（通用版）2020高考数学一轮复习2.8函数与方程讲义理.doc

1、1第八节函数与方程1函数零点的概念对于函数 y f(x)， x D，我们把使 f(x)0 的实数 x叫做函数 y f(x)， x D的零点 .2函数的零点与方程根的联系函数 y f(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根也就是函数 y f(x)的图象与 x轴的横坐标，所以方程 f(x)0 有实根函数 y f(x)的图象与 x轴有交点 函数 f(x)有零点3零点存在性定理4二次函数图象与零点的关系 b24 ac 0 0 0二次函数y ax2 bx c(a0)的图象与 x轴的交点 (x1,0)，( x2,0) (x1,0) 无零点个数 2 1 0(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程 f(x)

2、0 的实根(2)零点一定在定义域内.由函数 y f(x)在闭区间 a， b上有零点不一定能推出 f(a)f(b)0，如下图所示所以 f(a)f(b)0 是 y f(x)在闭区间 a， b上有零点的充分不必要条件事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号零点存在性定理只能判断零点存在，不能确定零点的个数若函数在某区间上是单调函数，则该函数在该区间上至多有一个零点判断二次函数 f(x)的零点个数就是判断一元二次方程 ax2 bx c0 的实根个数，2一般由判别式 0， 0， 0 完成熟记常用结论1若函数 f(x)在 a， b上单调，且 f(x)的

3、图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)0 函数 f(x)在 a， b上只有一个零点2连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号3周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点小题查验基础一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x轴的交点( )(2)函数 y f(x)在区间( a， b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)0.( )(3)二次函数 y ax2 bx c(a0)在 b24 ac0 时没有零点( )答案：(1) (2) (3)二、选填题1已知函数 y f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6y

4、 124.4 35 74 14.5 56.7 123.6则函数 y f(x)在区间1,6上的零点至少有( )A2 个 B3 个C4 个 D5 个解析：选 B 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数 f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以 y f(x)在1,6上至少有 3个零点故选 B.2函数 f(x)ln x 的零点所在的大致范围是( )2xA(1,2) B(2,3)C. 和(3,4) D(4，)(1e， 1)解析：选 B 易知 f(x)为增函数，由 f(2)ln 210， f(3)ln 3 0，得23f(2)f(3)0.故选 B.3函数 f(x)e x3 x的零

5、点个数为( )A0 B1C2 D3解析：选 B 函数 f(x)e x3 x在 R上是增函数， f(1) 30， f(0)10，1e3 f(1) f(0)0，函数 f(x)有唯一零点，且在(1,0)内，故选 B.4函数 f(x)( x22)( x23 x2)的零点为_答案： ， ，1,22 2考点一函数零点所在区间的判断基础自学过关题组练透1(2019郑州名校联考)已知实数 a， b满足 2a3,3 b2，则函数 f(x) ax x b的零点所在的区间是( )A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：选 B 2 a3,3 b2， a1,0 b1，又 f(x) ax x b是单调递

6、增函数， f(1) 1 b0， f(0)1 b0， f(x)在区间(1,0)上存在零点故选 B.1a2若 x0是方程 x x 的解，则 x0属于区间( )(12) 3A. B.(23， 1) (12， 23)C. D.(13， 12) (0， 13)解析：选 C 令 g(x) x， f(x) x ，(12) 13则 g(0)1 f(0)0， g f ， g f ，(12) (12) (12) (12)3(13) (12) (13) (13)结合图象可得 x0 .13 123(2019河北武邑中学调研)函数 f(x)3 x7ln x的零点位于区间( n， n1)(nN)内，则 n_.解析：因为

7、f(x)在(0，)上单调递增，且 f(2)1ln 20， f(3)2ln 30，所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内，故 n2.答案：2名师微点4确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是否连续，再看是否有 f(a)f(b)0.若有，则函数 y f(x)在区间( a， b)内必有零点(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x轴在给定区间上是否有交点来判断口 诀 记 忆 端 点 函 数 符 号 反 ，区 间 a， b 有 零 点 .考点二判断函数零点个数师生共研过关典例精析已知函数 f(x)Error

8、!函数 g(x)3 f(2 x)，则函数 y f(x) g(x)的零点个数为( )A2 B3C4 D5解析 由已知条件可得 g(x)3 f(2 x)Error!函数 y f(x) g(x)的零点个数即为函数 y f(x)与 y g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y f(x)与 y g(x)的图象如图所示由图可知函数 y f(x)与 y g(x)的图象有 2个交点，所以函数 y f(x) g(x)的零点个数为 2，选 A.答案 A解题技法函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令 f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数 f(x)在区间 a， b上是连续不

