【工程类职业资格】注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）-试卷13及答案解析.doc

1、注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）-试卷 13 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.单项选择题共 120 题，每题。每题的备选项中只有一个最符合题意。（分数：2.00）_2.设 f 1 (x)和 f 2 (x)为二阶常系数线性齐次微分方程 y“+py+q0 的两个特解，若由 f 1 (x)和 f 2 (x)能构成该方程的通解，下列哪个方程是其充分条件？（分数：2.00）A.f 1 (x) f 2 (x)f 2 (x) f 1 (x)0B.f 1 (x) f 2 (x)f 2 (x) f 1 (x)0C.f 1 (x)

2、f 2 (x)+f 2 (x) f 1 (x)0D.f 1 (x) f 2 (x)+f 2 (x) f 1 (x)03.已知 r 1 3，r 2 3 是方程 y“+py+qy0（p 和 q 是常数）的特征方程的两个根，则该微分方程是下列中哪个方程？（分数：2.00）A.y“+9y0B.y“9y0C.y“+9y0D.y“9y04.设线性无关函数 y 1 、y 2 、y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+P(x)y+Q(x)yf(x)的解，C 1 、C 2 是待定常数。则此方程的通解是：（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 (C 1

3、C 3 ) y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 (1 C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 + ( 1 C 1 C 2 ) y 35.已知 y 1 (x)与 y 2 (x)是方程 y“+P(x)y+Q(x)y0 的两个线性无关的特解，Y 1 (x)和 Y 2 (x)分别是方程 y“+P(x)y+Q(x)yR 1 (x)和 y“+P(x)y+Q(x)yR 2 (x)的特解。那么方程 y“+P(x)y+Q(x)yR 1 (x)+R 2 (x)的通解应是：（分数：2.00）A.C 1 Y 1 +C 2 y 2B.C 1 Y 1 (x)+C 2 Y 2 (X)C.C

4、1 y 1 +C 2 y 2 +Y 1 (x)D.C 1 Y 1 +C 2 y 2 +Y 1 (x)+Y 2 (x)6.微分方程(1+y)dx(1x)dy0 的通解是：（C 为任意常数）（分数：2.00）A.B.1+yC(1x) 2C.(1 一 x)(1+y)CD.7.微分方程 y“4y6 的通解是：（C 1 ，C 2 为任意常数）（分数：2.00）A.C 1 e 2x C 2 e 2x + B.C 1 e 2x +C 2 e 2x C.e 2x e 2x +1D.C 1 e 2x + C 2 e 2x 一 28.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，行列式 （分数：2.00）A.|A|

5、B|B.|A|B|C.(1) m+n |A|B|D.(1) mn |A|B|9.设 A 是 3 阶矩阵，矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行，得矩阵 B，则下列选项中成立的是：（分数：2.00）A.B 的第 1 行的2 倍加到第 2 行得 AB.B 的第 1 列的2 倍加到第 2 列得 AC.B 的第 2 行的2 倍加到第 1 行得 AD.B 的第 2 列的2 倍加到第 1 列得 A10.已知三维列向量 ， 满足 T 3，设 3 阶矩阵 A T ，则：（分数：2.00）A. 是 A 的属于特征值 0 的特征向量B. 是 A 的属于特征值 0 的特征向量C. 是 A 的属于特征值 3

6、的特征向量D. 是 A 的属于特征值 3 的特征向量11.设齐次线性方程组 （分数：2.00）A.2 或 3B.2 或 3C.2 或3D.2 或312.设 1 ， 2 ， 3 是三维列向量，|A| 1 ， 2 ， 3 |，则与|A|相等的是：（分数：2.00）A.| 2 ， 1 ， 3 |B.| 2 ， 3 ， 1 |C.| 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 |D.| 1 ， 2 ， 3 + 2 + 1 |13.设 A 是 mn 的非零矩阵，B 是 nl 非零矩阵，满足 AB0，以下选项中不一定成立的是：（分数：2.00）A.A 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关C.B 的

