2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题56立体几何空间点、线、面的位置关系文（含解析）.doc

1、1专题 56 立体几何 空间点、线、面的位置关系【考点讲解】1、具本目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)(2)公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过

2、这个点的公共直线推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类Error!直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3.异面直线所成的角异面直线所成的角定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a与 b所成的锐角或直角叫作异面直线 a， b 所成

3、的角(或夹角)范围： 2,0(.4.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法” ，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；2利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异

4、面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 2,0(，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查【真题分析】1.【2016 高考浙江文数】已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m， n 满足 m ， n ，则（ ）A.m l B.mn C.n l D.m n【解析】由题意知 ， 故选 C【答案】C2.【2017 课标 1

5、，文 6】如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ）A B3C D【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中 AB MQ，在直线 AB平面MNQ，第三个选项同样可得 AB MQ，直线 AB平面 N，第四个选项有 N，直线AB平面 ，只有选项 A 不符合要求【答案】A3 【2017 课标 3，文 10】在正方体 中， E 为棱 CD 的中点，则（ ）A 11EDC B 1AED C 11AB D 1AC【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于

6、斜线在平面内的射影，A.若11，那么 11，很显然不成立；B.若 1E，那么 E，显然不成立；C.若AEBC，那么 BC，成立，反过来 BC时，也能推出 1BCA,所以 C 成立，D.若1，则 A，显然不成立，故选 C.【答案】C4.【2018 年全国卷 II 文】在正方体 中， E为棱 1C的中点，则异面直线 AE与 CD所成角的正切值为（ ）A. 2 B. 3 C. 52 D. 7 【解析】利用正方体的性质可 AB CD，将异面直线 AE与 CD所成角转化为共面直线 AB与 E所成角的正切值，在 E中进行计算就可以了.在正方体 中有 ，所以异面直线 与 所成角为 ，设正方体的边长为 2a，

7、因为 为棱 1C的中点，所以有 =CEa， 5B， .【答案】C45.【2017 课标 II，理 10】已知直三棱柱 中， ， 2A， ，则异面直线 1A与 C所成角的余弦值为（ ）A 32 B 15 C 105 D 3【解析】将直三棱柱补成四棱柱 ，异面直线 1AB与 所成的角为 1BC，由题意可知 1=2BC， ， ，因此【答案】C6.【2016 高考浙江文数】如图，已知平面四边形 ABCD， AB=BC=3， CD=1， AD= 5， ADC=90沿直线AC 将 ACD 翻折成 ACD，直线 AC 与 B所成角的余弦的最大值是_【解析】设直线 AC与 BD所成角为 设 O是 AC中点，由

8、已知得 6AC，如图，以 OB为 x轴，O为 y轴，过 与平面 垂直的直线为 z轴，建立空间直角坐标系，由 (0,)2，5， ，作 DHAC于 ，翻折过程中， DH始终与 AC垂直，则 63O， ，因此可设，则 ，与 CAur平行的单位向量为 (0,1)nr，所以 BDnur ，所以 cos1时， cos取最大值 69【答案】 697.【2017 天津，文 17】如图，在四棱锥 PABCD中， 平面 PDC， AB ， PD，1AD， 3BC， 4D， 2.（I）求异面直线 AP与 所成角的余弦值；（II）求证： 平面 ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值.6【分析】（）异面直线所成的角一般都

9、转化为相交线所成的角， /ADBC，所以 PAD即为所 求，根据余弦定理求得，但本题可证明 ADP，所以 ；（）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明 ；（）根据（）的结论，做 /FB，连结 F,即为所求.【 解析】 （）解：如图，由已知 AD/BC，故 DAP或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角.因为 AD平面 PDC，所以 AD PD.在 Rt PDA 中，由已知，得 ，故 .所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 5.（）证明：因为 AD平面 PDC，直线 PD平面 PDC，所以 AD PD.又因为 BC/AD，所以 PD