9、断的曲线，且 f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数过关训练1(2019郑州质检)已知函数 f(x) xcos x，则 f(x)在0,2上的零点个数为(12)_解析：如图，作出 g(x) x与 h(x)cos x的图象，可知其在0,2上的交点个数(12)为 3，所以函数 f(x)在0,2上的零点个数为 3.5答案：32函数 f(x)Error!的零点个数是_解析：当 x0 时，令 f(x)0，即 x22 x0，解得 x2 或 x0(舍去)，所以当x0 时，只有一个零点；当 x0 时， f(x)e x x2，

10、而 f( x)e x1，显然 f( x)0，所以 f(x)在0，)上单调递增，又 f(0)e 00210， f(2)e 240，所以当 x0 时，函数 f(x)有且只有一个零点综上，函数 f(x)只有 2个零点答案：23(2018全国卷)函数 f(x)cos 在0，的零点个数为_(3x6)解析：由题意可知，当 3x k (kZ)时， f(x)0. x0，3 x6 2 ，6 6， 196 当 3x 取值为 ， ， 时， f(x)0，6 232 52即函数 f(x)cos 在0，的零点个数为 3.(3x6)答案：3考点三函数零点的应用全析考法过关考法全析考法(一) 根据函数零点个数或存在情况求参数

11、范围例 1 (1)(2019郑州模拟)已知函数 f(x)Error!( aR)，若函数 f(x)在 R上有两个零点，则实数 a的取值范围是( )A(0,1 B1，)C(0,1) D(，1(2)(2018全国卷)已知函数 f(x)Error! g(x) f(x) x a.若 g(x)存在 2个零点，则 a的取值范围是( )A1,0) B0，)C1，) D1，)6解析 (1)画出函数 f(x)的大致图象如图所示因为函数 f(x)在 R上有两个零点，所以 f(x)在(，0和(0，)上各有一个零点当 x0 时， f(x)有一个零点，需0 a1；当 x0 时， f(x)有一个零点，需 a0，即 a0.综

12、上，0 a1，故选 A.(2)令 h(x) x a，则 g(x) f(x) h(x)在同一坐标系中画出 y f(x)， y h(x)的示意图，如图所示若 g(x)存在 2个零点，则 y f(x)的图象与y h(x)的图象有 2个交点，平移 y h(x)的图象，可知当直线y x a过点(0,1)时，有 2个交点，此时 10 a， a1.当y x a在 y x1 上方，即 a1 时，仅有 1个交点，不符合题意当 y x a在 y x1 下方，即 a1 时，有 2个交点，符合题意综上， a的取值范围为1，)故选 C.答案 (1)A (2)C考法(二) 根据函数零点的范围求参数范围例 2 若函数 f(

13、x)( m2) x2 mx(2 m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则 m的取值范围是_解析 依题意，结合函数 f(x)的图象分析可知 m需满足Error!即Error!解得 m .14 12答案 (14， 12)考法(三) 求函数多个零点(方程根)的和例 3 (2019石家庄质量检测)已知 M是函数 f(x)|2 x3|8sin x(xR)的所有零点之和，则 M的值为_解析 将函数 f(x)|2 x3|8sin x的零点转化为函数 h(x)|2 x3|与 g(x)8sin x图象交点的横坐标在同一平面直角坐标系中，画出函数 h(x)与 g(x)的图象，如图，因为函数 h(

14、x)与 g(x)的图象都关于直线 x 对称，两个函数的图象共有 8个交点，32所以函数 f(x)的所有零点之和 M8 12.32答案 12规律探求7看个性考法(一)是根据函数零点的个数及零点存在情况求参数范围，解决此类问题通常先对解析式变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，数形结合求解考法(二)是根据函数零点所在区间求参数，解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围考法(三)是求函数零点的和，求函数的多个零点(或方程的根以及直线y m与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函

15、数本身关于点的对称，直线的对称等)找共性根据函数零点求参数范围的一般步骤为：(1)转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况(2)列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式(3)结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.过关训练1函数 f(x) x2 ax1 在区间 上有零点，则实数 a的取值范围是( )(12， 3)A(2，) B2，)C. D.2，52) 2， 103)解析：选 D 由题意知方程 ax x21 在 上有解，即 a x 在 上有解，(12， 3) 1x (12， 3)设 t x ， x ，则 t的取值范围是 ，实数 a的取值范围是 .1x

16、 (12， 3) 2， 103) 2， 103)2设函数 f(x)Error! g(x) f(x)4 mx m，其中 m0.若函数 g(x)在区间(1,1)上有且仅有一个零点，则实数 m的取值范围是( )A1 B.14， ) 14， )C1 D.15， ) 15， )解析：选 C 作出函数 y f(x)的大致图象，如图所示函数 g(x)的零点个数函数y f(x)的图象与直线 y4 mx m的交点个数直线 y4 mx m过8点 ，当直线 y4 mx m过点(1,1)时， m ；当直线 y4 mx m与曲线(14， 0) 15y 1(1 x0)相切时，设切点为 ，由 y 得切线的1x 1 (x0，

