2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学文.docx

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷 )数学文 一、选择题 (共 8小题，每小题 5分，满分 40分 ) 1.已知集合 A=x|2 x 4， B=x|x 3或 x 5，则 A B=( ) A.x|2 x 5 B.x|x 4或 x 5 C.x|2 x 3 D.x|x 2或 x 5 解析 ：集合 A=x|2 x 4， B=x|x 3或 x 5， A B=x|2 x 3. 答案 ： C 2.复数 122 ii=( ) A.i B.1+i C.-i D.1-i 解析： 1 2 21 2 52 2 2 5iiiii i i =i. 答案 ： A 3.执行如图所示的程序框图，输出 s的值为 (

2、 ) A.8 B.9 C.27 D.36 解析： 当 k=0时，满足进行循环的条件，故 S=0， k=1， 当 k=1时，满足进行循环的条件，故 S=1， k=2， 当 k=2时，满足进行循环的条件，故 S=9， k=3， 当 k=3时，不满足进行循环的条件， 故输出的 S值为 9. 答案 ： B 4.下列函数中，在区间 (-1， 1)上为减函数的是 ( ) A.y= 11 xB.y=cosx C.y=ln(x+1) D.y=2-x 解析 ： A.x增大时， -x 减小， 1-x 减小， 11 x增大；函数 y= 11 x在 (-1， 1)上为增函数，即该选项错误； B.y=cosx在 (-1

3、， 1)上没有单调性，该选项错误； C.x增大时， x+1增大， ln(x+1)增大， y=ln(x+1)在 (-1， 1)上为增函数，即该选项错误； D.y=2-x=(12)x；根据指数函数单调性知，该函数在 (-1， 1)上为减函数，该选项正确 . 答案 ： D. 5.圆 (x+1)2+y2=2的圆心到直线 y=x+3的距离为 ( ) A.1 B.2 C. 2 D.2 2 解析 ： 圆 (x+1)2+y2=2 的圆心为 (-1， 0)，圆 (x+1)2+y2=2的圆心到直线 y=x+3 的距离为：d= 13 22 . 答案 ： C. 6.从甲、乙等 5名学生中随机选出 2人，则甲被选中的概

4、率为 ( ) A.15B.25C.825D.925解析：从甲、乙等 5名学生中随机选出 2人，基本事件总数 n= 25C=10， 甲被选中包含的基本事件的个数 m= 1114CC=4，甲被选中的概率 p= 4210 5mn . 答案 ： B 7.已知 A(2， 5)， B(4， 1).若点 P(x， y)在线段 AB上，则 2x-y的最大值为 ( ) A.-1 B.3 C.7 D.8 解析 ：如图 . A(2， 5)， B(4， 1).若点 P(x， y)在线段 AB 上， 令 z=2x-y，则平行 y=2x-z当直线经过 B时截距最小， Z取得最大值， 可得 2x-y的最大值为： 2 4-1

5、=7. 答案 ： C. 8.某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为 10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊 . 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远 (单位：米 ) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳 (单位：次 ) 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65 在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6人，则 ( ) A.2号学生进入 30秒跳绳决赛 B.5号学生进入 30秒跳绳决赛

6、 C.8号学生进入 30秒跳绳决赛 D.9号学生进入 30秒跳绳决赛 解析：这 10名学生中，进入立定跳远决赛的有 8人， 故编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8的学生进入立定跳远决赛， 又由同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6人， 则 3， 6， 7号同学必进入 30秒跳绳决赛， 剩下 1， 2， 4， 5， 8号同学的成绩分别为： 63， a， 60， 63， a-1有且只有 3人进入 30秒跳绳决赛，故成绩为 63 的同学必进入 30 秒跳绳决赛 . 答案 ： B 二、填空题 (共 6小题，每小题 5分，满分 30分 ) 9.已知向量 a =(1， 3 )，

7、b =( 3 ， 1)，则 a 与 b 夹角的大小为 . 解析：向量 a=(1， 3 )， b=( 3 ， 1)， a 与 b 夹角满足： cos = 2 3 32 2 2abab ， 又 0， ， =6， 答案 ：6. 10.函数 f(x)=1xx(x 2)的最大值为 . 解析： f(x)= 1 1 111 1 1xxx x x ； f(x)在 2， + )上单调递减； x=2 时， f(x)取最大值 2. 答案： 2. 11.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 . 解析：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱， 棱柱的底面面积 S=12 (1+2) 1=32

8、，棱柱的高为 1，故棱柱的体积 V=32. 答案： 3212.已知双曲线 22xyab=1(a 0， b 0)的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为 ( 5 ， 0)，则a= ， b= . 解析： 双曲线 22xyab=1(a 0， b 0)的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为 (5， 0)， 2225baab，解得 a=1， b=2. 答案 ： 1， 2. 13.在 ABC中， A=23， a= 3 c，则 bc= . 解析：在 ABC中， A=23， a=3c， 由正弦定理可得：sin sinacAC， 32 sinsin3ccC ， sinC=12， C=6，则 B= -23-6=

