2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学文.docx

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷 )数学文 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 A=1， 2， 6， B=2， 4， C=1， 2， 3， 4，则 (A B) C=( ) A.2 B.1， 2， 4 C.1， 2， 4， 6 D.1， 2， 3， 4， 6 解析：集合 A=1， 2， 6， B=2， 4， C=1， 2， 3， 4， (A B) C=1， 2， 4， 6 1， 2， 3， 4=1， 2， 4. 答案： B 2.设 x R，则“ 2-x 0”是“ |x-1| 1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C

2、.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由 2-x 0得 x 2，由 |x-1| 1得 -1 x-1 1，得 0 x 2.则“ 2-x 0”是“ |x-1| 1”的必要不充分条件 . 答案： B 3.有 5 支彩笔 (除颜色外无差别 )，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫 .从这 5 支彩笔中任取 2支不同颜色的彩笔，则取出的 2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( ) A.45B.35C.25D.15解析：有 5支彩笔 (除颜色外无差别 )，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫， 从这 5支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，基本事件总数 n= 25C=10， 取出的 2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个

3、数 m= 1114CC=4， 取出的 2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 421 0 5mp n . 答案： C 4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N的值为 19，则输出 N的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：第一次 N=19，不能被 3整除， N=19-1=18 3不成立， 第二次 N=18， 18 能被 3整除， N=183=6， N=6 3不成立， 第三次 N=6，能被 3整除， N=63=2 3成立 . 输出 N=2. 答案： C 5.已知双曲线 221xyab(a 0， b 0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上， OAF是边长为 2的等边三角形

4、(O为原点 )，则双曲线的方程为 ( ) A. 2214 12xyB. 22112 4xyC. 2 2 13x yD. 22 13yx 解析：双曲线 221xyab(a 0， b 0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上， OAF是边长为 2的等边三角形 (O为原点 )，可得 c=2， 3ba，即 22ba =3， 222caa =3， 解得 a=1， b= 3 ，双曲线的焦点坐标在 x轴，所得双曲线方程为： 22 13yx . 答案： D 6.已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数 .若 a=-f(log215)， b=f(log24.1)， c=f(20.8)，则 a， b，c的大小

5、关系为 ( ) A.a b c B.b a c C.c b a D.c a b 解析：奇函数 f(x)在 R上是增函数， a=-f(log215)=f(log25)， b=f(log24.1)， c=f(20.8)， 又 1 20.8 2 log24.1 log25， f(20.8) f(log24.1) f(log25)，即 c b a. 答案： C 7.设函数 f(x)=2sin( x+ )， x R，其中 0， | | x.若 f(58)=2， f(118)=0，且f(x)的最小正周期大于 2，则 ( ) A. =23， =12B. =23， = 1112C. =13， = 1124D.

6、 =13， =724解析：由 f(x)的最小正周期大于 2，得42T ， 又 f(58)=2， f(118)=0，得 1 1 5 34 8 8 4T ， T=3，则 2 3 ，即 =23. f(x)=2sin( x+ )=2sin(23x+ )， 由 5 2 52 s i n 28 3 8f ，得 sin( +512)=1. 5 21 2 2 k ， k Z. 取 k=0，得 =12 . =23， =12. 答案： A 8.已知函数 f(x)= 2121xxxxx ， ， ，设 a R，若关于 x的不等式 f(x) |2x+a|在 R上恒成立，则 a的取值范围是 ( ) A.-2， 2 B.-

7、2 3 ， 2 C.-2， 2 3 D.-2 3 ， 2 3 解析：根据题意，函数 f(x)= 2121xxxxx ， ，的图象如图： 令 g(x)=|2x+a|，其图象与 x轴相交与点 (-2a， 0)， 在区间 (-， -2a)上为减函数，在 (-2a， + )为增函数， 若不等式 f(x) |2x+a|在 R上恒成立，则函数 f(x)的图象在 g(x)上的上方或相交， 则必有 f(0) g(0)，即 2 |a|，解可得 -2 a 2. 答案： A 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 9.已知 a R， i为虚数单位，若2aii为实数，则 a的值为 . 解析： a

8、 R， i为虚数单位， 2 2 1 2 2 1 22 2 2 4 1 5 5a i i a a ia i a a ii i i . 由2aii为实数，可得 25a=0，解得 a=-2. 答案： -2 10.已知 a R，设函数 f(x)=ax-lnx的图象在点 (1， f(1)处的切线为 l，则 l在 y轴上的截距为 . 解析：函数 f(x)=ax-lnx，可得 f (x)=a-1x，切线的斜率为： k=f (1)=a-1， 切点坐标 (1， a)，切线方程 l为： y-a=(a-1)(x-1)， l在 y轴上的截距为： a+(a-1)(-1)=1. 答案： 1 11.已知一个正方体的所有顶点