17、 1x0 1 1) 1 x 1 2斜率为 ，则 ，解得 x0 ，所以 4m1 x0 1 2 1 x0 1 21x0 1 1 0x0 14 124，得 m1.结合图象可知当 m 或 m1 时，函数 g(x)在区间(1,1)1( 12 1)2 15上有且仅有一个零点课 时 跟 踪 检 测 一、题点全面练1设 f(x)是区间1,1上的增函数，且 f f 0，则方程 f(x)0 在区间(12) (12)1,1内( )A可能有 3个实数根 B可能有 2个实数根C有唯一的实数根 D没有实数根解析：选 C f(x)在区间1,1上是增函数，且 f f 0，(12) (12) f(x)在区间 上有唯一的零点12

18、， 12方程 f(x)0 在区间1,1内有唯一的实数根2(2018濮阳一模)函数 f(x)ln(2 x)1 的零点位于区间( )A(2,3) B(3,4)C(0,1) D(1,2)解析：选 D f(x)ln(2 x)1 是增函数，且是连续函数，f(1)ln 210， f(2)ln 410，根据函数零点的存在性定理可得，函数 f(x)的零点位于区间(1,2)上3(2019南宁模拟)设函数 f(x)ln x2 x6，则 f(x)零点的个数为( )A3 B2C1 D0解析：选 B 令 f(x)0，则 ln x2 x6，令 g(x)ln x(x0)， h(x)2 x6( x0)，在同一平面直角坐标系中

19、画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数 f(x)零点的个数，容易看出函数 f(x)零点的个数为 2，故选 B.94已知函数 f(x) xlog 3x，若 x0是函数 y f(x)的零点，且 0 x1 x0，则 f(x1)(15)的值( )A恒为正值 B等于 0C恒为负值 D不大于 0解析：选 A 因为函数 f(x) xlog 3x在(0，)上是减函数，所以当 0 x1 x0(15)时，有 f(x1) f(x0)又 x0是函数 f(x)的零点，因此 f(x0)0，所以 f(x1)0，即 f(x1)的值恒为正值，故选 A.5(2018黄山一模)已知函数 f(x)e |x|

20、 x|.若关于 x的方程 f(x) k有两个不同的实根，则实数 k的取值范围是( )A(0,1) B(1，)C(1,0) D(，1)解析：选 B 方程 f(x) k化为方程 e|x| k| x|.令ye |x|， y k| x|， y k| x|表示过点(0， k)，斜率为 1或1 的平行折线系，折线与曲线 ye |x|恰好有一个公共点时，有 k1，如图若关于 x的方程 f(x) k有两个不同的实根，则实数 k的取值范围是(1，)6若方程 ln x x40 在区间( a， b)(a， bZ，且 b a1)上有一根，则 a的值为( )A1 B2C3 D4解析：选 B 方程 ln x x40 的根

21、为函数 f(x)ln x x4 的零点 f(x)的定义域为(0，)， f(x)在定义域上单调递增因为 f(2)ln 220， f(3)ln 310，所以 f(x)在区间(2,3)有一个零点，则方程 ln x x40 在区间(2,3)有一根，所以 a2， b3.故选 B.7(2019哈尔滨检测)若函数 f(x) x2 ax b的两个零点是1 和 2，则不等式af(2 x)0 的解集是_解析：函数 f(x) x2 ax b的两个零点是1 和 2，即1,2 是方程 x2 ax b0 的两根，可得12 a，12 b，解得 a1， b2. f(x) x2 x2， af(2 x)100，即 4x22 x2

22、0，解得1 x .12答案： ( 1，12)8已知函数 f(x)Error! g(x)Error!则函数 f(g(x)的所有零点之和是_解析：由 f(x)0，得 x2 或 x2，由 g(x)2，得 x1 ，由 g(x)2，得3x ，所以函数 f(g(x)的所有零点之和是 1 .12 12 3 12 3答案： 12 39已知 y f(x)是定义域为 R的奇函数，当 x0，)时， f(x) x22 x.(1)写出函数 y f(x)的解析式；(2)若方程 f(x) a恰有 3个不同的解，求实数 a的取值范围解：(1)设 x0，则 x0，所以 f( x) x22 x.又因为 f(x)是奇函数，所以 f

