（新课改省份专用）2020版高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布列第四节古典概型与几何概型讲义（含解析）.doc

1、1第四节 古典概型与几何概型突破点一 古典概型基 本 知 识 1基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等3古典概型的概率公式P(A) .A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽” ( )(2)掷一枚硬币两

2、次，出现“两个正面” “一正一反” “两个反面” ，这三个结果是等可能事件( )(3)从市场上出售的标准为 5005 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型( )(4)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 .( )13答案：(1) (2) (3) (4)二、填空题1从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为_答案：252若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为_2答案：9103袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中

3、 1 只白球，1 只红球，2 只黄球从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为_答案：56典例 (2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的 7 名同学分别用 A， B， C， D， E， F， G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概率解 (1)因为甲、乙、丙三个年级的学

4、生志愿者人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3人，2 人，2 人(2)从抽取的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 A， B， A， C，A， D， A， E， A， F， A， G， B， C， B， D， B， E， B， F， B， G， C， D，C， E， C， F， C， G， D， E， D， F， D， G， E， F， E， G， F， G，共 21种由，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A， B， C，来自乙年级的是D， E，来自丙年级的是 F， G，则从抽出的 7 名同学

5、中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为 A， B， A， C， B， C， D， E， F， G，共 5 种所以事件 M 发生的概率 P(M) .521方 法 技 巧 1求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A；(2)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m；(3)利用公式 P(A) ，求出事件 A 的概率mn2求基本事件个数的三种方法(1)列举法：把所有的基本事件一一列举出来，此方法适用于情况相对简单的试验题(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，3以及要求的事件所包含的基本

6、事件数(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段 针对训练1(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如 30723.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( )A. B.112 114C. D.115 118解析：选 C 不超过 30 的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有 C 45

7、 种情况，而和为 30 的有 723,1119,1317 这 3 种情况，210所求概率为 .故选 C.345 1152(2019大同一中月考)甲、乙两人玩一种游戏，在装有质地、大小完全相同，编号分别为 1,2,3,4,5,6 六个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢(1)求甲赢且编号和为 8 的事件发生的概率(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由解：(1)设“两个编号和为 8”为事件 A，则事件 A 包括的基本事件有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共 5 个又甲、乙两人取出的数字共有 6636

8、个等可能的结果，故 P(A) .536(2)这种游戏规则是公平的设甲赢为事件 B，乙赢为事件 C，由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共 18 个所以甲赢的概率 P(B) ，故乙赢的概率 P(C)1 P(B)，1836 12 12 12所以这种游戏规则是公平的突破点二 几何概型4基 本 知 识 1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)

9、成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性3几何概型的概率公式P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零( )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等( )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平

10、面图形、立体图形( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1已知球 O 内切于棱长为 2 的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为_答案：1 62已知四边形 ABCD 为长方形， AB2， BC1， O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为_答案：1 43已知函数 f(x)2 x(x0)，其值域为 D，在区间(1,2)上随机取一个数 x，则x D 的概率是_答案：13全 析 考 法 考法一 与长度、角度有关的几何概型 例 1 (1)(2019成都毕业班摸底)在区间4,1上随机地取一个实数 x，若 x 满足5|x| a 的

11、概率为 ，则实数 a 的值为( )45A. B112C2 D3(2)(2019福州四校联考)如图，在圆心角为 90的扇形 AOB 中，以圆心 O 为起点在 上任取一点 C 作射线 OC，则使得 AOC 和 BOC都不小于 30的概率是( )A. B.13 23C. D.12 16解析 (1)设集合 A x|x| a( a， a)(a0)，若 0 a1，则 A4,1，由几何概型的意义，得 P(A) ，解得 a2，不符合题意，若 a1，则 P(A)a a1 4 45 ，解得 a3，符合题意，故选 D.1 a1 4 45(2)记事件 T 是“作射线 OC，使得 AOC 和 BOC 都不小于 30”，

12、如图，记 的三等分点为 M， N，连接 OM， ON，则 AON BOM MON30，则符合条件的射线 OC 应落在扇形 MON 中，所以 P(T) ，故选 A. MON AOB 309013答案 (1)D (2)A方法技巧1与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解2与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段 考法二 与面积有关的几何概型 例 2 (1)(2019惠州调研)我国古代数学家赵爽在周髀算经一书中给出了勾股定理的绝妙证明如图是赵

13、爽的弦图弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用 2勾股(股勾) 24朱实黄实弦实弦 2，化简得：勾62股 2弦 2.设勾股形中勾股比为 1 ，若向弦图内随机抛掷 1 000 颗图钉(大小忽略不3计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )A866 B500C300 D134(2)(2019齐齐哈尔八中模拟)如图，四边形 ABCD 为正方形， G 为线段 BC 的中点，四边形 AEFG 与四边形 DGHI 也为正方形，连接 EB， CI，则向多边形 AEFGHID 中投掷一点，该

14、点落在阴影部分内的概率为( )A. B.13 25C. D.38 12解析 (1)设勾为 a，则股为 a，所以弦为 2a，小正方形的边长为 a a，所以题3 3图中大正方形的面积为 4a2，小正方形的面积为( 1) 2a2，所以小正方形与大正方形的面3积比为 1 ，所以落在黄色图形(小正方形 )内的图钉数大约为 3 1 24 32 (1 32)1 000134.(2)设正方形 ABCD 的边长为 1，则可求得 S 总 3， S 阴影 2 1 1，所以12 52 25所求概率为 P ，故选 A.13答案 (1)D (2)A方法技巧求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是

15、弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解 考法三 与体积有关的几何概型 例 3 (2019陕西部分学校摸底)在球 O 内任取一点 P，则点 P 在球 O 的内接正四面体中的概率是( )A. B.112 312C. D.239 36解析 设球 O 的半径为 R，球 O 的内接正四面体的棱长为 a，所以正四面体的高为2a，所以 R2 2 2，即 a2 R，所以正四面体的棱长为 ，底面面积233 (63a) (23a3 R) 3 26R37为 R R2，高为 ，所以正四面体的体积为 R3，又球 O 的体积为 12 26R3 2

16、233 4R3 8327R3，所以 P 点在球 O 的内接正四面体中的概率为 ，故选 C.43 239答案 C方法技巧求解与体积有关的几何概型的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求 集 训 冲 关 1. 已知函数 f(x) sin x3cos x，当 x0，时， f(x) 的概率为考 法 一 3 3( )A. B.13 12C. D.15 14解析：选 B f(x) sin x3cos x2 sin ，3 3 (x 3) x0， x ，令 f(x) ， 3 3， 43 3得 sin ，得 x ，0

17、 x ，(x 3) 12 3 3 56 2 f(x) 的概率为 .3122. 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方考 法 三 体 ABCDA1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_解析：正方体的体积为 2228，以 O 为球心，1 为半径且在正方体内部的半球的体积为 r3 1 3 ，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为：1 112 43 12 43 23 238.12答案：1123. 某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投考 法 二 针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为_8解析：设正三角形的边长为 a，圆的半径为 R，则正三角形的面积为 a2.34由正弦定理得 2R ，即 R a.所以圆的面积 S R2 a2.asin 60 33 13由几何概型的概率计算公式得概率 P .34a213 a2 334答案：3349