9、在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 . 解析：设正方体的棱长为 a， 这个正方体的表面积为 18， 6a2=18，则 a2=3，即 a= 3 ， 一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径， 即 3 a=2R，即 R=32，则球的体积 V= 34 3 93 2 2 . 答案： 9212.设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若 FAC=120 ，则圆的方程为 . 解析：设抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1， 0)，准线 l： x=-1，点 C 在 l 上，以 C

10、为圆心的圆与 y轴的正半轴相切与点 A， FAC=120 ， FAO=30 ， 11ta n 33OFOAFAO ， OA= 3 ， A(0， 3 )，如图所示： C(-1， 3)，圆的半径为 CA=1，故要求的圆的标准方程为 (x+1)2+(y- 3 )2=1. 答案： (x+1)2+(y- 3 )2=1 13.若 a， b R， ab 0，则 4441abab的最小值为 . 解析： a ， b R ， ab 0 ，4 4 4 4 2 24 1 2 4 1 4 1 1 14 4 4a b a b a ba b a ba a a b a b a b ， 当且仅当 444 14abab ab ，

11、即 2222214abab ，即 a=412， b=418或 a=-412， b=-418时取“ =” ；上式的最小值为 4. 答案： 4 14.在 ABC 中， A=60 ， AB=3， AC=2.若 2BD DC ， A E A C A B R ，且AD AE =-4，则的值为 . 解析：如图所示， ABC中， A=60 ， AB=3， AC=2， 2BD DC ， 2 2 1 23 3 3 3A D A B B D A B B C A B A C A B A B A C ， 又 A E A C A B ( R)， 221 2 1 2 1 23 3 3 3 3 3A D A E A B A

12、 C A C A B A B A C A B A C 221 2 1 23 2 c o s 6 0 3 2 43 3 3 3 ， 11 13，解得 =311. 答案： 311三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15. 在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知 asinA=4sinB， ac= 5 (a2-b2-c2). ( )求 cosA的值； ( )求 sin(2B-A)的值 . 解析： ( )由正弦定理得 asinB=bsinA，结合 asinA=4bsinB，得 a=2b.再由 ac= 5 (a2-b2-

13、c2)，得 b2+c2-a2= 55ac，代入余弦定理的推论可求 cosA 的值； ( )由 ( )可得 sinA=255，代入 asinA=4bsinB，得 sinB，进一步求得 cosB.利用倍角公式求 sin2B， cos2B，展开两角差的正弦可得 sin(2B-A)的值 . 答案： ( )由sin sinabAB，得 asinB=bsinA， 又 asinA=4bsinB，得 4bsinB=asinA， 两式作比得：4abba， a=2b. 由 ac= 5 (a2-b2-c2)，得 b2+c2-a2= 55ac， 由余弦定理，得 cosA= 2 2 255525acb c ab c a

14、 c ； ( )由 ( )，可得 sinA=255，代入 asinA=4bsinB，得 sinB=asinA4b=55. 由 ( )知， A为钝角，则 B为锐角， cosB= 2 251 s i n5B. 于是 sin2B=2sinBcosB=45， cos2B=1-2sin2B=35， 故 sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA= 4 5 3 2 5 2 55 5 5 5 5 . 16.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告 .已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时

15、间不多于 600分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2倍 .分别用 x， y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数 . (I)用 x， y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解析： ( )直接由题意结合图表列关于 x， y 所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域； ( )写出总收视人次 z=60x+25y.化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 . 答案： ( )由已知

16、， x， y满足的数学关系式为7 0 6 0 6 0 05 5 3 0200xyxyxyxy ，即7 6 6 062000xyxyxyxy ，该二元一次不等式组所表示的平面区域如图： ( )设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z=60x+25y. 考虑 z=60x+25y，将它变形为 125 2 5zyx ，这是斜率为 125，随 z 变化的一族平行直线 . 25z为直线在 y轴上的截距，当25z取得最大值时， z的值最大 . 又 x， y满足约束条件，由图可知，当直线 z=60x+25y经过可行域上的点 M时，截距25z最大，即 z最大 .解方程组 7 6 6 020xyxy，得点 M的坐

