1、工程硕士(GCT)数学-16 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、单项选择题(总题数:25,分数:100.00)1.如果方程 有两个不同实根,那么参数是的取值范围是( )(分数:4.00)A.B.C.D.2.当 最小值是( )(分数:4.00)A.B.C.D.3.若 4x-5y=0,且 x0,则 的值为( )(分数:4.00)A.B.C.D.4.ABC 中,AB=3,BC= ,AC=4,则 AC上的高等于( )(分数:4.00)A.B.C.D.5.从 6名男同学和 4名女同学中随机选出 3名同学参加一项竞技测试,选出的三位同学中至少有一名女同学的不同选法共有( )种(分数
2、:4.00)A.60B.80C.100D.1206.不等式 1|x+1|3 的解集是( )(分数:4.00)A.(0,2)B.(-2,0)(2,4)C.(-4,0)D.(-4,-2)(0,2)7.已知 a1=2,a 2=2,且 an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,,则 a20,a 21和 a22的值分别是( )(分数:4.00)A.2,2,0B.2,0,2C.0,2,2D.0,2,08.若 (分数:4.00)A.B.C.D.9.设 (分数:4.00)A.B.C.D.10.设 f(x)在(-,+)内有定义,且 (分数:4.00)A.B.C.D.11.若 (分数:4.00)A.B.C.D
3、.12.如题 18图所示,g(x)的图形是直线段 OB,f(x)的图形是折线段 OAC,u(x)=fg(x),则 u(4)=( )(分数:4.00)A.B.C.D.13.若 (分数:4.00)A.B.C.D.14.分别标有号码 1,2,3,,9 的 9个球装在一个口袋中,从中任取 4个,取出的 4个球中有 5号球的概率是( )(分数:4.00)A.B.C.D.15.如图所示,三个圆的半径均为 a,三个圆两两相交于圆心,则图中阴影部分的面积为( )(分数:4.00)A.B.C.D.16.A是四阶矩阵,r(A)=3,又 1=(1,2,1,3)T, 2=(1,1,-1,1)T, 3=(1,3,3,5
4、)T, 4=(-3, -5,-1,-6)T均是齐次线性方程组 A*x=0的解向量,则 A*x=0的基础解系是( )(分数:4.00)A. 1B. 1, 2C. 1, 2, 3D. 1, 2, 417.已知 a(0,1),若函数 f(x)=logax在区间a,2a)上的最大值是最小值的 3倍,则 a=( )(分数:4.00)A.B.C.D.18.曲线 (分数:4.00)A.B.C.D.19.若 (分数:4.00)A.B.C.D.20.设 f(x)为连续函数, (分数:4.00)A.B.C.D.21.A是 n阶矩阵,|A|=0 的充分必要条件是:(1) Ax=0有非零解;(2) Ax=b有无穷多解
5、;(3) A的列向量组中任何一个向量可被其余 n-1个向量线性表出;(4) A的特征值全为 0;(5) A的行向量组线性相关以上结论正确的是( )(分数:4.00)A.(1)(2)(3)(5)B.(1)(2)(4)(5)C.(1)(5)D.(1)(2)(5)22.下列不等式成立的是( )(分数:4.00)A.B.C.D.23.已知 F1、F 2是椭圆 (ab0)的两焦点,B 为椭圆在 y轴上的顶点,F 1BF2= 120,则椭圆的离心率 e=( )(分数:4.00)A.B.C.D.24.设 an是一个无穷等比数列,公比 ,则 a1= ( )(分数:4.00)A.B.C.D.25.一底面直径为
6、4m的圆柱形水桶,其轴截面上有两点 A和 B,尺寸如题 15图所示,一蚂蚁由 A 点沿桶壁爬到 B点,则 A点到 B点的最短距离是( )m(分数:4.00)A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-16 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、单项选择题(总题数:25,分数:100.00)1.如果方程 有两个不同实根,那么参数是的取值范围是( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:由*平方并整理得 x2-x+k=0根据题意此方程有两个不同的非负实根,所以 *从而参数 k的取值范围是*故选 B2.当 最小值是( )(分数:4.00)A.B.C. D.解析:利用三角函数倍角公式
