【考研类试卷】工程硕士(GCT)数学-161及答案解析.doc

1、工程硕士(GCT)数学-161 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.一批货物要进仓库，由甲、乙两队合运 9h可运进全部货物的 50%，乙队单独运则要 30h能运完，又知甲队每小时可运进 3t，则这批货物共有_。（分数：4.00）A.135tB.140tC.145tD.150t2.已知 x 1 ，x 2 是关于 x的方程 x 2 -kx+5(k-5)=0的两个正实数根，且满足 2x 1 +x 2 =7，则实数 k的值为_。（分数：4.00）A.5B.6C.7D.83.方程 （分数：4.00）A.x=1B.x=2C.x=-1D.

2、x=-24.复平面上一等腰直角三角形的 3个顶点按逆时针方向依次为 O、Z 1 和 Z 2 ， ，若 Z 1 对应的复数 ，则 Z 2 对应的复数 Z 2 =_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 (nN)，那么 S的范围是_。 A B （分数：4.00）A.B.C.D.6.展开式中的常数项是_。 （分数：4.00）A.12B.-12C.20D.-207.用 5种不同的颜色涂在下图中的 4个区域里，每一区域涂 1种颜色，且相邻区域颜色不同，则共有_种涂法。 （分数：4.00）A.120B.140C.160D.1808.把函数 (cos3x-sin3x)的图像适当变换就

3、可以得到 y=sin(-3x)的图像，这种变换可以是_。 A沿 x轴方向向右平移 B沿 x轴方向向左平移 C沿 x轴方向向右平移 D沿 x轴方向向左平移 （分数：4.00）A.B.C.D.9.下列不等式中成立的是_。（分数：4.00）A.sin1sin4B.cos1cos4C.tan1tan4D.cot1cot410.将边长为 a的正方形 ABCD沿对角线 AC折起，使得 BD=a，则三棱锥 D-ABC的体积为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.11.过抛物线 y 2 =4x的焦点 F作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF与 FQ的长分别为 m和 n，则_。 A B

4、 C D （分数：4.00）A.B.C.D.12.设 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.413.当 x0 时， 是 x的_阶无穷小量。 A1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.14.设 g(x)=1+x，当 x0 时， （分数：4.00）A.2B.-2C.-1D.115.与曲线 相切并与直线 x+y=4垂直的切线方程为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.16.设 ，则 I的值为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.17.函数 （分数：4.00）A.1B.2C.1+e-1D.1+e-218.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）A.

5、-e-xf(e-x)+f(x)B.-e-x(e-x)-f(x)C.e-xf(e-x)-f(x)D.e-xf(e-x)+f(x)19.设商品销售量 x对价格 p的函数为 x=a-bp，a，b 正常数，若涨价可以增加收入，则应有_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.20.设 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.421.设 A、B、C 均为 n阶矩阵，则 (1)若 AB，则|A|B| (2)若 AB=AC，且 A0，则 B=C (3)若 A 2 =E，且 AE，则 A=-E (4)若 A可逆，且 A -1 B=CA -1 ，B=C 则上述命题中，正确命题的个数是_。（分数：4.

6、00）A.0B.1C.2D.322.已知 a 1 =(1，1，-1) T ，a 2 =(1，1，2) T ，满足 a 1 、a 2 、a 3 线性相关的向量 a 3 =_。（分数：4.00）A.(-1，1，0)TB.(3，-3，5)TC.(-1，0，0)TD.(0，0，3)T23.设 a 1 、a 2 、a 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b的三个解向量，且秩 r(A)=3，a 1 =(1，2，3，4，) T ，a 2 +a 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b的通解为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.24.n阶矩阵 A与对角矩阵相似

7、的充分必要条件是_。（分数：4.00）A.A有 n个不全相同的特征值B.AT有 n个不全相同的特征值C.A有 n个不相同的特征向量D.A有 n个线性无关的特征向量25.若 =2 是可逆矩阵 A的一个特征值，则 有一个特征值是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-161 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.一批货物要进仓库，由甲、乙两队合运 9h可运进全部货物的 50%，乙队单独运则要 30h能运完，又知甲队每小时可运进 3t，则这批货物共有_。（分数：4.00）A.135t B.140

8、tC.145tD.150t解析：解析 设这批货物共有 xt(吨)，则有 2.已知 x 1 ，x 2 是关于 x的方程 x 2 -kx+5(k-5)=0的两个正实数根，且满足 2x 1 +x 2 =7，则实数 k的值为_。（分数：4.00）A.5B.6 C.7D.8解析：解析 由韦达定理，得 x 1 +x 2 =k，x 1 x 2 =5(k-5)。因为 2x 1 +x 2 =7，故 x 1 =7-k，x 2 =2k-7。 故(7-k)(2k-7)=5(k-5)，即 k 2 -8k+12=0得 k=-2或 k=6。 又因为 =k 2 -20(k-5)=(k-10) 2 0，但 k=2时，x 1 x

9、 2 =-150，故 k=2不合题意，舍去。 所以 k的值为 6，故正确答案为 B。3.方程 （分数：4.00）A.x=1 B.x=2C.x=-1D.x=-2解析：解析 设 ，则原方程可化为 y 2 -3y+2=0，解得 y 1 =1，y 2 =2。 当 y 1 =1时， ，即 x 2 -x+1=0此方程无实根；当 y 2 =2时，有 4.复平面上一等腰直角三角形的 3个顶点按逆时针方向依次为 O、Z 1 和 Z 2 ， ，若 Z 1 对应的复数 ，则 Z 2 对应的复数 Z 2 =_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 OZ 1 绕 O旋转 角得 OZ 2 ，

