【考研类试卷】工程硕士(GCT)数学-160及答案解析.doc

1、工程硕士(GCT)数学-160 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.购买商品 A，B，C。第一次各买 2件，共 11.4元；第二次购买 A商品 4件，B 商品 3件，C 商品 2件，共 14.8元；第三次购买 A商品 5件，B 商品 4件，C 商品 2件，共 17.5元。则 1件 A商品的价格是_。（分数：4.00）A.0B.0C.0D.02.已知 2 +-1=0， 2 +-1=0，且 ，+ 的值为_。（分数：4.00）A.2B.-2C.-1D.03.设 x 1 ，x 2 是关于 x的方程 x 2 -(m-1)x-m=0(m

2、0)的两个根，且满足 （分数：4.00）A.-1B.1C.2D.34.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为 9和 12两部分，贝 U腰长和底边长分别为_。（分数：4.00）A.6，9B.8，5C.5，9 或 8，6D.6，9 或 8，55.在等差数列中，已知公差 （分数：4.00）A.135B.145C.155D.1606.若甲以 10发 8中，乙以 10发 6中，丙以 10发 7中的命中率打靶，3 人各射击一次，则 3人中只有 1人命中的概率为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.在(1+x)+(1+x) 2 +(1+x) 3 +(1+x) 10 的展开式中，x 6

3、 的系数为_。（分数：4.00）A.300B.310C.320D.3308.若 cot=3，则 的值是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.如图所示，三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的底面是边长为 a的正三角形，棱 AA 1 和底面边 AB、AC 均成 45角，则 A 1 A和 BC的距离为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.10.双曲线 （分数：4.00）A.4aB.4a-mC.4a+2mD.4a-211.设动点 P在直线 x=1上，O 为坐标原点，以 OP为直角边，点 O为直角顶点作等腰直角三角形 OPQ，则Q的轨迹是_。（分数：4.00）

4、A圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线12.直线 y=kx+1(kR)与椭圆(或圆) （分数：4.00）A.m1B.m1C.m4D.m213.点 x=0是函数 （分数：4.00）A.连续点B.可去间断点C.有限跳跃型间断点D.无穷型间断点14.已知 ，则 f(x)=_。 Ax+1 Bx+5 C D （分数：4.00）A.B.C.D.15.函数 （分数：4.00）A.第二类间断点B.第一类非可去间断点C.第一类可去间断点D.连续点16.设周期函数 f(x)的周期为 6，且 f(x)可导，若 （分数：4.00）A.y=(x+4)-f(-4)B.y=2(x+4)+f(-4)C.y=(x+4)+f(

5、-4)D.y=2(x+4)-f(-4)17.设 ，f(x)=ln(1+x 2 )，则 （分数：4.00）A.-6B.-6ln2C.6ln2D.618.星形线 所围成的图形绕 X轴旋转所得旋转体的体积为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.19.求 （分数：4.00）A.4e2-6B.8e2+6C.2e2+6D.-2e2-620.已知 3阶行列 ，则 （分数：4.00）A.-6aB.6aC.-15aD.15a21.已知 （分数：4.00）A.t=6时，P 的秩必为 1B.t=6时，P 的秩必为 2C.t6 时，P 的秩必为 1D.t6 时，P 的秩必为 222.已知 AP=PB

6、，其中 ，则 A 5 =_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.23.设 ，则(AB T ) -1 =_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.24.已知齐次线性方程组 AX=0，A 为 mn阶矩阵，则方程组 AX=0没有非零解的充分条件是_。（分数：4.00）A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关25.三阶矩阵 A满足|3A+2E|=0，|-5A+E|=0，|2A+5E|=0，则 A的 3个特征值是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-160 答案解析(总分：10

7、0.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.购买商品 A，B，C。第一次各买 2件，共 11.4元；第二次购买 A商品 4件，B 商品 3件，C 商品 2件，共 14.8元；第三次购买 A商品 5件，B 商品 4件，C 商品 2件，共 17.5元。则 1件 A商品的价格是_。（分数：4.00）A.0 B.0C.0D.0解析：解析 由题意可知，第二次比第一次多买 2件 A商品，1 件 B商品，第三次比第二次多买 1件 A商品，1 件 B商品，其差价刚好为 A商品的单价，即 (14.8-11.4)-(17.5-14.8)=3.4-2.7=0.70故选 A。2

8、.已知 2 +-1=0， 2 +-1=0，且 ，+ 的值为_。（分数：4.00）A.2B.-2 C.-1D.0解析：解析 提示：， 可看作是方程 x 2 +x-1=0的两个根。3.设 x 1 ，x 2 是关于 x的方程 x 2 -(m-1)x-m=0(m0)的两个根，且满足 （分数：4.00）A.-1B.1C.2D.3 解析：解析 因为 =-(m-1) 2 +4m=(m+1) 2 0，所以对于任意实数 m，方程恒有两个实数根 x 1 ，x 2 ，又因为 x 1 +x 2 =m-1，x 1 x 2 =-m，且 m0 故 4.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为 9和 12两部分，贝 U腰长和

9、底边长分别为_。（分数：4.00）A.6，9B.8，5C.5，9 或 8，6D.6，9 或 8，5 解析：解析 如图所示，AB=AC，肋是中线，BD 将ABC 的周长分为 AB+AD和 BC+CD两个部分，分别为 9和 12，由于未指明哪一部分为 9(或 12)，因此有如下两种情况：AB+AD=9，BC+CD=12；AB+AD=12，BC+CD=9，进而求得 AB=6，BC=9，或 AB=8，BC=5。 故 D为正确答案。 5.在等差数列中，已知公差 （分数：4.00）A.135B.145 C.155D.160解析：解析 设 a 1 +a 2 +a 100 =x，则有 a 2 +a 4 +a

