（通用版）2020高考数学一轮复习2.1函数及其表示讲义理.doc

1、1第一节函数及其表示1函数与映射函数 映射两集合 A，B 设 A，B 是非空的数集 设 A，B 是非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y与之对应名称称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数称对应 f：AB 为从集合 A 到集合B 的一个映射记法 yf(x )，xA 对应 f：AB 是一个映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x

2、 的取值范围 A 叫做函数的定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|xA叫做函数的值域 .显然，值域是集合 B 的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法3分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发(2)如果函数 yf(x )用表格给出，则表格中 x 的集合即为定义域(3)如果函数 yf(x )用图

3、象给出，则图象在 x 轴上的投影所覆盖的 x 的集合即为定义域.值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集(3)各段函数的定义域不可以相交.熟记常用结论(1)若 f(x)为整式，则函数的定义域为 R；2(2)若 f(x)为分式，则要求分母不为 0；(3)若 f(x)为对数式，则要求真数大于 0；(4)若 f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；(5)若 f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式

4、(组)小题查验基础一、判断题(对的打“” ，错的打 “”)(1)对于函数 f：A B，其值域是集合 B.( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数( )(3)函数是一种特殊的映射( )(4)若 A R，B(0，)，f：xy |x|，则对应 f 可看作从 A 到 B 的映射( )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的( )答案：(1) (2) (3) (4) (5)二、选填题1下列图形中可以表示为以 M x|0x1为定义域，以 N y|0y1为值域的函数的是( )解析：选 C A 选项，函数定义域为 M，但值域不是 N，B 选项，函数定义域不是M，值域为 N，D 选项，集合

5、 M 中存在 x 与集合 N 中的两个 y 对应，不能构成函数关系故选 C.2下列函数中，与函数 yx1 是相等函数的是( )Ay( )2 By 1x 1 3x3Cy 1 Dy 1x2x x2解析：选 B 对于 A，函数 y( )2 的定义域为x| x1 ，与函数 yx1 的定x 1义域不同，不是相等函数；对于 B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于 C，函数 y 1 的定义域为x |x0 ，与函数 yx1 的定义域不同，不是相等函数；对于x2xD，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选 B.3函数 f(x) 的定义域为_2x 11x 2解析：由题意得Error!解得 x0 且

6、x2.3答案：0,2)(2，)4若函数 f(x)Error!则 f(f(2)_.解析：由题意知，f(2)541，f (1)e 01，所以 f(f(2)1.答案：15已知函数 f(x)ax 32x 的图象过点 (1,4)，则 f(2)_.解析：函数 f(x)ax 32x 的图象过点 (1,4)4a2，a2，即 f(x)2x 32x，f(2)22 32220.答案：20考 点 一 求 函 数 的 解 析 式 师 生 共 研 过 关 典例精析(1)已知 f lg x，求 f(x)的解析式(2x 1)(2)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)0，f(x1)f(x)x1，求 f(x)的解析式(3)已知

7、函数 f(x)满足 f(x) 2f(x)2 x，求 f(x)的解析式解 (1)(换元法 )令 1t，得 x ，2x 2t 1代入得 f(t)lg ，又 x0，所以 t1，2t 1故 f(x)的解析式是 f(x)lg ，x(1 ，)2x 1(2)(待定系数法)设 f(x)ax 2bxc (a0)，由 f(0)0，知 c0，f(x)ax 2bx，又由 f(x1)f(x )x1，得 a(x 1)2b(x 1)ax 2bxx 1，即 ax2(2 ab)x abax 2(b1) x1，所以Error!解得 ab .12所以 f(x) x2 x，x R.12 12(3)(解方程组法)由 f(x )2f(x

8、)2 x，4得 f(x)2f(x )2 x ，2，得 3f(x)2 x1 2x .即 f(x) .2x 1 2 x3故 f(x)的解析式是 f(x) ，xR.2x 1 2 x3解题技法求函数解析式的 3 种方法及口诀记忆待定系数法 当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式口诀记忆解析式，如何定，待定换元解方程；已知函数有特征，待定系数来确定；复合函数问根源，内函数，先换元；两个函数有关系，方

9、程组中破玄机.过关训练1口诀第 3 句已知函数 f(x1) ，则函数 f(x)的解析式为( )xx 1Af(x) Bf (x)x 1x 2 xx 1Cf(x) Df(x) x 1x 1x 2解析：选 A 令 x1t ，则 xt 1，f(t ) ，t 1t 2即 f(x) .故选 A.x 1x 22口诀第 2 句若二次函数 g(x)满足 g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则 g(x)_.解析：设 g(x)ax 2bxc( a0) ，g(1)1，g( 1)5，且图象过原点，Error!解得Error!g(x)3x 22x.答案：3x 22x53口诀第 4 句已知 f(x)满足 2f(x)f 3