7、行向量组线性相关D.r(A)+r(B)n14.设 A 是 3 阶实对称矩阵，P 是 3 阶可逆矩阵，BP 1 AP，已知 是 A 的属于特征值 的特征向量，则 B 的属于特征值 的特征向量是：（分数：2.00）A.PB.P 1 C.P T D.（P1） T 15.设 ，与 A 合同的矩阵是： （分数：2.00）A.B.C.D.16.已知矩阵 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.317.设 是 n 维向量，已知 线性无关， 可以由 线性表示， 不能由 线性表示，则以下选项中正确的是： （分数：2.00）A.B.C.D.18.设 1 ， 2 是矩阵 A 的 2 个不同的特征值， 是 A 的分别

8、属于 1 ， 2 的特征向量，则以下选项中正确的是：（分数：2.00）A.对任意的 k 1 0 和 k 2 0，k 1 +k 2 都是 A 的特征向量B.存在常数 k 1 0 和 k 2 0，使得 k 1 +k 2 是 A 的特征向量C.存在任意的 k 1 0 和 k 2 0，k 1 +k 2 都不是 A 的特征向量D.仅当 k 1 k 2 0 时，k 1 +k 2 是 A 的特征向量19.设行列式 （分数：2.00）A.2B.2C.1D.120.设 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.与 的取值有关21.设 1 ， 2 是线性方程组 Axb 的两个不同的解， 1 ， 2 是导出组 Ax0

9、 的基础解系，k 1 、k 2 是任意常数，则 Axb 的通解是：（分数：2.00）A.B. 1 +k 1 （ 1 2 ）+k 2 （ 1 2 ）C.D.22.设 A，B 是 n 阶矩阵，且 B0，满足 AB0，则以下选项中错误的是：（分数：2.00）A.r(A)+r(B)nB.|A|0 或|B|0C.0r(A)nD.A023.设 B 是三阶非零矩阵，已知 B 的每一列都是方程组 （分数：2.00）A.0B.2C.1D.124.设 A 是三阶矩阵， 1 (1，0，1) T ， 2 (1，1，0) T 是 A 的属于特征值 1 的特征向量， 3 (0，1，2) T 是 A 的属于特征值1 的特征

10、向量，则：（分数：2.00）A. 1 2 是 A 的属于特征值 1 的特征向量B. 1 3 是 A 的属于特征值 1 的特征向量C. 1 3 是 A 的属于特征值 2 的特征向量D. 1 + 2 + 3 是 A 的属于特征值 1 的特征向量25.设 A 和 B 都是 n 阶方阵，已知|A|2，|B|3，则|BA 1 |等于：（分数：2.00）A.B.C.6D.526.设 （分数：2.00）A.nB.0C.1D.227.设 A 为矩阵， 1 都是线性方程组 Ax0 的解，则矩阵 A 为： （分数：2.00）A.B.C.D.28.设 （分数：2.00）A.24B.36C.12D.4829.已知行列

11、式 （分数：2.00）A.abB.0C.adD.bd30.设 （分数：2.00）A.1B.1C.0D.2注册岩土工程师（基础考试-上午-高等数学）-试卷 13 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.单项选择题共 120 题，每题。每题的备选项中只有一个最符合题意。（分数：2.00）_解析：2.设 f 1 (x)和 f 2 (x)为二阶常系数线性齐次微分方程 y“+py+q0 的两个特解，若由 f 1 (x)和 f 2 (x)能构成该方程的通解，下列哪个方程是其充分条件？（分数：2.00）A.f 1 (x) f 2 (x)f 2 (

