【工程类职业资格】注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）-试卷12及答案解析.doc

1、注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）-试卷 12 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.单项选择题共 120 题，每题。每题的备选项中只有一个最符合题意。（分数：2.00）_2.级数 a n 收敛是 （分数：2.00）A.充分条件，但非必要条件B.必要条件，但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件，又非必要条件3.正项级数 a n 收敛是级数 （分数：2.00）A.充分条件，但非必要条件B.必要条件，但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件，又非必要条件4.下列级数中，发散的级数是哪一个？ （分数：2.00）A.B

2、C.D.5.若级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性不能确定6.幂级数 x n 一 （分数：2.00）A.xsinxB.C.xln(1x)D.xln(1+x)7.级数 （1） n x n 在|x|1 内收敛于函数： （分数：2.00）A.B.C.D.8.微分方程 y“+2y0 的通解是：（分数：2.00）A.yAsin2xB.yAcosxC.D.9.微分方程 ydx+(xy)dy0 的通解是：（C 为任意常数） （分数：2.00）A.B.C.D.10.微分方程(3+2y)xdx+(1+x 2 )dy0 的通解为：（C 为任意常数）（分数：2.00）A.1+x 2

3、CyB.(1+x 2 )(3+2y)CC.(3+2y) 2 D.(1+x 2 ) 2 (3+2y)C11.微分方程 y“+ay 2 0 满足条件 y| x0 0，y | x0 1 的特解是： （分数：2.00）A.B.C.D.12.微分方程(1+2y) xdx+(1+x 2 )dy 的通解为：（以上各式中，C 为任意常数）（分数：2.00）A.B.(1+x 2 )(1+2y)CC.(1+2y) 2 D.(1+x 2 ) 2 (1+2y)C13.微分方程 y“(y) 2 的通解是：（以上各式中，C 1 、C 2 为任意常数）（分数：2.00）A.lnx+CB.ln(x+C)C.C 2 +ln|x

4、C 1 |D.C 2 ln|x+C 1 |14.下列函数中不是方程 y“2y+y0 的解的函数是：（分数：2.00）A.x 2 e xB.e xC.xe xD.(x+2)e x15.微分方程 cos ydx+（1+e x ）sinydy0 满足初始条件 y| x0 （分数：2.00）A.cosy B.cosy1+e xC.cosy4(1+e x )D.cos 2 y1+e x16.微分方程 y“x+sinx 的通解是：（C 1 、C 2 为任意常数） （分数：2.00）A.B.C.D.17.微分方程 y“4y4 的通解是：（C 1 、C 2 为任意常数）（分数：2.00）A.C 1 e 2x

5、 C 2 e 2x +1B.C 1 e 2x +C 2 e 2x 1C.e 2x e 2x +1D.C 1 e 2x +C 2 e 2x 218.微分方程(1+y) dx（1x）dy0 的通解是：（C 为任意常数）（分数：2.00）A.B.1+yC（1 一 x） 2C.（1 一 x）(1+y)CD.19.微分方程 y+ 2 满足初始条件 y| x1 0 的特解是： （分数：2.00）A.B.C.D.20.微分方程 y“+2y0 的通解是：（A，B 为任意常数） （分数：2.00）A.B.C.D.21.方程 yp(x)y 的通解是：（分数：2.00）A.ye p(x)dx +CB.ye p(x)

6、dx +CC.yCe p(x)dxD.yCe p(x)dx22.已知一阶微分方程 ，问该方程的通解是下列函数中的哪个？ （分数：2.00）A.B.C.D.23.微分方程 y“6y+9y0，在初始条件 y| x0 2，y| x0 0 下的特解为：（分数：2.00）A.B.C.2xD.2xe 3x24.函数 yC 1 （其中 C 1 、C 2 是任意常数）是微分方程 （分数：2.00）A.通解B.特解C.不是解D.是解，但不是通解也不是特解25.微分方程 ydx+（y 2 x e y ）dy0 是下述哪种方程？（分数：2.00）A.可分离变量方程B.一阶线性的微分方程C.全微分方程D.齐次方程26

