（新课改省份专用）2020版高考数学一轮复习第六章数列第四节数列求和讲义（含解析）.doc

1、1第四节 数列求和题型一 分组转化法求和若数列的通项为分段函数或几个特殊数列通项的和或差的组合等形式，则求和时可用分组转化法，就是对原数列的通项进行分解，分别对每个新的数列进行求和后再相加减典例 (2019吉林调研)已知数列 an是等比数列， a11， a48， bn是等差数列，b13， b412.(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)设 cn an bn，求数列 cn的前 n 项和 Sn.解 (1)设数列 an的公比为 q，由 a4 a1q3得 81 q3，所以 q2，所以 an2 n1 .设 bn的公差为 d，由 b4 b13 d 得 1233 d，所以 d3，所以 bn3 n.(2

2、)因为数列 an的前 n 项和为 2 n1，数列 bn的前a1 1 qn1 q 1 1 2n1 2n 项和为 b1n d3 n 3 n2 n，n n 12 n n 12 32 32所以 Sn2 n1 n2 n.32 32方法技巧分组转化法求和的常见类型提醒 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论 针对训练(2018焦作四模)已知 an为等差数列，且 a23， an前 4 项的和为 16，数列 bn满足 b14， b488，且数列 bn an为等比数列(1)求数列 an和 bn an的通项公式；(2)求数列 bn的前 n

3、项和 Sn.解：(1)设 an的公差为 d，因为 a23， an前 4 项的和为 16，所以Error! 解得Error!所以 an1( n1)22 n1.设 bn an的公比为 q，则 b4 a4( b1 a1)q3，因为 b14， b488，2所以 q3 27，解得 q3，b4 a4b1 a1 88 74 1所以 bn an(41)3 n1 3 n.(2)由(1)得 bn3 n2 n1，所以 Sn(33 23 33 n)(1352 n1) (3n1) n23 1 3n1 3 n 1 2n 12 32 n2 .3n 12 32题型二 错位相减法求和如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比

4、数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的.典例 (2019南昌模拟)已知数列 an满足 n2 n.a12 a222 a323 an2n(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn. 1 nan2解 (1) n2 n，a12 a222 a323 an2n当 n2 时， ( n1) 2 n1，a12 a222 a323 an 12n 1两式相减得 2 n(n2)， an n2n1 (n2)an2n又当 n1 时， 11，a12 a14，满足 an n2n1 . an n2n1 .(2)

5、bn n(2) n， 1 nan2 Sn1(2) 12(2) 23(2) 3 n(2) n.2 Sn1(2) 22(2) 33(2) 4( n1)(2) n n(2) n1 ，两式相减得 3Sn(2)(2) 2(2) 3(2) 4(2) n n(2) n1 n(2) n1 n(2) n1 21 2 n1 2 2 n 1 23， 3n 1 2 n 1 23 Sn . 3n 1 2 n 1 29方法技巧错位相减法求和的策略3(1)如果数列 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列 bn的公比，然后作差求解(2)在写“ Sn”

6、与“ qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ Sn qSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1两种情况求解 针对训练1数列 ， ，的前 10 项之和为_123458716解析：因为 S10 ，12 34 58 19210所以 S10 . 12 14 38 17210 19211得 S10 12 12 (24 28 2210) 19211 12121 (12)91 12 19211 ，32 129 19211 3210 23211所以 S10 .3210 23210 3 0491 024答案：3 0491 02

7、42(2019临川一中质检)已知等差数列 an满足 a35，其前 6 项和为 36，等比数列bn的前 n 项和 Sn2 (nN *)12n 1(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)求数列 anbn的前 n 项和 Tn.解：(1)设等差数列 an的公差为 d，由已知得Error!解得Error!所以 an2 n1( nN *)对于数列 bn，因为 Sn2 ，所以当 n1 时， b1 S1211，12n 1当 n2 时， bn Sn Sn1 ，(212n 1) (2 12n 2) 12n 1综上所述， bn (nN *)12n 1(2)由(1)得 anbn ，2n 12n 14所以 Tn1

8、，321 522 2n 32n 2 2n 12n 1Tn ， 12 12 322 523 2n 32n 1 2n 12n得， Tn11 3 ，12 12 122 12n 2 2n 12n 2n 32n所以 Tn6 6 .4n 62n 2n 32n 1题型三 裂项相消法求和如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前 n 项和.典例 (2019湖南十三校联考)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2 an n.(1)证明：数列 an1是等比数列，并求数列 an的通项公式；(2)记 bn ，求数列

9、 bn的前 n 项和 Tn.1an 1 1anan 1解 (1)由 a1 S12 a11，得 a11，由 n2 时， an Sn Sn1 (2 an n)(2 an1 n1)，即 an2 an1 1，所以 an12( an1 1)( n2)，又 a112，所以数列 an1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an12 n， an2 n1.(2)由(1)知， bn 1an 1 1anan 1 an 1anan 1 ，2n 2n 1 2n 1 1 12n 1 12n 1 1则 Tn Error! Error!(1 13) (13 17) 12n 1 12n 1 11 .12n 1 1方法技

10、巧1用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项2几种常见的裂项方式数列( n 为正整数) 裂项方式5(k 为非零常数)1n n k 1n n k 1k(1n 1n k) 14n2 1 14n2 1 12( 12n 1 12n 1) 1n n 1 1n n 1 n 1 n(a0， a1)loga(11n)loga log a(n1)log an(11n)针对训练1(2019成都检测)在递减的等差数列 an中， a1a3 a 4.若 a113，则数列2的前 n

11、项和的最大值为( )1anan 1A. B24143 1143C. D2413 613解析：选 D 设等差数列 an的公差为 d，则 d0(nN *)，S6 a6是 S4 a4， S5 a5的等差中项(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog 12a2n1 ，数列 的前 n 项和为 Tn，求 Tn.2bnbn 1解：(1)因为 S6 a6是 S4 a4， S5 a5的等差中项，所以 2(S6 a6) S4 a4 S5 a5，所以 2S6 S4 S5 a4 a52 a6，化简得 4a6 a4，6设等比数列 an的公比为 q，则 q2 ，a6a4 14因为 an0，所以 q ，12又 a12，所以 an2 n1 n2 .(12) (12)(2)bnlog 2a2n1 log 122n3 2 n3，(12) ，2bnbn 1 2 2n 3 2n 1 12n 3 12n 1则 Tn111 .13 12n 3 12n 1 2n2n 17