12、x) f 1 (x)0B.f 1 (x) f 2 (x)f 2 (x) f 1 (x)0 C.f 1 (x) f 2 (x)+f 2 (x) f 1 (x)0D.f 1 (x) f 2 (x)+f 2 (x) f 1 (x)0解析：解析：二阶线性齐次方程通解的结构要求 f 1 (x)，f 2 (x)线性无关，即 常数，两边求导 3.已知 r 1 3，r 2 3 是方程 y“+py+qy0（p 和 q 是常数）的特征方程的两个根，则该微分方程是下列中哪个方程？（分数：2.00）A.y“+9y0B.y“9y0C.y“+9y0D.y“9y0 解析：解析：利用 r 1 3，r 2 3 写出对应的特征方

13、程。（r3）(r+3)0，得到 r 2 90，即y“9y0。4.设线性无关函数 y 1 、y 2 、y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+P(x)y+Q(x)yf(x)的解，C 1 、C 2 是待定常数。则此方程的通解是：（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 1 +C 2 y 2 (C 1 +C 3 ) y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 (1 C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 + ( 1 C 1 C 2 ) y 3 解析：解析：方程通解 yC 1 (y 1 y 3 )+C 2 （y 2 y 3 ）+y 3 ，整理

14、yC 1 y 1 +C 2 y 2 +（1C 1 C 2 ）y 3 。其中，y 1 y 3 、y 2 y 3 为对应齐次方程的两个线性无关的解，y 3 为非齐次方程的特解。5.已知 y 1 (x)与 y 2 (x)是方程 y“+P(x)y+Q(x)y0 的两个线性无关的特解，Y 1 (x)和 Y 2 (x)分别是方程 y“+P(x)y+Q(x)yR 1 (x)和 y“+P(x)y+Q(x)yR 2 (x)的特解。那么方程 y“+P(x)y+Q(x)yR 1 (x)+R 2 (x)的通解应是：（分数：2.00）A.C 1 Y 1 +C 2 y 2B.C 1 Y 1 (x)+C 2 Y 2 (X)

15、C.C 1 y 1 +C 2 y 2 +Y 1 (x)D.C 1 Y 1 +C 2 y 2 +Y 1 (x)+Y 2 (x) 解析：解析：按二阶线性非齐次方程通解的结构，写出对应二阶线性齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解，得到非齐次方程的通解，yC 1 y 1 +C 2 y 2 +y 1 (x)+y 2 (x)。其中，y 1 (x)+ y 2 (x)为方程y“+ P(x)y+Q(x)yR 1 (x)+R 2 (x)的一个特解。6.微分方程(1+y)dx(1x)dy0 的通解是：（C 为任意常数）（分数：2.00）A.B.1+yC(1x) 2C.(1 一 x)(1+y)C D.解析：解析：变量

16、分离：(1+y)dx（1x）dy，7.微分方程 y“4y6 的通解是：（C 1 ，C 2 为任意常数）（分数：2.00）A.C 1 e 2x C 2 e 2x + B.C 1 e 2x +C 2 e 2x C.e 2x e 2x +1D.C 1 e 2x + C 2 e 2x 一 2解析：解析：求对应齐次方程通解。r 2 40，r2，通解 yC 1 e 2x +C2e 2x 。 把 y 代入方程检验，得非齐次特解 y * 。 非齐次通解齐次通解十非齐次一个特解。故方程通解 yC 1 e 2x + C 2 e 2x 8.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，行列式 （分数：2.00）A.|

17、A|B|B.|A|B|C.(1) m+n |A|B|D.(1) mn |A|B| 解析：解析：将分块矩阵行列式变形为 的形式。 利用分块矩阵行列式计算公式 将矩阵B 的第一行与矩阵 A 的行互换，换的方法是从矩阵 A 最下面一行开始换，逐行往上换，换到第一行一共换了 m 次，行列式更换符号（1） m 。再将矩阵 B 的第二行与矩阵 A 的各行互换，换到第二行，又更换符号为（1） m ，最后再将矩阵 B 的最后一行与矩阵 A 的各行互换到矩阵的第 n 行位置，这样原矩阵行列式 9.设 A 是 3 阶矩阵，矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行，得矩阵 B，则下列选项中成立的是：（分数：2