7、下列一阶微分方程中，哪一个是一阶线性方程？（分数：2.00）A.(xe y 2y)dy+e y dx0B.xy+ye x+yC.D.27.若 y 2 (x)是线性非齐次方程 y+P(x)yQ(x)的解，y 1 (x)是对应的齐次方程 y+P(x)y0 的解，则下列函数中哪一个是 y+P(x)yQ(x)的解？（分数：2.00）A.yCy 1 (x)+y 2 (x)B.yy 1 (x) +C 2 y 2 (x)C.yCy 1 (x)+y 2 (x)D.yC 1 y(x)y 1 (x)28.若 y 1 (x)是线性非齐次方程 y+P(x)yQ(x)的一个特解，则该方程的通解是下列中哪一个方程？（分

8、数：2.00）A.yy 1 (x)+e P(x)dxB.yy 1 (x)+Ce P(x)dxC.yy 1 (x)+e P(x)dx +CD.yy 1 (x)+Ce P(x)dx29.满足方程 F(x)+2 0 x f(x)dxx 2 的解 f(x)是： （分数：2.00）A.B.C.D.30.设 f(x)、f(x)为已知的连续函数，则微分方程 y+f(x)yf(x)f(x)的通解是：（分数：2.00）A.yf(x)+Ce f(x)B.yf(x)e f(x) e f(x) +CC.yf(x)1+Ce f(x)D.yf(x)1+Ce f(x)注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）-试卷 12

9、答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.单项选择题共 120 题，每题。每题的备选项中只有一个最符合题意。（分数：2.00）_解析：2.级数 a n 收敛是 （分数：2.00）A.充分条件，但非必要条件 B.必要条件，但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件，又非必要条件解析：解析：级数收敛的必要条件 3.正项级数 a n 收敛是级数 （分数：2.00）A.充分条件，但非必要条件 B.必要条件，但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件，又非必要条件解析：解析：利用正项级数比较判别法极限形式判定： 4.下列级数中，发散的级数是

10、哪一个？ （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：利用级数敛散性判定法可断定 A、B、C 式收敛，D 式 5.若级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性不能确定解析：解析：设 x2z，级数化为 6.幂级数 x n 一 （分数：2.00）A.xsinxB.C.xln(1x)D.xln(1+x) 解析：解析：利用 ln(1+x)的展开式，即7.级数 （1） n x n 在|x|1 内收敛于函数： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：级数 (1) n x n 1 一 x+x 2 x 3 +为等比级数，公比 qx，|q|x|1，由 S 代入数据计算得本题

11、 S 8.微分方程 y“+2y0 的通解是：（分数：2.00）A.yAsin2xB.yAcosxC.D. 解析：解析：写出微分方程对应的特征方程 r 2 +20，得 r ，即 0， ，写出通解 9.微分方程 ydx+(xy)dy0 的通解是：（C 为任意常数） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：将微分方程化成 1，方程为一阶线性方程。 其中 P(y) ，Q(y)1 代入求通解公式 xe P(y)dy (y) e P(y)dx dy+C 计算如下： 变形得 或将方程化为齐次方程 10.微分方程(3+2y)xdx+(1+x 2 )dy0 的通解为：（C 为任意常数）（分数：2.00）

12、A.1+x 2 CyB.(1+x 2 )(3+2y)C C.(3+2y) 2 D.(1+x 2 ) 2 (3+2y)C解析：解析：方程的类型为可分离变量方程，将方程分离变量得 两边积分： 11.微分方程 y“+ay 2 0 满足条件 y| x0 0，y | x0 1 的特解是： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题为可降阶的高阶微分方程，按不显含变量 x 计算。设 yP，y“P，方程化为 P+aP 2 0， aP 2 ，分离变量， dPadx，积分得 ax+C 1 ，代入初始条件x0，Py1，得 C 1 1，即 ax+1，P ，求出通解，代入初始条件，求出特解。即 y |a 1

