（新课改省份专用）2020版高考数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和讲义（含解析）.doc

1、1第二节 等差数列及其前 n 项和突破点一 等差数列的基本运算基 本 知 识 1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为 an1 an d(nN *， d 为常数)(2)等差中项：数列 a， A， b 成等差数列的充要条件是 A ，其中 A 叫做 a， b 的a b2等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式： an a1( n1) d.(2)前 n 项和公式： Sn na1 d .n n 12 n a1 an2基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)若一个数列从第 2 项起，每一

2、项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)数列 an为等差数列的充要条件是对任意 nN *，都有 2an1 an an2 .( )(3)等差数列 an的单调性是由公差 d 决定的( )(4)数列 an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数( )答案：(1) (2) (3) (4)二、填空题1若 m 和 2n 的等差中项为 4,2m 和 n 的等差中项为 5，则 m 与 n 的等差中项是_答案：32在等差数列 an中， a23， a3 a49，则 a1a6的值为_答案：143已知 an是等差数列，且 a3 a94 a5， a28，则该数列的公差是_答案：44在等差数

3、列 an中，已知 d2， S10010 000，则 Sn_.答案： n2典 例 感 悟 21(2018全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 3S3 S2 S4， a12，则a5( )A12 B10C10 D12解析：选 B 设等差数列 an的公差为 d，由 3S3 S2 S4，得 3(3a13 d)2 a1 d4 a16 d，即 3a12 d0.将 a12 代入上式，解得 d3，故 a5 a1(51)d24(3)10.2(2019山东五校联考)已知等差数列 an为递增数列，其前 3 项的和为3，前 3项的积为 8.(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列 an的前 n 项和 S

4、n.解：(1)设等差数列 an的公差为 d， d0，等差数列 an的前 3 项的和为3，前 3 项的积为 8，Error! Error!或Error! d0， a14， d3， an3 n7.(2) an3 n7， a1374， Sn .n 4 3n 72 n 3n 112方 法 技 巧 解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列 an中， a1与 d 是最基本的两个量，一般可设出 a1和 d，利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列方程(组)求解即可(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式 an a1( n1) d 和前 n 项和公式 Sn na1 d，在两个公式中共涉

5、及五个量：n a1 an2 n n 12a1， d， n， an， Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量针 对 训 练 1已知数列 是等差数列，且 a32， a912，则 a15( )annA10 B30C40 D20解析：选 B 法一：设数列 是公差为 d 的等差数列，ann a32， a912，6 d ， d ， 12 d2.故 a1530.a99 a33 129 23 23 19 a1515 a333法二：由于数列 是等差数列，故 2 ，即 2 2，故ann a99 a33 a1515 a1515 129 23a1530.2(2018信阳二模)九章算术是

6、我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得_钱( )A. B53 32C. D43 54解析：选 C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1， a2， a3， a4， a5，设公差为 d，由题意知 a1 a2 a3 a4 a5 ，即Error!解得Error!故52甲得 钱，故选 C.433(2018菏泽二模)已知等差数列 an的前 n 项

7、和为 Sn， nN *，满足a1 a210， S540.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn|13 an|，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解：(1)设等差数列 an的公差为 d，由题意知， a1 a22 a1 d10，S55 a340，即 a38，所以 a12 d8，所以Error! 所以 an4( n1)22 n2.(2)令 cn13 an112 n，bn| cn|112 n|Error!设数列 cn的前 n 项和为 Qn，则 Qn n210 n.当 n5 时， Tn b1 b2 bn Qn n210 n.当 n6 时， Tn b1 b2 bn c1 c2 c5( c6 c7 c

8、n) Qn2 Q5 n210 n2(5 2105) n210 n50.突破点二 等差数列的性质及应用基 本 知 识 等差数列的常用性质4(1)通项公式的推广： an am( n m)d(n， mN *)(2)若 an为等差数列，且 m n p q，则 am an ap aq(m， n， p， qN *)(3)若 an是等差数列，公差为 d，则 ak， ak m， ak2 m，( k， mN *)是公差为 md 的等差数列(4)数列 Sm， S2m Sm， S3m S2m，( mN *)也是等差数列，公差为 m2d.(5)S2n1 (2 n1) an， S2n n(a1 a2n) n(an an

9、1 )，遇见 S 奇 ， S 偶 时可分别运用性质及有关公式求解(6)若 an， bn均为等差数列且其前 n 项和为 Sn， Tn，则 .anbn S2n 1T2n 1(7)若 an是等差数列，则 也是等差数列，其首项与 an的首项相同，公差是 anSnn的公差的 .12(8)若等差数列 an的项数为偶数 2n，则 S2n n(a1 a2n) n(an an1 )； S 偶 S 奇 nd， .S奇S偶 anan 1(9)若等差数列 an的项数为奇数 2n1，则 S2n1 (2 n1) an1 ； .S奇S偶 n 1n基 本 能 力 1在等差数列 an中， a3 a737，则 a2 a4 a6

10、a8_.解析：依题意，得 a2 a4 a6 a8( a2 a8)( a4 a6)2( a3 a7)74.答案：742设 an是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是_答案：23在等差数列 an中，3( a3 a5)2( a7 a10 a13)24，则该数列前 13 项的和是_答案：26全 析 考 法 考法一 等差数列的性质 例 1 (1)(2019武汉模拟)若数列 an为等差数列， Sn为其前 n 项和，且a12 a33，则 S9( )5A25 B27C50 D54(2)(2019莆田九校联考)在等差数列 an中，若 a1， a2 019为方程 x210 x160