9、6. 三角形是等腰三角形， B=C，则 b=c，则 bc=1. 答案 ： 1 14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3种，后两天都售出的商品有 4种，则该网店 ： 第一天售出但第二天未售出的商品有 种； 这三天售出的商品最少有 种 . 解析：设第一天售出商品的种类集为 A，第二天售出商品的种类集为 B，第三天售出商品的种类集为 C，如图， 则第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种； 由知，前两天售出的商品种类为 19+13-3=29种， 当第三天售出的 18 种商品都是第一天或第二天售

10、出的商品时，这三天售出的商品种类最少为 29种 . 答案： 16； 29 三、解答题 (共 6小题，满分 80分 ) 15.已知 an是等差数列， bn是等比数列，且 b2=3， b3=9， a1=b1， a14=b4. (1)求 an的通项公式； (2)设 cn=an+bn，求数列 cn的前 n 项和 . 解析： (1)设 an是公差为 d 的等差数列， bn是公比为 q 的等比数列，运用通项公式可得q=3， d=2，进而得到所求通项公式； (2)求得 cn=an+bn=2n-1+3n-1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和 . 答案： (1)

11、设 an是公差为 d的等差数列， bn是公比为 q的等比数列， 由 b2=3， b3=9，可得 q=32bb =3， bn=b2qn-2=3 3n-2=3n-1； 即有 a1=b1=1， a14=b4=27，则 d= 14 113aa=2，则 an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1； (2)cn=an+bn=2n-1+3n-1， 则数列 cn的前 n项和为 (1+3+ +(2n-1)+(1+3+9+ +3n-1)= 21 1 3 3 122 1 3 2nnn n n . 16.已知函数 f(x)=2sin xcos x+cos2 x( 0)的最小正周期为 . (1)求的值； (2

12、)求 f(x)的单调递增区间 . 解析： (1)利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得的值； (2)直接由相位在正弦函数的增区间内求解 x的取值范围得 f(x)的单调递增区间 . 答案： (1)f(x)=2sin xcos x+cos2 x =sin2 x+cos2 x= 2 ( 22sin2 x+ 22cos2 x)= 2 sin(2 x+ 4). 由 T=22=，得 =1； (2)由 (1)得， f(x)= 2 sin(2x+4). 再由 -2+2k 2x+42+2k，得 -38+k x8+k， k Z. f(x)的单调递增区间为 -38+k，8+k (k Z). 17.某

13、市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w立方米的部分按 4元 /立方米收费，超出 w立方米的部分按 10元 /立方米收费，从该市随机调查了 10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图： (1)如果 w为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4元 /立方米，w至少定为多少？ (2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3 时，估计该市居民该月的人均水费 . 解析： (1)由频率分布直方图得：用水量在 0.5， 1)的频率为 0.1，用水量在 1， 1.5)的频率为 0.15，用水量在 1.5， 2)的频率为 0.2

14、，用水量在 2， 2.5)的频率为 0.25，用水量在2.5， 3)的频率为 0.15，用水量在 3， 3.5)的频率为 0.05，用水量在 3.5， 4)的频率为 0.05，用水量在 4， 4.5)的频率为 0.05，由此能求出为使 80%以上居民在该用的用水价为 4元 /立方米， w至少定为 3立方米 . (2)当 w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费 . 答案： (1)由频率分布直方图得： 用水量在 0.5， 1)的频率为 0.1， 用水量在 1， 1.5)的频率为 0.15， 用水量在 1.5， 2)的频率为 0.2， 用水量在 2， 2.5)的频率为 0.25， 用水

15、量在 2.5， 3)的频率为 0.15， 用水量在 3， 3.5)的频率为 0.05， 用水量在 3.5， 4)的频率为 0.05， 用水量在 4， 4.5)的频率为 0.05， 用水量小于等于 3立方米的频率为 85%， 为使 80%以上居民在该用的用水价为 4元 /立方米， w至少定为 3立方米 . (2)当 w=3时，该市居民的人均水费为： (0.1 1+0.15 1.5+0.2 2+0.25 2.5+0.15 3) 4+0.05 3 4+0.05 0.5 10+0.05 3 4+0.05 1 10+0.05 3 4+0.05 1.5 10=10.5， 当 w=3时，估计该市居民该月的人

16、均水费为 10.5元 . 18.如图，在四棱锥 P-ABCD中， PC平面 ABCD， AB DC， DC AC. (1)求证： DC平面 PAC； (2)求证：平面 PAB平面 PAC； (3)设点 E为 AB的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由 . 解析： (1)利用线面垂直的判定定理证明 DC平面 PAC； (2)利用线面垂直的判定定理证明 AB平面 PAC，即可证明平面 PAB平面 PAC； (3)在棱 PB上存在中点 F，使得 PA平面 CEF.利用线面平行的判定定理证明 . 答案： (1) PC平面 ABCD， DC 平面 ABCD， PC DC，