10、x，则 f(x)_.(1x)解析：2f(x) f 3x，(1x)把中的 x 换成 ，得 2f f(x) .1x (1x) 3x联立可得Error!解此方程组可得 f(x)2x (x0)1x答案：2x (x0)1x考 点 二 函 数 的 定 义 域 全 析 考 法 过 关 考法全析考法(一) 已知函数解析式求定义域例 1 求下列函数的定义域：(1)f(x) ；(2) f(x) .|x 2| 1log2x 1 lnx 1 x2 3x 4解 (1) 要使函数 f(x)有意义，则Error!解不等式组得 x3.因此函数 f(x)的定义域为3，) (2)要使函数 f(x)有意义，则Error!即Erro

11、r!解不等式组得1x1.因此函数 f(x)的定义域为(1,1)考法(二) 求抽象函数的定义域例 2 已知函数 f(x)的定义域为( 1,1)，则函数 g(x)f f(x1)的定义域为( )(x2)A(2,0) B(2,2)C(0,2) D.( 12，0)解析 由题意得Error!Error!0x2，函数 g(x)f f (x1) 的定义域为(0,2)，故选 C.(x2)答案 C考法(三) 已知函数的定义域求参数的值(范围)6例 3 (1)若函数 y 的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是( )mx 1mx2 4mx 3A. B.(0，34 (0，34)C. D.0，34 0，34)(2)若函

12、数 f(x) 的定义域为x|1x2，则 ab 的值为_ax2 abx b解析 (1)函数 y 的定义域为 R，mx 1mx2 4mx 3mx 24mx30，m0 或Error!即 m0 或 0m ，34实数 m 的取值范围是 .0，34)(2)函数 f(x) 的定义域为x|1x2，ax2 abx bError!解得Error!ab .92答案 (1)D (2)92规律探求看个性考法(一) 是根据具体的函数解析式求定义域，已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组) 的解集即可考法(二) 是求抽象函数的定义域

13、，有如下解法：(1)若已知函数 f(x)的定义域为 a，b，则复合函数 f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b 求出；(2)若已知函数 f(g(x)的定义域为a，b ，则 f(x)的定义域为 g(x)在xa，b 上的值域考法(三) 是考法( 一)的逆运用，通常是转化为含参数的不等式求解找共性1.谨记函数定义域的有关口诀定义域，是何意，自变量，有意义；分式分母不为零，对数真数只取正；7偶次根式要非负，三者结合生万物；和差积商定义域，不等式组求交集. 2.函数定义域问题注意事项(1)函数 f(g(x)的定义域指的是 x 的取值范围，而不是 g(x)的取值范围；(2)求函数的定义域时，对函数解析式

14、先不要化简；(3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式；(4)函数 f(x)g(x)的定义域是函数 f(x)，g( x)的定义域的交集过关训练1口诀第 1、2 、3 、4 句y log 2(4x 2)的定义域是 ( )x 12xA(2,0) (1,2) B(2,0(1,2)C(2,0)1,2) D2,01,2解析：选 C 要使函数有意义，则 Error!解得 x(2,0)1,2)，即函数的定义域是(2,0)1,2)2口诀第 1 句已知函数 yf (x21) 的定义域为 ， ，则函数 yf(x) 的定义域3 3为_解析：因为 yf( x21)的定义域为 ， ，所以 x ， ，x 2

15、11,2，3 3 3 3所以 yf( x)的定义域为1 ， 2答案：1,23口诀第 1、3 句若函数 f(x) 的定义域为实数集 R，则实数 a 的取值范x2 ax 1围为_解析：若函数 f(x) 的定义域为实数集 R，x2 ax 1则 x2ax10 恒成立，即 a 240，解得2a2，即实数 a 的取值范围是2,2答案：2,2全析考法过关 考 点 三 分 段 函 数考法全析考法(一) 分段函数求值例 1 (1)(2019石家庄模拟)已知 f(x)Error!则 f _.(f(19)(2)已知 f(x)Error! 则 f(7)_.8解析 (1)f log 3 2，(19) 19f f(2)

16、2 9.(f(19) (13)(2)79，f(7)f(f(74)f( f(11)f (113)f(8)又89，f(8)f(f(12)f(9) 93 6.即 f(7)6.答案 (1)9 (2)6考法(二) 求参数或自变量的值(范围)例 2 (1)(2018全国卷)设函数 f(x)Error!则满足 f(x1)f(2x) 的 x 的取值范围是( )A(，1 B(0，)C(1,0) D( ，0)(2)(2019长春模拟)已知函数 f(x)Error!若 f(a)f(1)0，则实数 a_.解析 (1)f(x)Error!函数 f(x)的图象如图所示结合图象知，要使 f(x1)f(2x)，则需Error