18、00）A.B 的第 1 行的2 倍加到第 2 行得 A B.B 的第 1 列的2 倍加到第 2 列得 AC.B 的第 2 行的2 倍加到第 1 行得 AD.B 的第 2 列的2 倍加到第 1 列得 A解析：解析：由题目给出的运算写出相应矩阵，再验证还原到原矩阵时应用哪一种运算方法。10.已知三维列向量 ， 满足 T 3，设 3 阶矩阵 A T ，则：（分数：2.00）A. 是 A 的属于特征值 0 的特征向量B. 是 A 的属于特征值 0 的特征向量C. 是 A 的属于特征值 3 的特征向量 D. 是 A 的属于特征值 3 的特征向量解析：解析：通过矩阵的特征值、特征向量的定义判定。只要满足

19、式子 Axx，非零向量 x 即为矩阵 A对应特征值 的特征向量。 再利用题目给出的条件： T 3 A T 将等式两边右乘，得 A T ，变形 A( T )，代入式得 A3，故 A3 成立。11.设齐次线性方程组 （分数：2.00）A.2 或 3 B.2 或 3C.2 或3D.2 或3解析：解析：齐次线性方程组，当变量的个数与方程的个数相同时，方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零。即 12.设 1 ， 2 ， 3 是三维列向量，|A| 1 ， 2 ， 3 |，则与|A|相等的是：（分数：2.00）A.| 2 ， 1 ， 3 |B.| 2 ， 3 ， 1 |C.| 1 + 2 ， 2 + 3

20、 3 + 1 |D.| 1 ， 2 ， 3 + 2 + 1 | 解析：解析：利用行列式的运算性质变形、化简。 A 项：| 2 ， 1 ， 3 | | 1 ， 2 ， 3 |，错误。 B 项：| 2 ， 3 ， 1 |（1） 3 | 2 ， 3 ， 1 | （1） 3 （一 1）| 1 ， 2 ， 3 | (1) 3 （一 1）（1）| 1 ， 2 ， 3 | | 1 ， 2 ， 3 |，错误。 C 项：| 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 | 1 ， 2 + 3 ， 3 + 1 |+| 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 | 1 ， 2 + 3 ， 3 |+| 1 ， 2 + 3

21、 1 |+| 2 ， 2 ， 3 + 1 |+| 2 ， 3 ， 3 + 1 | 1 ， 2 + 3 ， 3 |+| 2 ， 3 ， 3 + 1 | 1 ， 2 ， 3 |+| 2 ， 3 ， 1 | 1 ， 2 ， 3 |+| 1 ， 2 ， 3 |2 | 1 ， 2 ， 3 |，错误。 D 项：| 1 ， 2 ， 3 + 2 + 1 | | 1 ， 2 ， 3 + 2 | 13.设 A 是 mn 的非零矩阵，B 是 nl 非零矩阵，满足 AB0，以下选项中不一定成立的是：（分数：2.00）A.A 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关C.B 的行向量组线性相关D.r(A)+r(B

22、)n解析：解析：A、B 为非零矩阵且 AB0，由矩阵秩的性质可知 r(A)+r(B)n，而 A、B 为非零矩阵，则r(A)1，r(B)1，又因 r(A)n，r(B)n，则由 1r(A)n，知 A mn 的列向量相关，1r(B)n，B nl 的行向量相关，从而选项 B、C、D 均成立。14.设 A 是 3 阶实对称矩阵，P 是 3 阶可逆矩阵，BP 1 AP，已知 是 A 的属于特征值 的特征向量，则 B 的属于特征值 的特征向量是：（分数：2.00）A.PB.P 1 C.P T D.（P1） T 解析：解析：利用矩阵的特征值、特征向量的定义判定，即问满足式子 Bxx 中的 x 是什么向量？已知