10、100 =x-60 a 1 +a 3 +a 99 =60 式-式，有 d+d+d=x-120 50d=x-120 6.若甲以 10发 8中，乙以 10发 6中，丙以 10发 7中的命中率打靶，3 人各射击一次，则 3人中只有 1人命中的概率为_。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 记“甲命中”为事件 A，“乙命中”为事件 B，“丙命中”为事件 C，则“3 人中只有 1人命中”为事件 是相斥事件，且 均为相互独立事件，故所求概率为 P=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) 又因 ，故 7.在(1+x)+(1+x) 2 +(1+

11、x) 3 +(1+x) 10 的展开式中，x 6 的系数为_。（分数：4.00）A.300B.310C.320D.330 解析：解析 以排列与组合的思考方法得展开式中 x 6 项的系数为 又因(1+x)，(1+x) 2 ，(1+x) 10 是以(1+x)为首项，(1+x)为公比的等比数列，其和为 则分子 x 7 项的系数 8.若 cot=3，则 的值是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 cot=3，则9.如图所示，三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的底面是边长为 a的正三角形，棱 AA 1 和底面边 AB、AC 均成 45角，则 A 1 A和 BC的距离

12、为_。 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 点 A到平面 BCC 1 B 1 的距离即为所求， 点 A到 EE 1 的距离为 10.双曲线 （分数：4.00）A.4aB.4a-mC.4a+2m D.4a-2解析：解析 ABF 2 的周长为 C=|AF 2 |+|AB|+|BF 2 |， 又|AF 2 |-|AF 1 |=2a，|BF 2 |-|BF 1 |=2a， 故 C=m+4a+|AF 1 |+|BF 1 |=4a+2m。 故 C为正确答案。11.设动点 P在直线 x=1上，O 为坐标原点，以 OP为直角边，点 O为直角顶点作等腰直角三角形 OPQ，则Q的轨迹是

13、_。（分数：4.00）A圆B.两条平行直线 C.抛物线D.双曲线解析：解析 设 P(1，t)，Q(x，y)，则 12.直线 y=kx+1(kR)与椭圆(或圆) （分数：4.00）A.m1 B.m1C.m4D.m2解析：解析 由 13.点 x=0是函数 （分数：4.00）A.连续点B.可去间断点C.有限跳跃型间断点D.无穷型间断点 解析：解析 由于14.已知 ，则 f(x)=_。 Ax+1 Bx+5 C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 分式极限存在，分母以 0为极限，必有分子以 0为极限，则 B、D 不正确。将 代入等式 15.函数 （分数：4.00）A.第二类间断点 B.第

14、一类非可去间断点C.第一类可去间断点D.连续点解析：解析 f(x)在 x=1处无定义，所以不选 D。 16.设周期函数 f(x)的周期为 6，且 f(x)可导，若 （分数：4.00）A.y=(x+4)-f(-4)B.y=2(x+4)+f(-4) C.y=(x+4)+f(-4)D.y=2(x+4)-f(-4)解析：解析 17.设 ，f(x)=ln(1+x 2 )，则 （分数：4.00）A.-6B.-6ln2 C.6ln2D.6解析：解析 令 ，则当 x=0时，u=-1，于是 把 x=0，u=-1 代入上式，得 18.星形线 所围成的图形绕 X轴旋转所得旋转体的体积为_。 A B C D （分数：

15、4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于图形的对称性，只要算出第一象限部分绕 X轴旋转所得旋转体积的 2倍，即得所求体积。 19.求 （分数：4.00）A.4e2-6B.8e2+6C.2e2+6 D.-2e2-6解析：解析 20.已知 3阶行列 ，则 （分数：4.00）A.-6aB.6a C.-15aD.15a解析：解析 用行列式性质作恒等变形，有 21.已知 （分数：4.00）A.t=6时，P 的秩必为 1B.t=6时，P 的秩必为 2C.t6 时，P 的秩必为 1 D.t6 时，P 的秩必为 2解析：解析 因 P，Q 均为三阶方阵，又 PQ=O，故 r(P)+r(Q)3。 当 t=6时

16、，rQ)=1，于是 r(P)2， 当 t6 时，r(Q)=2，于是 r(P)1。 又 r(p)1(P 为三阶非零方阵)，故 r(P)=1，故选 C。22.已知 AP=PB，其中 ，则 A 5 =_。 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因 P可逆，且 故有 由于 A 2 =PBP -1 PBP -1 =PB 2 P -1 ，可见 A 5 =PB 5 P -1 =PBP -1 =A，则 23.设 ，则(AB T ) -1 =_。 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 可得 24.已知齐次线性方程组 AX=0，A 为 mn阶矩阵，则方程组 AX=0没有非零解的充分条件是_。（分数：4.00）A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关解析：解析 线性方程组 Ax=0仅有零解的充要条件是 r(A)=n，即 A的列向量组线性无关，故选 C。25.三阶矩阵 A满足|3A+2E|=0，|-5A+E|=0，|2A+5E|=0，则 A的 3个特征值是_。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 根据 A满足的 3个等式知，至少有一个满足下列三式 即有 ，A 的 3个特征值为