11、的两根，则 a2 a1 010 a2 018( )A10 B15C20 D40解析 (1)设等差数列 an的公差为 d， a12 a332 a14 d3， a5 a14 d3， S99 a527.(2)因为 a1， a2 019为方程 x210 x160 的两根，所以 a1 a2 01910.由等差数列的性质可知， a1 010 5， a2 a2 018 a1 a2 01910，a1 a2 0192所以 a2 a1 010 a2 01810515.故选 B.答案 (1)B (2)B方法技巧利用等差数列的性质求解问题的注意点(1)如果 an为等差数列， m n p q，则 am an ap aq

12、(m， n， p， qN *)因此，若出现 am n， am， am n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与 am(或其他项)有关的条件；若求 am项，可由 am (am n am n)转化为求 am n， am n或 am n am n的值12(2)要注意等差数列通项公式及前 n 项和公式的灵活应用，如 an am( n m)d， d， S2n1 (2 n1) an， Sn (n， mN *)等an amn m n a1 an2 n a2 an 12提醒 一般地， am an am n，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是am n am n2 am. 考法二 等差数列前 n 项和最

13、值问题 等差数列的通项 an及前 n 项和 Sn均为 n 的函数，通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前 n 项和 Sn的最值问题例 2 (2018全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和，已知 a17， S315.(1)求 an的通项公式；(2)求 Sn，并求 Sn的最小值解 (1)设 an的公差为 d，由题意得 3a13 d15.又 a17，所以 d2.所以 an的通项公式为 an2 n9.(2)法一：(二次函数法)6由(1)得 Sn n28 n( n4) 216，n a1 an2所以当 n4 时， Sn取得最小值，最小值为16.法二：(通项变号法)由(1)知 an2 n9，则

14、 Sn n28 n.n a1 an2由 Sn最小Error!即Error! n ，72 92又 nN *， n4，此时 Sn的最小值为 S416.方法技巧求等差数列前 n 项和 Sn最值的 2 种方法(1)二次函数法利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn an2 bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)通项变号法 a10， d0 时，满足Error!的项数 m 使得 Sn取得最小值为 Sm. 集 训 冲 关 1. 设 Sn为公差不为零的等差数列 an的前 n 项和，若 S93 a8，则 等于( )考 法 一 S153a5A15 B17C19 D21解析：选 A 因为 S9 a

15、1 a2 a99 a53 a8，即 3a5 a8.又 S15 a1 a2 a1515 a8，所以 15.S153a5 15a8a82. 在项数为 2n1 的等差数列 an中，所有奇数项的和为 165，所有偶数项考 法 一 的和为 150，则 n 等于( )A9 B10C11 D12解析：选 B 等差数列有 2n1 项， S 奇 ， S 偶 n 1 a1 a2n 12.n a2 a2n2又 a1 a2n1 a2 a2n， ， n10.S偶S奇 nn 1 150165 101173. 等差数列 an中， Sn为前 n 项和，且 a125， S17 S9，请问：数列前多少考 法 二 项和最大？解：法

16、一： a125， S17 S9，17 a1 d9 a1 d，解得 d2.17162 982 a1250，由Error!得Error!当 n13 时， Sn有最大值法二： a125， S17 S9，17 a1 d9 a1 d，17162 982解得 d2.从而 Sn25 n (2) n226 nn n 12( n13) 2169.故前 13 项之和最大突破点三 等差数列的判定与证明典例 (2019济南一中检测)各项均不为 0 的数列 an满足 an2 an，且 a32 a8 .an 1 an an 22 15(1)证明数列 是等差数列，并求数列 an的通项公式；1an(2)若数列 bn的通项公式

17、为 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn.an2n 6解 (1)证明：依题意， an1 an an2 an1 2 an2 an，两边同时除以 anan1 an2 ，可得 ，故数列 是等差数列，设数列 的公差为 d.因为 a32 a8 ，1an 2 1an 2an 1 1an 1an 15所以 5， 10，所以 55 d，即 d1，所以 ( n3) d5( n3)1a3 1a8 1a8 1a3 1an 1a31 n2，故 an .1n 2(2)由(1)可知 bn Error! Error!，故 Snan2n 6 12 1 n 2 n 3 12 1n 2 1n 3Error! Error! .

18、12 13 14 14 15 1n 2 1n 3 n6 n 3方法技巧等差数列的判定与证明方法方法 解读 适合题型8定义法对于数列 an， an an1 (n2， nN *)为同一常数 an是等差数列等差中项法2an1 an an2 (n3， nN *)成立 an是等差数列解答题中的证明问题通项公式法an pn q(p， q 为常数)对任意的正整数 n 都成立 an是等差数列前 n 项和公式法验证 Sn An2 Bn(A， B 是常数)对任意的正整数 n 都成立an是等差数列选择、填空题定中的判问题提醒 判断时易忽视定义中从第 2 项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证 a2 a1

19、 d 这一关键条件针对训练(2019沈阳模拟)已知 Sn是等差数列 an的前 n 项和， S22， S36.(1)求数列 an的通项公式和前 n 项和 Sn；(2)是否存在正整数 n，使 Sn， Sn2 2 n， Sn3 成等差数列？若存在，求出 n；若不存在，请说明理由解：(1)设数列 an的公差为 d，则Error!Error! an46( n1)106 n，Sn na1 d7 n3 n2.n n 12(2)由(1)知 Sn Sn3 7 n3 n27( n3)3( n3) 26 n24 n6，2(Sn2 2 n)2(3 n25 n22 n)6 n26 n4，若存在正整数 n 使得 Sn， Sn2 2 n， Sn3 成等差数列，则6 n24 n66 n26 n4，解得 n5，存在 n5，使 Sn， Sn2 2 n， Sn3 成等差数列9