17、!或Error!x0，故选 D.(2)当 a0 时，由 f(a)f(1) 0 得 2a20，无实数解；当 a0 时，由 f(a)f(1)0得 a120，解得 a3，满足条件答案 (1)D (2)3规律探求看个性考法(一) 是求分段函数的函数值在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论考法(二) 是在考法( 一)的基础上迁移考查分段函数中，已知函数值或不等关9系求参数或自变量的值或范围解与分段函数有关的方程或不等式，从而求得自变量或参数的取值(范围 )时，应根据每一段的解析式分别求解解

18、得值(范围) 后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围找共性(1)无论考法(一 )还是考法(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类” ，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题过关训练1已知函数 f(x)Error!则 f(1log 25)_.解析：因为 2log 253，所以 31log 254，则 42 log 255，则 f(1log 25)f(1 1log 25)f(2 log 25) .(12) 2+log14 15 120答案：1202(2018衡阳模拟)已知函数

19、 f(x)Error!(aR)，若 f(f(1)1，则 a_.解析：f(1)2 ( 1) 2，f(f(1)f(2)4a1，解得 a .14答案：14课 时 跟 踪 检 测 一、题点全面练1(2019重庆调研)函数 ylog 2(2x4) 的定义域是 ( )1x 3A(2,3) B(2，)C(3，) D(2,3) (3，)解析：选 D 由题意，得Error! 解得 x2 且 x3，所以函数 ylog 2(2x4) 的定1x 3义域为(2,3)(3，)，故选 D.2(2018合肥质量检测)已知函数 f(x)Error!则 f(f(1)( )A B212C4 D11解析：选 C f(1) 1 223

20、，f(f(1) f(3)3 4.故选 C.13 23已知函数 f(x)5 |x|，g( x)ax 2x (aR)若 f(g(1)1 ，则 a( )10A1 B2C3 D1解析：选 A 由已知条件可知 f(g(1)f(a1)5 |a1| 1，|a1|0，得 a1.故选A.4(2018荆州联考)若函数 f(x)的定义域是1,2 019，则函数 g(x) 的定义域是( )fx 1x 1A0,2 018 B0,1) (1,2 018C(1,2 019 D 1,1)(1,2 018解析：选 B 由题知，1x 12 019，解得 0x2 018，又 x1，所以函数 g(x)的定义域是0,1)(1，2 01

21、8fx 1x 15已知 f 2x 5，且 f(a)6，则 a 等于( )(12x 1)A. B74 74C. D43 43解析：选 A 令 t x1，则 x2t 2，f(t )2(2t2)54t1，故 f(x)4x1，则12f(a) 4a16 ，解得 a .746(2019石家庄模拟)已知 f(x)Error!(0a1)，且 f(2)5，f(1)3，则 f(f(3)( )A2 B2C3 D3解析：选 B 由题意得，f( 2)a 2 b5，f(1)a 1 b 3，联立，结合 0a1，得 a ，b1，12所以 f(x)Error!则 f(3) 3 19，f(f(3)f(9)log 392.(12)

22、7(2018福州二模)已知函数 f(x)Error!若 f(a)3，则 f(a2)( )A B3151611C 或 3 D 或 36364 1516解析：选 A 当 a0 时，若 f(a)3，则 log2aa3，解得 a2( 满足 a0)；当 a0时，若 f(a)3 ，则 4a2 1 3，解得 a3，不满足 a0 ，舍去于是，可得 a2.故f(a2)f(0)4 2 1 .故选 A.15168(2019合肥质检)已知函数 f(x)满足 f(2x)2f (x)，且当 1x2 时，f(x) x 2，则 f(3)( )A. B.98 94C. D992解析：选 C f(2x )2f(x )，且当 1x

23、 2 时，f(x) x 2，f(3)2f 2 2 .(32) (32) 929(2019合肥模拟)已知 f(x)的定义域为x|x 0 ，且 3f(x)5f 1，则函数 f(x)的(1x) 3x解析式为_解析：用 代替 3f(x)5f 1 中的 x，得 3f 5f(x)3x1，1x (1x) 3x (1x)Error!35 得 f(x) x (x0)1516 916x 18答案：f(x) x (x0)1516 916x 1810设函数 f(x)Error!若 f(m)f(m)，则实数 m 的取值范围是_解析：函数 f(x)Error!当 m0 时，f (m)f(m)，即ln mln m，即 ln