17、标为 (6， 3). 电视台每周播出甲连续剧 6次、乙连续剧 3次时才能使总收视人次最多 . 17.如图，在四棱锥 P-ABCD中， AD平面 PDC， AD BC， PD PB， AD=1， BC=3， CD=4， PD=2. (I)求异面直线 AP与 BC所成角的余弦值； (II)求证： PD平面 PBC； (II)求直线 AB与平面 PBC所成角的正弦值 . 解析： ( )由已知 AD BC，从而 DAP或其补角即为异面直线 AP 与 BC所成的角，由此能求出异面直线 AP与 BC所成角的余弦值 . ( )由 AD平面 PDC，得 AD PD，由 BC AD，得 PD BC，再由 PD

18、PB，得到 PD平面 PBC. ( )过点 D作 AB 的平行线交 BC于点 F，连结 PF，则 DF与平面 PBC所成的角等于 AB与平面PBC所成的角，由 PD平面 PBC，得到 DFP为直线 DF和平面 PBC所成的角，由此能求出直线 AB与平面 PBC所成角的正弦值 . 答案： ( )由已知 AD BC， 故 DAP或其补角即为异面直线 AP与 BC所成的角 . 因为 AD平面 PDC，所以 AD PD. 在 Rt PDA中，由已知，得 AP= 22 5A D P D， 故 cos DAP= 55ADAP. 所以，异面直线 AP与 BC所成角的余弦值为 55. ( )因为 AD平面 P

19、DC，直线 PD 平面 PDC，所以 AD PD. 又因为 BC AD，所以 PD BC， 又 PD PB，所以 PD平面 PBC. ( )过点 D作 AB 的平行线交 BC于点 F，连结 PF， 则 DF与平面 PBC所成的角等于 AB 与平面 PBC所成的角 . 因为 PD平面 PBC，故 PF为 DF在平面 PBC上的射影， 所以 DFP为直线 DF 和平面 PBC所成的角 . 由于 AD BC， DF AB，故 BF=AD=1， 由已知，得 CF=BC-BF=2.又 AD DC，故 BC DC， 在 Rt DCF中，可得 sin DFP= 55PDDF. 所以，直线 AB与平面 PBC

20、所成角的正弦值为 55. 18.已知 an为等差数列，前 n项和为 Sn(n N*)， bn是首项为 2的等比数列，且公比大于0， b2+b3=12， b3=a4-2a1， S11=11b4. ( )求 an和 bn的通项公式； ( )求数列 a2nbn的前 n项和 (n N*). 解析： ( )设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q.通过 b2+b3=12，求出 q，得到 bn=2n.然后求出公差 d，推出 an=3n-2. ( )设数列 a2nbn的前 n项和为 Tn，利用错位相减法，转化求解数列 a2nbn的前 n项和即可 . 答案： ( )设等差数列 an的公差为 d

21、，等比数列 bn的公比为 q.由已知 b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而 b1=2，所以 q2+q-6=0.又因为 q 0，解得 q=2.所以， bn=2n. 由 b3=a4-2a1，可得 3d-a1=8. 由 S11=11b4，可得 a1+5d=16，联立，解得 a1=1， d=3， 由此可得 an=3n-2.所以， an的通项公式为 an=3n-2， bn的通项公式为 bn=2n. ( )设数列 a2nbn的前 n项和为 Tn，由 a2n=6n-2，有 Tn=42+102 2+162 3+(6n -2)2 n，2Tn=42 2+102 3+162 4+(6n -8)2 n+(6

22、n-2)2 n+1， 上 述 两 式 相 减 ， 得 -Tn=42+62 2+62 3+62 n-(6n-2)2 n+1= 12 1 212n-4-(6n-2)2 n+1=-(3n-4)2n+2-16.得 Tn=(3n-4)2n+2+16. 所以，数列 a2nbn的前 n项和为 (3n-4)2n+2+16. 19.设 a， b R， |a| 1.已知函数 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b， g(x)=exf(x). ( )求 f(x)的单调区间； ( )已知函数 y=g(x)和 y=ex的图象在公共点 (x0， y0)处有相同的切线， (i)求证： f(x)在 x=x0处的导数等于

23、 0； (ii)若关于 x的不等式 g(x) ex在区间 x0-1， x0+1上恒成立，求 b的取值范围 . 解析： ( )求出函数 f(x)的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得 f(x)的单调区间； ( )(i)求出 g(x)的导函数，由题意知 0000xxg x eg x e ，求解可得 0010fxfx，得到 f(x)在x=x0处的导数等于 0； (ii)由 (I)知 x0=a.且 f(x)在 (a-1， a)内单调递增，在 (a， a+1)内单调递减，故当 x0=a 时，f(x) f(a)=1 在 a-1， a+1上恒成立，从而 g(x) ex 在 x0-