13、 1|+C，代入初始条件 x0，y0，得 C0。 故特解为 12.微分方程(1+2y) xdx+(1+x 2 )dy 的通解为：（以上各式中，C 为任意常数）（分数：2.00）A.B.(1+x 2 )(1+2y)C C.(1+2y) 2 D.(1+x 2 ) 2 (1+2y)C解析：解析：方程为一阶可分离变量方程，分离变量后求解。 (1+2y)xdx+ (1+x 2 )dy0 13.微分方程 y“(y) 2 的通解是：（以上各式中，C 1 、C 2 为任意常数）（分数：2.00）A.lnx+CB.ln(x+C)C.C 2 +ln|x+C 1 |D.C 2 ln|x+C 1 | 解析：解析：此题

14、为可降阶的高阶微分方程，按方程不显含变量 y 计算。 设 yp，y“p，则方程为pp 2 ， 14.下列函数中不是方程 y“2y+y0 的解的函数是：（分数：2.00）A.x 2 e x B.e xC.xe xD.(x+2)e x解析：解析：方法 1：方程为二阶常系数线性齐次方程，对应特征方程为 r 2 2r+10，r1（二重根）。 通解 y(C 1 +C 2 x)e x （其中 C 1 ，C 2 为任意常数） 令 C 1 ，C 2 为一些特殊值，可验证选项B、C、D 均为方程的解。C 1 ，C 2 无论取何值均得不出选项 A，所以 A 不满足。 方法 2：把选项 A 设为函数，即 yx 2

15、e x ，对函数 y，求 y、y“后代入方程 y“2y+y0，不满足微分方程，因此 A 不满足。15.微分方程 cos ydx+（1+e x ）sinydy0 满足初始条件 y| x0 （分数：2.00）A.cosy B.cosy1+e xC.cosy4(1+e x )D.cos 2 y1+e x解析：解析：本题为一阶可分离变量方程，分离变量后两边积分求解。 cosydx+ (1+e x )sinydy0 代入初始条件 x0，y ，得 C4 因此 49 即 cosy 16.微分方程 y“x+sinx 的通解是：（C 1 、C 2 为任意常数） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本

16、题为可降阶的高阶微分方程，连续积分二次，得通解。 y“x+sinx，y(x+ sinx) dx x 2 cosx+C 1 ，y( x 2 cosx+C 1 )dx 17.微分方程 y“4y4 的通解是：（C 1 、C 2 为任意常数）（分数：2.00）A.C 1 e 2x C 2 e 2x +1B.C 1 e 2x +C 2 e 2x 1 C.e 2x e 2x +1D.C 1 e 2x +C 2 e 2x 2解析：解析：本题为二阶常系数线性非齐次方程。 非齐次通解 y齐次的通解 y+非齐次一个特解 y * ，y“4y0，特征方程 r 2 40，r2。齐次通解为 yC 1 e 2x +C 2

17、e 2x 。 将 y * 1 代入非齐次方程，满足方程，为非齐次特解。 故通解 yC 1 e 2x +C 2 e 2x 118.微分方程(1+y) dx（1x）dy0 的通解是：（C 为任意常数）（分数：2.00）A.B.1+yC（1 一 x） 2C.（1 一 x）(1+y)C D.解析：解析：此题为一阶可分离变量方程，分离变量后，两边积分。 微分方程(1+y)dx（1x）dy0，19.微分方程 y+ 2 满足初始条件 y| x1 0 的特解是： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：此题为一阶线性微分方程，直接代入公式计算，设方程为 y+p(x)yQ(x)，则通解 ye p(x)d

18、x Q(x)e p(x)dx dx+C，本题 p(x) ，Q(x)2，代入公式： 代入初始条件，当x1，y0，即 0 (1+C)，得 C1，故 yx 20.微分方程 y“+2y0 的通解是：（A，B 为任意常数） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题为二阶常系数线性齐次方程求通解，写出方程对应的特征方程 r 2 +20， 21.方程 yp(x)y 的通解是：（分数：2.00）A.ye p(x)dx +CB.ye p(x)dx +CC.yCe p(x)dxD.yCe p(x)dx 解析：解析：方程 yp(x)y 为一阶可分离变量方程。 分离度量， 22.已知一阶微分方程 ，问该方

