1、1【课时训练】导数与函数的综合问题一、选择题1(2018 江苏丹阳高中模拟)某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总营业收入 R 与年产量 x 的年关系是 R R(x)Error! 则总利润最大时，年产量是( )A100 B150C200 D300【答案】D【解析】由题意，得设总成本函数为 C C(x)20 000100 x，总利润 P(x)Error!又 P( x)Error!令 P( x)0，得 x300，易知 x300 时，总利润 P(x)最大2(2018 海南中学期末)设 f(x)是定义在 R 内的奇函数，且 f(2)0，当 x0
2、 时，有0 的解集是( )xf x f xx2A(2,0)(2，) B(2,0)(0,2)C(，2)(2，) D(，2)(0,2)【答案】D【解析】当 x0 时， 0，此时 x2f(x)0.又 f(x)为奇函数， h(x) x2f(x)也为奇函数故 x2f(x)0 的解集为(，2)(0,2)3(2018 河北故城模拟)若关于 x 的不等式 x33 x29 x2 m 对任意 x2,2恒成立，则 m 的取值范围是( )A(，7 B(，20C(，0 D12,7【答案】B【解析】令 f(x) x33 x29 x2，则 f ( x)3 x26 x9，令 f ( x)0，得x1 或 x3(舍去) f(1)
3、7， f(2)0， f(2)20， f(x)的最小值为 f(2)20.故 m20.4(2018 贵阳联考)已知函数 f(x)的定义域为1,4，部分对应值如下表：x 1 0 2 3 4f(x) 1 2 0 2 0f(x)的导函数 y f ( x)的图象如图所示当 1ex2 的解集为( )A(，1) B(1，)C(2，) D(，2)【答案】D【解析】设函数 g(x) ，则 g( x) ex2 可转化为 .f xex 1e2 g(2) ， ，f 2e2 1e2 f xex f 2e2 x2， x(，2)故选 D.二、填空题6(2018 襄阳四校联考)某品牌电动汽车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系
4、y x3 x240 x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_13 392【答案】40【解析】由 y x239 x400，得 x1 或 x40，由于当 040 时， y0.所以当 x40 时， y 有最小值7(2018 长沙调研)定义域为 R 的可导函数 y f(x)的导函数为 f ( x)，满足 f(x)f 3( x)，且 f(0)1，则不等式 0.所以不等式的解集为f 0e0 f xex(0，)三、解答题8(2018 昆明一中月考)已知函数 f(x)ln x . x 1 22(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)证明：当 x1 时， f(x)0，得Error!解得 01 时， F(x
5、)1 时， f(x)1 时， f(x)0 时，解不等式 f(x)0；(2)当 a0 时，求整数 t 的所有值，使方程 f(x) x2 在 t， t1上有解【解】(1)因为 ex0，( ax2 x)ex0，所以 ax2 x0.又因为 a0，所以不等式化为 x0.所以不等式 f(x)0 的解集为 .(x1a) 1a， 0(2)当 a0 时，方程即为 xex x2，由于 ex0，所以 x0 不是方程的解所以原方程等价于 ex 10.令 h(x)e x 1，2x 2x因为 h( x)e x 0 对于 x(，0)(0，)恒成立，2x2所以 h(x)在(，0)和(0，)内是单调递增函数4又 h(1)e30，h(3)e 3 0，13所以方程 f(x) x2 有且只有两个实数根且分别在区间1,2和3，2上所以整数 t 的所有值为3,1