24、 m0，解得0m1；当 m0 时，f(m)f(m) ，即 ln(m )ln(m )，即 ln(m)0，解得 m1.综上可得，m1 或 0m1.答案：(，1)(0,1)二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1若函数 yf( x1)的值域为1,1，则函数 yf (3x2)的值域为( )A1,1 B1,012C0,1 D2,8解析：选 A 函数 yf (x1)的值域为1,1，由于函数中的自变量取定义域内的任意数时，函数的值域都为1,1，故函数 yf (3x2)的值域为1,1故选 A.2(2018山西名校联考)设函数 f(x)lg(1x )，则函数 ff(x)的定义域为( )A(9，) B(9,1)C

25、9，) D 9,1)解析：选 B ff(x) flg(1x)lg 1lg(1 x)，其定义域为Error!的解集，解得9x1，所以 ff(x)的定义域为(9,1) 故选 B.3(2018安阳三校联考)若函数 f(x) 的定义域为一切实数，则实数 m 的mx2 mx 1取值范围是( )A0,4) B(0,4)C4，) D0,4解析：选 D 由题意可得 mx2mx10 恒成立当 m0 时，10 恒成立；当 m0 时，则Error!解得 0 m4.综上可得，0m4.4(2019珠海质检)已知函数 f(x)Error!的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 ( )A(，1 B.( 1，12)C. D.

26、 1，12) (0，12)解析：选 C 由题意知 yln x(x1)的值域为0 ，)，故要使 f(x)的值域为 R，则必有 y(1 2a) x3a 为增函数，且 12a3a0，所以 12a0，且 a1，解得1a .125(2018合肥质检)已知函数 f(x) 的值域是0，)，则实数 m 的mx2 m 3x 1取值范围是_解析：当 m0 时，函数 f(x) 的值域是0 ， )，显然成立；当 m0 时， 3x 1( m3) 24 m0，解得 0m1 或 m9. 显然 m0 时不合题意综上可知，实数 m的取值范围是0,19，) 答案：0,19，)(二)技法专练活用快得分136排除法设 xR，定义符号

27、函数 sgn xError!则( )A|x| x|sgn x| B| x|x sgn|x|C|x| |x|sgn x D|x|x sgn x解析：选 D 当 x0 时，| x|x，x|sgn x|x，x sgn|x|x，|x|sgn x(x)(1)x ，排除 A、B 、C，故选 D.7特殊值法函数 y (a0，a1) 的定义域和值域都是0,1，则a axloga log a ( )56 485A1 B2C3 D4解析：选 C 当 x1 时，y0，则函数 y 在0,1上为减函数，故 a1.当a axx0 时，y1，则 1，a2.log 2 log 2 log 2 log 283.a 156 48

28、5 (56485)8数形结合法设函数 f(x)Error!则满足 f(x)f(x1)1 的 x 的取值范围是_解析：画出函数 f(x)的大致图象如图，易知函数 f(x)在( ，) 上单调递增又因为 xx1，且 x(x 1)1，f (0)1，所以要使 f(x)f (x1)1 成立，则结合函数 f(x)的图象知只需 x11，解得 x0.故所求 x 的取值范围是(0， ) 答案：(0，)(三)素养专练学会更学通9逻辑推理具有性质 f f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出(1x)下列函数：f(x )x ；f (x)x ；f (x)Error!其中满足 “倒负”变换的函数是( )1x 1

29、xA BC D解析：选 A 对于，f xf (x)，满足题意；对于，f xf (x)，不满(1x) 1x (1x) 1x14足题意；对于，f Error!即 f Error!故 f f (x)，满足题意综上可知，满足(1x) (1x) (1x)“倒负”变换的函数是.故选 A.10数学运算已知函数 f(x)Error!g( x)2 x1，则 f(g(2)_，f (g(x)的值域为_解析：g(2)2 213，f (g(2)f (3)2.易得 g(x)的值域为(1，) ，若1g( x)0，f(g(x )g(x) 211,0) ；若 g(x)0，f (g(x)g( x)1(1，) ，f(g(x)的值域是 1， )答案：2 1，)11数学抽象设函数 f：RR，满足 f(0)1，且对任意 x，yR 都有 f(xy1)f(x)f(y) f(y)x 2，则 f(2 018)_.解析：令 xy0，则 f(1) f(0)f(0)f(0)02111022.令 y0，则 f(1)f(x)f (0)f(0)x 2，将 f(0)1，f(1)2 代入，可得 f(x)1x，所以 f(2 018)2 019.答案：2 01915