23、 是 A 属于特征值 的特征向量，故： A 将已知式子 BP 1 AP 两边，左乘矩阵 P，右乘矩阵 P 1 ，得 PBP 1 PP 1 APP 1 ，化简为 PBP 1 A，即： APBP 1 将式代入式，得： PBP 1 将式两边左乘 P 1 ，得 BP 1 P 1 ，即 B（P 1 ）（P 1 ），成立。15.设 ，与 A 合同的矩阵是： （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由合同矩阵定义知，若存在一个可逆矩阵 C，使 C T ACB，则称 A 合同于 B。 取 ，|C|10，C 可逆，可验证 C T AC 16.已知矩阵 （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解

24、析：可以利用矩阵秩的定义验证。 三阶行列式 0，二阶行列式17.设 是 n 维向量，已知 线性无关， 可以由 线性表示， 不能由 线性表示，则以下选项中正确的是： （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：已知 线性无关， 可以由 线性表示。故 线性相关，可推出 也相关。所以选项 A、B 错误。 选项 C、D 其中有一个错误，用反证法。 设 相关，由已知条件 线性无关，而 线性相关，则 线性表示，与已知条件 不能由 线性表示矛盾。 所以18.设 1 ， 2 是矩阵 A 的 2 个不同的特征值， 是 A 的分别属于 1 ， 2 的特征向量，则以下选项中正确的是：（分数：2.00）A.对任意

25、的 k 1 0 和 k 2 0，k 1 +k 2 都是 A 的特征向量B.存在常数 k 1 0 和 k 2 0，使得 k 1 +k 2 是 A 的特征向量C.存在任意的 k 1 0 和 k 2 0，k 1 +k 2 都不是 A 的特征向量 D.仅当 k 1 k 2 0 时，k 1 +k 2 是 A 的特征向量解析：解析：特征向量必须是非零向量，选项 D 错误。由矩阵的特征值、特征向量关系可知：当、 是 A 对应特征值 的特征向量，当 k 1 0，k 2 0 时，k 1 +k 2 仍是 A 对应特征值 的特征向量。如果 、 是 A 对应不同特征值的特征向量，则 k 1 +k 2 不是 A 的特征

26、向量。所以选项 A、B 均不成立。19.设行列式 （分数：2.00）A.2 B.2C.1D.1解析：解析：将行列式的第 3 列换成 1，0，4，1，得到新的行列式，然后再计算新行列式的值。将行列式 按第 3 列展开，即为要求的结果。实际算法如下： A 13 +4A 33 +A 43 20.设 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.与 的取值有关解析：解析：由矩阵秩的性质可知，若 A 可逆，则 r(AB)r(B)，若 B 可逆，则 r(AB)r(A)， ABAA(BE)，BE ，|BE|40，BE 可逆，rA(BE)r(A) 。 计算矩阵 A 的秩：21.设 1 ， 2 是线性方程组 Axb

27、 的两个不同的解， 1 ， 2 是导出组 Ax0 的基础解系，k 1 、k 2 是任意常数，则 Axb 的通解是：（分数：2.00）A.B. 1 +k 1 （ 1 2 ）+k 2 （ 1 2 ）C. D.解析：解析：非齐次方程组的通解 y （非齐次方程组对应的齐次方程组的通解）+y * （非齐次方程组的一个特解），可验证 ( 1 + 2 )是 Axb 的一个特解。 因为 1 ， 2 是线性方程组 Axb 的两个不同的解： 又已知 1 ， 2 为导出组 Ax0 的基础解系，可知 1 ， 2 是 Ax0 的解，同样可验证 1 2 也是 Ax0 的解，A（ 1 ， 2 ）A 1 A 2 000。 还