7、有*当且仅当*时等号成立所以 f(x)在*的最小值是 4故选 C3.若 4x-5y=0,且 x0,则 的值为( )(分数:4.00)A.B.C. D.解析:4x-5y=0,故*,又 x0,所以*故应选 C4.ABC 中,AB=3,BC= ,AC=4,则 AC上的高等于( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:设 AC上的高为 h,则ABC 的面积*故选 B5.从 6名男同学和 4名女同学中随机选出 3名同学参加一项竞技测试,选出的三位同学中至少有一名女同学的不同选法共有( )种(分数:4.00)A.60B.80C.100 D.120解析:从这 10名同学中任选 3名同学的选法有*,3 名
8、全是男同学的选法有*故至少有 1名女同学的不同选法共有 120-20=100(种)故应选 C6.不等式 1|x+1|3 的解集是( )(分数:4.00)A.(0,2)B.(-2,0)(2,4)C.(-4,0)D.(-4,-2)(0,2) 解析:如题 10图所示,在坐标系上作出函数,y=|x+1|的图象,再作直线 y=1和 y=3从图上可以看出当 x(-4,-2)(0,2)时,有 1y3*故选 D7.已知 a1=2,a 2=2,且 an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,,则 a20,a 21和 a22的值分别是( )(分数:4.00)A.2,2,0B.2,0,2 C.0,2,2D.0,2
9、,0解析:a 1=2,a2=2,a3=|a2-a1|=0,a4=|a3-a2|=2,a5=|a4-a3|=2,a6=|a5-a4|=0,由此可见,在 a1,a2,a3,中每 3个为 1组,分别以 2,2,0轮流出现,a20=a2=2,a21=a3=0,a22=a1=2故应选 B8.若 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:由|E-A|=0,即*=(-2)(-3) 2=0,求得 A的三个特征值为 1=2, 2=入 3=3对于 A的一重特征值 1=2,矩阵 A只有一个属于 1的线性无关的特征向量对于 A的二重特征值 2= 3=3矩阵 A可能有一个或两个属于 =3 的特征向量但 A的属于不同特征
10、值的特征向量是线性无关的而据题意,A 共有两个线性无关的特征向量因此对于 =3,矩阵 A只可能有一个属于它的线性无关的特征向量这样三元方程组(3E-A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解因此 r(3E-A)=2*故正确的选择应为 D9.设 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:由 C=ATB-1,则 C-1=(ATB-1)-1=(B-1)-1(AT)-1=B(AT)-1,即 C-1中第 3行第 2列的元素等于 B的第 3行左乘(A T)-1的第 2列*故应选 B10.设 f(x)在(-,+)内有定义,且 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:*注 本题也可用特殊值代入法*11.若
11、 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:因*,原式*故选 C12.如题 18图所示,g(x)的图形是直线段 OB,f(x)的图形是折线段 OAC,u(x)=fg(x),则 u(4)=( )(分数:4.00)A.B.C. D.解析:从题 18图可知 g(4)=2,g(x)等于直线 OB的斜率 kOB,易知*当 x(1,4)时,f(x)等于直线AC的斜率 kAC,易知*根据复合函数求导法则*13.若 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*故应选 D14.分别标有号码 1,2,3,,9 的 9个球装在一个口袋中,从中任取 4个,取出的 4个球中有 5号球的概率是( )(分数:4.00)A.