19、程的通解是下列函数中的哪个？ （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：方程 是一阶齐次方程，设 ，化为可分离变量方程： ln(lnu 1）lnx+lnC，lnu1Cx，lnu Cx+1，即23.微分方程 y“6y+9y0，在初始条件 y| x0 2，y| x0 0 下的特解为：（分数：2.00）A.B.C.2xD.2xe 3x 解析：解析：先求出二阶常系数齐次方程的通解，代入初始条件，求出通解中的 C 1 ，C 2 值，得特解，即 y“ 6y+ 9y0，r 2 6r+90，r 1 r 2 3，y(C 1 +C 2 x)e 3x 。 当 x0，y0，代入得C 1 0，即 yC 2 xe

20、3x 。 由 yC 2 (e 3x + 3xe 3x )C 2 e 3x (1+3x)，当 x0，y2，代入得 C 2 2，则 y2xe 3x 。24.函数 yC 1 （其中 C 1 、C 2 是任意常数）是微分方程 （分数：2.00）A.通解B.特解C.不是解D.是解，但不是通解也不是特解 解析：解析：yC 1 25.微分方程 ydx+（y 2 x e y ）dy0 是下述哪种方程？（分数：2.00）A.可分离变量方程B.一阶线性的微分方程 C.全微分方程D.齐次方程解析：解析：方程可化为 z+P(y)xQ(y)的形式 ydx+(y 2 x 一 e y )dy0， 26.下列一阶微分方程中，

21、哪一个是一阶线性方程？（分数：2.00）A.(xe y 2y)dy+e y dx0 B.xy+ye x+yC.D.解析：解析：把一阶方程化为 x+P(y)xQ（y）的形式（xe y 2y）dy+e y dx0，整理得 xe y 2y+e y 27.若 y 2 (x)是线性非齐次方程 y+P(x)yQ(x)的解，y 1 (x)是对应的齐次方程 y+P(x)y0 的解，则下列函数中哪一个是 y+P(x)yQ(x)的解？（分数：2.00）A.yCy 1 (x)+y 2 (x) B.yy 1 (x) +C 2 y 2 (x)C.yCy 1 (x)+y 2 (x)D.yC 1 y(x)y 1 (x)解析

22、解析：由一阶线性非齐次方程通解的结构确定，即由对应齐次方程的通解加上非齐次的一特解组成。28.若 y 1 (x)是线性非齐次方程 y+P(x)yQ(x)的一个特解，则该方程的通解是下列中哪一个方程？（分数：2.00）A.yy 1 (x)+e P(x)dxB.yy 1 (x)+Ce P(x)dx C.yy 1 (x)+e P(x)dx +CD.yy 1 (x)+Ce P(x)dx解析：解析：非齐次方程的通解是由齐次方程的通解加非齐次方程的特解构成，令 Q(x)0，求对应齐次方程 y+p(x)y0 的通解。 29.满足方程 F(x)+2 0 x f(x)dxx 2 的解 f(x)是： （分数：2

23、00）A.B.C. D.解析：解析：对方程两边求导，得一阶线性方程 f(x)+2f(x)2x，求通解。30.设 f(x)、f(x)为已知的连续函数，则微分方程 y+f(x)yf(x)f(x)的通解是：（分数：2.00）A.yf(x)+Ce f(x)B.yf(x)e f(x) e f(x) +CC.yf(x)1+Ce f(x) D.yf(x)1+Ce f(x)解析：解析：对关于 y、y的一阶线性方程求通解。其中 P(x)f(x)、Q(x)f(x)f(x)，利用公式ye p(x)dx Q(x)e p(x)dx dx+C求通解，即 y p(x)dx f(x)f(x) p(x)dx dx+Ce f(x) f(x)f(x)e f(x) dx+Ce f(x) f(x)e f(x) df(x)+Ce f(x) f(x)de f(x) +Ce f(x) f(x)e f(x) 一e f(x) f(x)dx+Ce f(x) f(x)e f(x) 一 e f(x) +Cf(x)1+Ce f(x) 。