17、 DC AC， PC AC=C， DC平面 PAC； (2) AB DC， DC AC， AB AC， PC平面 ABCD， AB 平面 ABCD， PC AB， PC AC=C， AB平面 PAC， AB 平面 PAB，平面 PAB平面 PAC； (3)在棱 PB上存在中点 F，使得 PA平面 CEF. 点 E为 AB 的中点， EF PA， PA 平面 CEF， EF 平面 CEF， PA平面 CEF. 19.已知椭圆 C： 22xyab=1过点 A(2， 0)， B(0， 1)两点 . (1)求椭圆 C的方程及离心率； (2)设 P为第三象限内一点且在椭圆 C上，直线 PA与 y轴交于点

18、 M，直线 PB与 x轴交于点 N，求证：四边形 ABNM的面积为定值 . 解析： (1)由题意可得 a=2， b=1，则 22 4 1 3c a b ，则椭圆 C 的方程可求，离心率为 e= 32； (2)设 P(x0， y0)，求出 PA、 PB所在直线方程，得到 M， N的坐标，求得 |AN|， |BM|.由 SABNM= 12 |AN| |BM|，结合 P在椭圆上求得四边形 ABNM的面积为定值 2. 答案： (1)椭圆 C： 22xyab=1过点 A(2， 0)， B(0， 1)两点， a=2， b=1，则 22 4 1 3c a b ， 椭圆 C的方程为 2 24x y=1，离心率

19、为 e= 32； (2)证明：如图， 设 P(x0， y0)，则 kPA=00 2yx ， PA所在直线方程为 y= 0022y xx ， 取 x=0，得 yM=002 2yx ； kPB=001yx ， PB 所在直线方程为 y= 001yx x+1， 取 y=0，得 xN=001xy . |AN|=2-xN=2-001xy = 000221 yxy ， |BM|=1-xM= 0 0 0002 2 21 22y x yxx. SABNM=12 |AN| |BM|=12000221 yxy 000222xyx = 200002212 1 2xyyx= 20 0 0 00 0 0 02 4 2

20、412 2 2x y x yx y x y = 220 0 0 0 0 00 0 0 04 4 4 8 412 2 2x x y y x yx y x y = 0 0 0 00 0 0 04 2 212 2 2x y x yx y x y =12 4=2. 四边形 ABNM的面积为定值 2. 20.设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c. (1)求曲线 y=f(x)在点 (0， f(0)处的切线方程； (2)设 a=b=4，若函数 f(x)有三个不同零点，求 c 的取值范围； (3)求证： a2-3b 0是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件 . 解析： (1)求出 f(x)的导数，求

21、得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程； (2)由 f(x)=0，可得 -c=x3+4x2+4x，由 g(x)=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由 -c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围； (3)先证若 f(x)有三个不同零点，令 f(x)=0，可得单调区间有 3个，求出导数，由导数的图象与 x轴有两个不同的交点，运用判别式大于 0，可得 a2-3b 0；再由 a=b=4， c=0，可得若a2-3b 0，不能推出 f(x)有 3 个零点 . 答案： (1)函数 f(x)=x3+ax2+bx+c的导数为 f (x)=3x2+2ax+b， 可得 y=f(x)在点 (0， f(

22、0)处的切线斜率为 k=f (0)=b， 切点为 (0， c)，可得切线的方程为 y=bx+c； (2)设 a=b=4，即有 f(x)=x3+4x2+4x+c， 由 f(x)=0，可得 -c=x3+4x2+4x， 由 g(x)=x3+4x2+4x的导数 g (x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2)， 当 x -23或 x -2时， g (x) 0， g(x)递增； 当 -2 x -23时， g (x) 0， g(x)递减 . 即有 g(x)在 x=-2处取得极大值，且为 0； g(x)在 x=-23处取得极小值，且为 -3227. 由函数 f(x)有三个不同零点，可得 -3227 -c

23、 0，解得 0 c 3227， 则 c的取值范围是 (0， 3227)； (3)若 f(x)有三个不同零点，令 f(x)=0， 可得 f(x)的图象与 x轴有三个不同的交点 . 即有 f(x)有 3个单调区间， 即为导数 f (x)=3x2+2ax+b 的图象与 x轴有两个交点， 可得 0，即 4a2-12b 0，即为 a2-3b 0； 若 a2-3b 0，即有导数 f (x)=3x2+2ax+b的图象与 x轴有两个交点， 当 c=0， a=b=4时，满足 a2-3b 0， 即有 f(x)=x(x+2)2，图象与 x 轴交于 (0， 0)， (-2， 0)，则 f(x)的零点为 2个 . 故 a2-3b 0是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件 .