24、1， x0+1上恒成立 .由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1，得 b=2a3-6a2+1， -1 a 1.构造函数 t(x)=2x3-6x2+1， x -1，1，利用导数求其值域可得 b的范围 . 答案： ( )由 f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b，可得 f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)(x-(4-a)， 令 f(x)=0，解得 x=a，或 x=4-a.由 |a| 1，得 a 4-a. 当 x变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下表： f(x)的单调递增区间为 (-， a)， (4-a， + )，单调递减区间为 (a， 4-a)； ( )

25、(i) g(x)=ex(f(x)+f(x)，由题意知 0000xxg x eg x e ， 0000000xxxxf x e ee f x f x e ，解得 0010fxfx， f(x)在 x=x0处的导数等于 0； (ii) g(x) ex， x x0-1， x0+1，由 ex 0，可得 f(x) 1. 又 f(x0)=1， f(x0)=0， 故 x0为 f(x)的极大值点，由 (I)知 x0=a. 另一方面，由于 |a| 1，故 a+1 4-a， 由 ( )知 f(x)在 (a-1， a)内单调递增，在 (a， a+1)内单调递减， 故当 x0=a 时， f(x) f(a)=1 在 a-

26、1， a+1上恒成立，从而 g(x) ex在 x0-1， x0+1上恒成立 . 由 f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1，得 b=2a3-6a2+1， -1 a 1. 令 t(x)=2x3-6x2+1， x -1， 1， t(x)=6x2-12x， 令 t(x)=0，解得 x=2(舍去 )，或 x=0. t(-1)=-7， t(1)=-3， t(0)=1，故 t(x)的值域为 -7， 1. b的取值范围是 -7， 1. 20.已知椭圆 221xyab(a b 0)的左焦点为 F(-c， 0)，右顶点为 A，点 E 的坐标为 (0，c)， EFA的面积为 22b. (I)求椭圆的离心

27、率； (II)设点 Q 在线段 AE 上， |FQ|=32c，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M， N 在 x轴上， PM QN，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c，四边形 PQNM的面积为 3c. (i)求直线 FP的斜率； (ii)求椭圆的方程 . 解析： ( )设椭圆的离心率为 e.通过 2122bc a c.转化求解椭圆的离心率 . ( )( )依题意，设直线 FP 的方程为 x=my-c(m 0)，则直线 FP 的斜率为 1m.通过 a=2c，可得直线 AE 的方程为2xycc=1，求解点 Q的坐标为 ( 222mcm， 32cm).利用 |FQ|=32c，求出 m，然

28、后求解直线 FP的斜率 . (ii)求出椭圆方程的表达式你，求出直线 FP 的方程为 3x-4y+3c=0，与椭圆方程联立通过|FP|= 22 3522cccc ，结合直线 PM和 QN都垂直于直线 FP.结合四边形 PQNM的面积为 3c，求解 c，然后求椭圆的方程 . 答案： ( )设椭圆的离心率为 e.由已知，可得 2122bc a c.又由 b2=a2-c2，可得2c2+ac-a2=0，即 2e2+e-1=0.又因为 0 e 1，解得 e=12.所以，椭圆的离心率为 12； ( )( )依题意，设直线 FP的方程为 x=my-c(m 0)，则直线 FP 的斜率为 1m. 由 ( )知

29、a=2c，可得直线 AE 的方程为2xycc=1，即 x+2y-2c=0，与直线 FP 的方程联立，可解得 x= 222mcm， y= 32cm，即点 Q的坐标为 ( 222mcm， 32cm). 由已知 |FQ|=32c，有 2 2222 332 2 2mc cccmm ，整理得 3m2-4m=0，所以 m=43，即直线 FP的斜率为 34. (ii)由 a=2c，可得 b= 3 c，故椭圆方程可以表示为 22143xycc. 由 (i)得直线 FP 的方程为 3x-4y+3c=0，与椭圆方程联立 22223 4 3 0143x y cxycc ，消去 y，整理得7x2+6cx-13c2=0

30、，解得 x=-137c(舍去 )，或 x=c.因此可得点 P(c， 32c)，进而可得 |FP|= 22 3522cccc ，所以 |PQ|=|FP|-|FQ|=5322cc =c.由已知，线段 PQ 的长即为 PM与 QN这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP. 因为 QN FP，所以 |QN|=|FQ| tan QFN 3 3 92 4 8cc，所以 FQN的面积为 21 2 72 3 2cF Q Q N ，同理 FPM的面积等于 27532c，由四边形 PQNM的面积为 3c，得 227 5 2 7 33 2 3 2cc c，整理得 c2=2c，又由 c 0，得 c=2.所以，椭圆的方程为 22116 12xy.