (100 x)2(10 x90)52(3)因为 y5 x2 (100 x)252 x2500 x25 000152 2 ，152(x 1003) 50 0003所以当 x 时， ymin .1003

11、 50 0003故核电站建在距 A城 km处，能使月供电总费用 y最少1003考 点 二 指 数 函 数 、 对 数 函 数 模 型典例 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后 y与 t之间的函数关系式 y f(t)； (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间解 (1)由题图，设 yError!当 t1 时，由 y4，得 k4，由 1 a4，得 a3.所以 yError!(12)(2)由 y0.25 得

12、Error!或Error!解得 t5.116故服药一次后治疗疾病有效的时间是 5 (小时)116 79166解题技法1掌握 2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数2建立函数模型解应用问题的 4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型(2)建模：将文字语言转化为

13、数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型(3)求模：求解数学模型，得出数学结论(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中以上过程用框图表示如下：题组训练1某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n次涨停(每次上涨 10%)，又经历了 n次跌停(每次下跌 10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A略有盈利 B略有亏损C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况解析：选 B 设该股民购进这支股票的价格为 a元，则经历 n次涨停后的价格为a(110%) n a1.1n元，经历 n次跌停后的价格为 a1.1n(110%)n a1.1n0.9

14、n a(1.10.9)n0.99 naa，故该股民这支股票略有亏损2声强级 Y(单位：分贝)由公式 Y10lg 给出，其中 I为声强(单位：(I10 12)W/m2)(1)平常人交谈时的声强约为 106 W/m2，求其声强级(2)一般常人能听到的最低声强级是 0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为 106 W/m2时，由公式 Y10lg ，(I10 12)7得 Y10lg 10lg 10 660(分贝)(10 610 12)(2)当 Y0 时，由公式 Y10lg ，(I10 12)得 10lg 0.(I10 12) 1，即 I10 12 W/m2，I10 12则最低声强为 101

15、2 W/m2.课 时 跟 踪 检 测 1(2018福州期末)某商场销售 A型商品已知该商品的进价是每件 3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10日均销售量/件 400 360 320 280 240 200 160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )A4 B5.5C8.5 D10解析：选 C 由数据分析可知，当单价为 4元时销售量为 400件，单价每增加 1元，销售量就减少 40件设定价为 x元/件时，日均销售利润为 y元，则y( x3)400( x4)4040 21 210，故当 x 8.5

16、 时，该商品的日(x172) 172均销售利润最大，故选 C.2(2019绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过 10立方米的，按每立方米 3元收费；用水超过 10立方米的，超过的部分按每立方米 5元收费某职工某月的水费为 55元，则该职工这个月实际用水为( )A13 立方米 B14 立方米C15 立方米 D16 立方米解析：选 C 设该职工某月的实际用水为 x立方米时，水费为 y元，由题意得 yError!即yError!易知该职工这个月的实际用水量超过 10立方米，所以 5x2055，解得 x15.3利民工厂某产品的年产量在 150吨至 250吨之间，年生

17、产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的关系可近似地表示为 y 30 x4 000，则每吨的成本最低时的年产量为x210( )8A240 吨 B200 吨C180 吨 D160 吨解析：选 B 依题意，得每吨的成本为 30，则 2 yx x10 4 000x yx3010，x10 4 000x当且仅当 ，即 x200 时取等号，x10 4 000x因此，当每吨成本最低时，年产量为 200吨4某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过 1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量 P(单位：毫克/升)与过滤时间 t(单位：时)之间的函数关系为P P0e kt(k， P0均为正常

18、数)如果在前 5个小时的过滤过程中污染物被排除了 90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是( )A. 小时 B. 小时12 59C5 小时 D10 小时解析：选 C 由题意，前 5个小时消除了 90%的污染物 P P0e kt，(190%) P0 P0e5 k，0.1e 5 k，即5 kln 0.1， k ln 0.1.15由 1%P0 P0e kt，即 0.01e kt，得 ktln 0.01， tln 0.01， t10.(15ln 0.1)排放前至少还需要过滤的时间为 t55(时)5(2019蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量 y(单位：只)与时间 x(单位：年)的关系式为 y alog2(x

19、1)，若这种动物第 1年有 100只，则到第 7年它们发展到_只解析：由题意，得 100 alog2(11)，解得 a100，所以 y100log 2(x1)，当x7 时， y100log 2(71)300，故到第 7年它们发展到 300只答案：3006.某人根据经验绘制了从 12月 21日至 1月 8日自己种植的西红柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象如图所示，则此人在 12月 26日大约卖出了西红柿_千克9解析：前 10天满足一次函数关系，设为 y kx b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得Error! 解得 k ， b ，所以 y x ，则当 x6 时，

20、 y .209 709 209 709 1909答案：19097候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q之间的关系为： v a blog3 (其中 a， b是实Q10数)据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30个单位，而其耗氧量为 90个单位时，其飞行速度为 1 m/s.(1)求出 a， b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30个单位，故有 a blog3 0，即 a b0.30

21、10当耗氧量为 90个单位时，速度为 1 m/s，故 a blog3 1，整理得 a2 b1.9010解方程组Error!得Error!(2)由(1)知， v a blog3 1log 3 .Q10 Q10所以要使飞行速度不低于 2 m/s，则有 v2，所以1log 3 2，Q10即 log3 3，解得 27，即 Q270.Q10 Q10所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270个单位8.据气象中心观察和预测：发生于沿海 M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度 v(单位：km/h)与时间 t(单位：h)的函数图象如图所示，过线段 OC上一点 T(t,0)

22、作横轴的垂线 l，梯形 OABC在直线 l左侧部分的面积为时间 t内台风所经过的路程 s(单位：km)(1)当 t4 时，求 s的值；(2)将 s随 t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若 N城位于 M地正南方向，且距 M地 650 km，试判断这场台风是否会侵袭到 N城，10如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到 N城？如果不会，请说明理由解：(1)由图象可知，直线 OA的方程是 v3 t(0 t10)，直线 BC的方程是v2 t70(20 t35)当 t4 时， v12，所以 s 41224.12(2)当 0 t10 时， s t3t t2；12 32当 10t20 时， s 1030( t10)3030 t150；12当 20t35 时， s150300 (t20)(2 t7030) t270 t550.12综上可知， s随 t变化的规律是 sError!(3)当 t0,10时， smax 102150650，32当 t(10,20时， smax3020150450650，当 t(20,35时，令 t270 t550650，解得 t30 或 t40(舍去)，即在台风发生 30小时后将侵袭到 N城11