10、5.已知 (nN)，那么 S的范围是_。 A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 6.展开式中的常数项是_。 （分数：4.00）A.12B.-12C.20D.-20 解析：解析 因 ，故有 令 6-2r=0，得 r=3， 7.用 5种不同的颜色涂在下图中的 4个区域里，每一区域涂 1种颜色，且相邻区域颜色不同，则共有_种涂法。 （分数：4.00）A.120B.140C.160D.180 解析：解析 从 A开始涂，有 5种颜色可选；然后涂 B，可选 4种颜色；再涂 C，可选 3种颜色；再涂D，可选 B，C 之外的颜色，共 3种。 故涂法为 5433=180种，选 D。8.把函数

11、(cos3x-sin3x)的图像适当变换就可以得到 y=sin(-3x)的图像，这种变换可以是_。 A沿 x轴方向向右平移 B沿 x轴方向向左平移 C沿 x轴方向向右平移 D沿 x轴方向向左平移 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 把它的图像向左平移 9.下列不等式中成立的是_。（分数：4.00）A.sin1sin4B.cos1cos4C.tan1tan4D.cot1cot4 解析：解析 由于 ，而 10.将边长为 a的正方形 ABCD沿对角线 AC折起，使得 BD=a，则三棱锥 D-ABC的体积为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 得 11.

12、过抛物线 y 2 =4x的焦点 F作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF与 FQ的长分别为 m和 n，则_。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 P(x 1 ，y 1 )，Q(x 2 ，y 2 )， ，则有 12.设 （分数：4.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析 当 x1 时， 连续；当 x1 时，f(x)=a(x+1)连续。又因为 ，则有13.当 x0 时， 是 x的_阶无穷小量。 A1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 比较无穷小量的阶时，要找最低阶数。 由于 当 x0 时是 x的 14.设 g(x)=1+x，当

13、x0 时， （分数：4.00）A.2B.-2 C.-1D.1解析：解析 将等式 两边对 x求导，得 又因 g(x)=1，所以 。令 x+1=t，则 15.与曲线 相切并与直线 x+y=4垂直的切线方程为_。 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由已知条件知切线斜率为 1，方程两边对 x求导得 令 ，联立曲线方程得切点坐标为 故切线方程为 即为 16.设 ，则 I的值为_。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 17.函数 （分数：4.00）A.1B.2C.1+e-1D.1+e-2 解析：解析 f(x)=(2-x 2 )e -a2 2x，令

14、f(x)=0，则得 ，x(0，+)。又当 时，f(x)0， 时，f(x)0， 18.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）A.-e-xf(e-x)+f(x)B.-e-x(e-x)-f(x) C.e-xf(e-x)-f(x)D.e-xf(e-x)+f(x)解析：解析 19.设商品销售量 x对价格 p的函数为 x=a-bp，a，b 正常数，若涨价可以增加收入，则应有_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 收入 y=xp=(a-bp)p=ap-bp 2 ，则得 y=a-2bp，驻点 20.设 （分数：4.00）A.0B.1 C.2D.4解析：解析 构造一个新的行

15、列式 虽然 D与 D 1 不同，但这两个行列式的代数余子式 A 21 、A 22 、A 23 是一样的。要计算行列式 D的代数余子式 A 21 、A 22 、A 23 的和可以通过行列式 D 1 来实现。 一方面，对行列式 D 1 按第 2行展开有 D 1 =A 21 +3A 22 +2A 23 另一方面，对 D 1 计算，有 21.设 A、B、C 均为 n阶矩阵，则 (1)若 AB，则|A|B| (2)若 AB=AC，且 A0，则 B=C (3)若 A 2 =E，且 AE，则 A=-E (4)若 A可逆，且 A -1 B=CA -1 ，B=C 则上述命题中，正确命题的个数是_。（分数：4.0

16、0）A.0 B.1C.2D.3解析：解析 (1)当矩阵 AB 时，行列式|A|与|B|有可能相等，也可能不相等。例如 ，虽 AB，但|A|=|B|，故(1)不正确。 (2)设 则 虽 AO，AB=AC，但 BC，故(2)不正确。 (3)设 22.已知 a 1 =(1，1，-1) T ，a 2 =(1，1，2) T ，满足 a 1 、a 2 、a 3 线性相关的向量 a 3 =_。（分数：4.00）A.(-1，1，0)TB.(3，-3，5)TC.(-1，0，0)TD.(0，0，3)T 解析：解析 3 个三维列向量 a 1 ，a 2 ，a 3 线性相关的充要条件是|a 1 ，a 2 ，a 3 |=

17、0。 由于 23.设 a 1 、a 2 、a 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b的三个解向量，且秩 r(A)=3，a 1 =(1，2，3，4，) T ，a 2 +a 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b的通解为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 r(A)=3，故线性方程组 Ax=0解空间的维数为 4-r(A)=1。又由 Aa 1 =b，Aa 2 =b，Aa 3 =b，知 ，于是 24.n阶矩阵 A与对角矩阵相似的充分必要条件是_。（分数：4.00）A.A有 n个不全相同的特征值B.AT有 n个不全相同的特征值C.A有 n个不相同的特征向量D.A有 n个线性无关的特征向量 解析：解析 显然 D为正确答案，注意 A、B 中“不全相同”与“全不相同”的差别。C 中有 n个不相同的特征向量，不是充分条件，因这 n个不相同的特征向量可以线性相关。25.若 =2 是可逆矩阵 A的一个特征值，则 有一个特征值是_。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 用定义法来求矩阵的特征值。