12、B.C.D. 解析:从 9个球中任取 4个,共有*取法,取出的 4个球中有 5号球的取法共有*,严求概率为*故应选 D15.如图所示,三个圆的半径均为 a,三个圆两两相交于圆心,则图中阴影部分的面积为( )(分数:4.00)A. B.C.D.解析:连接三圆的交点 A,B,C和 CD,CE如图。根据原题图的对称性,曲边形 ABF与曲边形 ABC的面积相差弓形 AmB的面积的两倍,而这两倍弓形的面积正好割下补到弓形 EnC和 CpD上,这样原来所求阴影部分的面积恰为半圆 EDm的面积。依题意,该半圆半径为 a故半圆面积为*。故应选 A*16.A是四阶矩阵,r(A)=3,又 1=(1,2,1,3)T
13、, 2=(1,1,-1,1)T, 3=(1,3,3,5)T, 4=(-3, -5,-1,-6)T均是齐次线性方程组 A*x=0的解向量,则 A*x=0的基础解系是( )(分数:4.00)A. 1B. 1, 2C. 1, 2, 3D. 1, 2, 4 解析:因 A是四阶矩阵且 r(A)=3,故 r(A*)=1,于是 A*x=0的基础解系应包括 n-r(A*)= 4-1=3个线性无关的解向量已知 1, 2, 3, 4均为齐次线性方程组 A*x=0的解向量,故我们考查其秩是否为 3若r( 1, 2, 3, 4)=3,则它的一个极大无关组必为一个基础解系由*得 r=3主元所在列为 1,2,4,故 1,
14、 2, 4为一个极大线性无关组因此应选 D17.已知 a(0,1),若函数 f(x)=logax在区间a,2a)上的最大值是最小值的 3倍,则 a=( )(分数:4.00)A. B.C.D.解析:因为 0a1,所以 f(x)=logax为减函数由已知 logaa=3loga2a,所以 loga2a=*,即*故选 A18.曲线 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*可得 y=1和 y=-1是曲线 f(x)的两条水平渐近线由*,可得 x=2和 x=3是曲线 f(x)的两条垂直渐近线所以,曲线 f(x)有 2条水平渐近线和 2条垂直渐近线故应选 D19.若 (分数:4.00)A.B.C. D.
15、解析:*依题意,有某个 0kn,使 5k=3n故应选 C20.设 f(x)为连续函数, (分数:4.00)A.B. C.D.解析:设 F(x)是 f(x)的一个原函数,则*而 d(cosx)=cosxdx-xsinxdx,因此*故应选 B21.A是 n阶矩阵,|A|=0 的充分必要条件是:(1) Ax=0有非零解;(2) Ax=b有无穷多解;(3) A的列向量组中任何一个向量可被其余 n-1个向量线性表出;(4) A的特征值全为 0;(5) A的行向量组线性相关以上结论正确的是( )(分数:4.00)A.(1)(2)(3)(5)B.(1)(2)(4)(5)C.(1)(5) D.(1)(2)(5
16、)解析:由已知得,*有非零解故(1)正确但 r(A)n,不能保证 r(A)=r(Ab)故(2)不一定成立相反,若 Ax=b有无穷多解* r(A)=r(Ab)n故(2)应排除由于矩阵的秩和其行向量组及列向量组的秩均相等,故*的列向量组或行向量组)n*A 的列向量组(行向量组)线性相关故(5)正确但列向量组线性相关*存在某个向量可被其余 n-1个向量线性表出并不是每个向量均可被其余 n-1个向量线性表出故(3)应排除又*有特征值 0但并不是 A的 n个特征值均为 0故(4)也应排除故应选 C22.下列不等式成立的是( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*再设 g(x)=sinx-x,则
17、g(0)=0,g(x)=cosx-10所以当 x0 时,g(x)g(0)=0,当 xO 时,g(x)g(0)=0即当 x0 时,sinx-x0,当 x0 时,sinx-x0从而当 x0 时,f(x)0,因此当 x0 时,f(x)是单调递减函数由此,当 x0 时, f(x)f(0)=0,当 x0 时,f(x)f(0)=0,即当 x0 时,*,当 x0 时,*故应选 D23.已知 F1、F 2是椭圆 (ab0)的两焦点,B 为椭圆在 y轴上的顶点,F 1BF2= 120,则椭圆的离心率 e=( )(分数:4.00)A.B.C. D.解析:如题 13图所示,作椭圆草图F 1BF2=120,所以BF 1O=30,|F 1O|=c,所以*,因为 a2-c2=b2,所以*,即*离心率*故选 C24.设 an是一个无穷等比数列,公比 ,则 a1= ( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*其中*,当 n+时,上式的极限*所以 a1=2,故选 D25.一底面直径为 4m的圆柱形水桶,其轴截面上有两点 A和 B,尺寸如题 15图所示,一蚂蚁由 A 点沿桶壁爬到 B点,则 A点到 B点的最短距离是( )m(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:桶壁展开图和 A点与 B点如题 15图所示,A 点到 B点的最短距离为它们的连线的直线距离,根据勾股定理得*故正确的选择应为 D
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