23、(x) f( x) x22 x.所以 f(x)Error!(2)方程 f(x) a恰有 3个不同的解，即 y f(x)与 y a的图象有 3个不同的交点作出 y f(x)与 y a的图象如图所示，故若方程 f(x) a恰有 3个不同的解，只需1 a1，故实数 a的取值范围为(1,1)10(2019济南月考)已知二次函数 f(x)的最小值为4，且关于 x的不等式 f(x)0的解集为 x|1 x3， xR(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 g(x) 4ln x的零点个数f xx解：(1)因为 f(x)是二次函数，且关于 x的不等式 f(x)0 的解集为x|1 x3， xR，所以 f(x)

24、 a(x1)( x3) ax22 ax3 a，且 a0.所以 f(x)min f(1)4 a4， a1.故函数 f(x)的解析式为 f(x) x22 x3.11(2)因为 g(x) 4ln x x 4ln x2( x0)，x2 2x 3x 3x所以 g( x)1 .3x2 4x x 1 x 3x2令 g( x)0，得 x11， x23.当 x变化时， g( x)， g(x)的取值变化情况如下.x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，)g( x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 当 0 x3 时， g(x) g(1)40.又因为 g(x)在(3，)上单调递增，因而 g(x)在(3，)上只有

25、1个零点故 g(x)在(0，)上只有 1个零点二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1(2018德州期末)设函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x0 时， f(x)e x x3，则 f(x)的零点个数为( )A1 B2C3 D4解析：选 C 因为函数 f(x)是定义域为 R的奇函数，所以 f(0)0，即 0是函数 f(x)的一个零点，当 x0 时， f(x)e x x3 为增函数因为 f(1)e 113e20， fe 3 e 0，所以当 x0 时， f(x)有一个零点根据对称性知，当 x0(14) 14 14114时，函数 f(x)也有一个零点综上所述， f(x)的零点的个数为 3.2(

26、2019六安模拟)已知函数 f(x)2 mx2 x1 在区间(2,2)上恰有一个零点，则实数 m的取值范围是( )A. B.(18， 0) (0， 38 ( 38， 18)C. D.38， 18) ( 18， 38解析：选 D 当 m0 时，函数 f(x) x1 有一个零点 x1，满足条件当 m0时，函数 f(x)2 mx2 x1 在区间(2,2)上恰有一个零点，需满足 f(2) f(2)0或Error!或 Error!解得 m0 或 0 m ；无解；解得 m .综上可知18 38 3812 m ，故选 D.18 383(2019沧州质检)已知定义在 R上的函数 f(x)满足： f(x) f(

27、2 x)0； f(x2) f( x)；当 x1,1时， f(x)Error!则函数 y f(x) |x|在区间(12)3,3上的零点个数为( )A5 B6C7 D8解析：选 A 由 f(x) f(2 x)0 可得 f(x)的图象关于点(1,0)对称；由 f(x2) f( x)可得 f(x)的图象关于直线 x1 对称如图，作出 f(x)在1,1上的图象，再由对称性，作出 f(x)在3,3上的图象，作出函数 y |x|在3,3上的图象，由图象(12)观察可得它们共有 5个交点，即函数 y f(x) |x|在区间3,3上的零点个数为 5.故(12)选 A.4函数 f(x) |x1| 2cos x(4

28、 x6)的所有零点之和为_(12)解析：可转化为两个函数 y |x1| 与 y2cos x在4,6上的交点的横坐标的(12)和，因为两个函数均关于 x1 对称，所以两个函数在 x1 两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为 2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在 x1 两侧分别有 5个交点，所以 5210.答案：10(二)难点专练适情自主选5已知函数 f(x)Error!若关于 x的方程 f(x) kx 恰有 4个不相等的实数根，则12实数 k的取值范围是( )A. B.(12， e) 12， e)C. D.(12， ee (12， ee)13解析：选 D 若关于 x的方程 f(x) kx

29、 恰有 4个不相等的实数根，则 y f(x)的图12象和直线 y kx 有 4个交点作出函数 y f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线12y kx 的下方12 k1 0，解得 k .12 12当直线 y kx 和 yln x相切时，设切点横坐标为 m，则 k ， m .此12 ln m 12m 1m e时， k ， f(x)的图象和直线 y kx 有 3个交点，不满足条件，故所求 k的取值范1m ee 12围是 ，故选 D.(12， ee)6(2018兰州一模)已知定义在 R上的函数 y f(x)对任意的 x都满足 f(x2) f(x)，当1 x1 时， f(x)sin x，若函数 g(x) f(x)log a|x|至少有 6个零点，则 a的取2值范围是( )A. (5，) B. 5，)(0，15 (0， 15)C. (5,7) D. 5,7)(17， 15 (17， 15)解析：选 A 当 a1 时，作出函数 y f(x)与函数 ylog a|x|的图象，如图所示结合图象可知Error!故 a5；当 0 a1 时，作出函数 f(x)与函数 ylog a|x|的图象，如图所示14结合图象可知Error!故 0 a .故选 A.15