10、 BC，又PD PB，所以 PD 平面 PBC.7【模拟考场】1空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）A两条直线 B一点和一条直线 C一个三角形 D三个点【解析】不共线的三点确定一个平面，C 正确；A 选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D 选项，不共线的三点确定一个平面.【答案】C2.在三棱锥 A BCD 的棱 AB、 BC、 CD、 DA 上分别取 E、 F、 G、 H 四点，如果 EF HG P，则点 P（ ）A.一定在直线 BD 上 B.一定在直线 AC 上C.在直线 AC 或 BD 上 D.不在直线 AC 上，也不在直线 BD

11、 上【解析】如图所示， EF平面 ABC， HG平面 ACD， EF HG P， P平面 ABC， P平面 ACD.又平面 ABC平面 ACD AC， P AC，故选 B.【答案】B3.已知平面 和直线 l，则在平面 内至少有一条直线与直线 l ( )A.平行 B.垂直 C.相交 D.以上都有可能【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线 l 与平面 相交，则在平面 内不存在直线与直线 l 平行，故 A 错误；若直线 l平面 ，则在平面 内不存在直线与 l 相交，故 C 错误；对于直线 l 与平面 相交，直线 l 与平面 平行，直线 l 在平面 内三种位置关系，在平

12、面 内至少有一条直线与直线 l 垂直，故选 B.【答案】B4.不在同一条直线上的三点 A、 B、 C 到平面 的距离相等，且 A ，给出以下三个命题： ABC 中至少有一条边平行于 ； ABC 中至多有两边平行于 ； ABC 中只可能有一条边与 相交.其中真命题是_.【解析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，如图，三点 A、 B、 C 可能在 的同侧，也可8能在 两侧，其中真命题是.【答案】5.如图，四棱锥 PABCD中， ， 2BCAD， PB和 A都是等边三角形，则异面直线 和 所成角的大小为（ ）A 90 B 75 C 60 D 45【解析】设 1D，则 2，过 A作 /E交

13、BC于 E，则 AD，过 E作 /FPB交PC于F，则 E即为为所求，如图所示，过 F作 /G交 P于 ，连接 G，则四边形 A是梯形，其中 /GA， 12FPB，过 作 /HEF交 于 ，则，在 H中， 则，所以 ，故选 A.【答案】A6.已知 A 是 BCD 所在平面外的一点， E， F 分别是 BC， AD 的中点，(1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；(2)若 AC BD， AC BD，求 EF 与 BD 所成的角【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.(1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD

14、与 BC 共面，所以A、 B、 C、 D 在同一平面内，这与 A 是 BCD 所在平面外的一点相矛盾故直线 EF 与 BD 是异面直线9(2)取 CD 的中点 G，连接 EG、 FG，则 EG BD，所以直线 EF 与 EG 所成的角即为异面直线 EF 与 BD 所成的角在 Rt EGF 中，由 EG FG 12AC，可得 FEG45，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45.7.如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 3， M， N 分别是棱 AA1， AB 上的点，且 AM AN1.（1）证明： M， N， C， D1四点共面；（2）平面 MNCD1将此正方体分为两部分，

15、求这两部分的体积之比.【解析】本题考点是多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.（1）证明：连接 A1B，在四边形 A1BCD1中， A1D1 BC 且 A1D1 BC，所以四边形 A1BCD1是平行四边形.所以 A1B D1C.在 ABA1中， AM AN1， AA1 AB3，所以 1MNB，所以 MN A1B，所以 MN D1C.所以 M， N， C， D1四点共面.（2）记平面 MNCD1将正方体分成两部分的下部分体积为 V1，上部分体积为 V2，连接 D1A， D1N， DN，则几何体 D1 AMN， D1 ADN， D1 CDN 均为三棱锥，10所以 V1 13SAMN D1A1 3SADN D1D 3SCDN D1D 3 23 33 923 .从而 V2 1ABCD V127 4，所以 124V，所以平面 MNCD1分此正方体的两部分体积的比为 3.11