28、可验证 1 ， 1 2 线性无关。 设有任意两个实数 K 11 ，K 22 使 K 11 1 +K 22 （ 1 2 ）0，即(K 11 +K 22 ) 1 K 22 2 0， 因 1 ， 2 线性无关，所以 1 ， 2 的系数，K 11 +K 22 0，K 22 0。 即 ，解得 K 11 0，K 22 0；因此 1 ， 1 2 线性无关。 故齐次方程组 Ax0 的通解为 k 1 1 +k 2 ( 1 2 )。 又 y * ( 1 + 2 )是 Axb 的一个特解； 所以 Axb 的通解为 y 22.设 A，B 是 n 阶矩阵，且 B0，满足 AB0，则以下选项中错误的是：（分数：2.00）

29、A.r(A)+r(B)nB.|A|0 或|B|0C.0r(A)nD.A0 解析：解析：根据矩阵乘积秩的性质，B0，AB0，有 r(A)+r(B)n 成立，选项 A 正确。AB0，取矩阵的行列式，|A|B|0，|A|0 或|B|0，选项 B 正确。又因为 B0，B 为非零矩阵，r(B)1，由上式，r(A)+r(B)n，推出 0r(A)n，选项 C 也正确。所以错误选项为 D。23.设 B 是三阶非零矩阵，已知 B 的每一列都是方程组 （分数：2.00）A.0B.2C.1D.1 解析：解析：已知条件 B 是三阶非零矩阵，而 B 的每一列都是方程组的解，可知齐次方程 Ax0 有非零解。所以齐次方程组

30、的系数行列式为 0，即24.设 A 是三阶矩阵， 1 (1，0，1) T ， 2 (1，1，0) T 是 A 的属于特征值 1 的特征向量， 3 (0，1，2) T 是 A 的属于特征值1 的特征向量，则：（分数：2.00）A. 1 2 是 A 的属于特征值 1 的特征向量 B. 1 3 是 A 的属于特征值 1 的特征向量C. 1 3 是 A 的属于特征值 2 的特征向量D. 1 + 2 + 3 是 A 的属于特征值 1 的特征向量解析：解析：已知 1 ， 2 是矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量，即有 A 1 1 1 ，A 2 1 2 成立，则 A（ 1 2 ）1（ 1 2 ）， 1 2

31、 为非零向量，因此 1 2 是 A 属于特征值 1 的特征向量。25.设 A 和 B 都是 n 阶方阵，已知|A|2，|B|3，则|BA 1 |等于：（分数：2.00）A.B. C.6D.5解析：解析：利用矩阵行列式性质|BA 1 |B|A 1 |，又因为 AA 1 E，|A|A 1 |1，所以|A 1 | ，故|BA 1 |B| 26.设 （分数：2.00）A.nB.0C.1 D.2解析：解析：ABC 27.设 A 为矩阵， 1 都是线性方程组 Ax0 的解，则矩阵 A 为： （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析： 1 ， 2 是方程组 Ax0 的两个线性无关的解，方程组含有 3

32、个未知量，故矩阵 A 的秩R(A)321，而选项 A、B、C 的秩分别为 3、2、2 均不符合要求。或将选项 D 代入方程组验证，2，1，1 0，2x 1 +x 2 +x 3 0，x 3 2x 1 x 2 ， 方程组解为 1 28.设 （分数：2.00）A.24B.36C.12D.48 解析：解析： 29.已知行列式 （分数：2.00）A.abB.0 C.adD.bd解析：解析：计算 A 11 +A 21 +A 31 +A 41 的值，相当于计算行列式 D 1 30.设 （分数：2.00）A.1B.1C.0 D.2解析：解析：分别求 A 11 、A 12 、A 13 、A 14 计算较麻烦。可仿照上题方法计算，求 A 11 +A 12 +A 13 +A 14 的值，可把行列式的第一行各列换成 1 后，利用行列式的运算性质计算。 A 11 +A 12 +A 13 +A 14