2015年山东省莱芜市中考真题数学.docx

1、 2015 年山东省莱芜市中考真题数学 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3分） 1. 3 的相反数是（ ） A.3 B. 3 C. D. 解析 ： 3 的相反数是 3， 答案： A. 2.将数字 2.0310 3化为小数是（ ） A.0.203 B.0.0203 C.0.00203 D.0.000203 解析 ： 2.0310 3化为小数是 0.00203. 故选 C. 3.下列运算正确的是（ ） A.（ a2） a3= a6 B.a6a 3=a2 C.a2+a3=a5 D.（ a3） 2=a6 解析 ： A、（ a2） a3= a5，故错误； B、 a6a 3=a3，故错误； C、

2、 a2 a3=a5，故错误； D、正确； 答案： D. 4.要使二次根式 32x 有意义，则 x 的取值范围是（ ） A.x B.x C.x D.x 解析 ：依题意得 3 2x0 ， 解得 x . 答案： B. 5.如图， AB CD， EF 平分 AEG，若 FGE=40 ，那么 EFG 的度数为（ ） A.35 B.40 C.70 D.140 解析 ： AB CD， FGE=40 ， AEG+ FGE=180 ， AEG=140 ， EF 平分 AEG， AEF= AEG=70 ， AB CD， EFG= AEF=70 . 答案： C. 6.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是

3、（ ） A. B. C. D. 解析 ： A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确 . 答案： D. 7.为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续 6 天的最高气温，结果如下（单位： ）： 6， 3， x， 2， 1， 3.若这组数据的中位数是 1，则下列结论错误的是（ ） A.方差是 8 B.极差是 9 C.众数是 1 D.平均数是 1 解析 ： 根据题意可知 x= 1， 平均数 =（ 6 3 1 1+2+3） 6=

4、 1， 数据 1 出现两次最多， 众数为 1， 极差 =3（ 6） =9， 方差 = （ 6+1） 2+（ 3+1） 2+（ 1+1） 2+（ 2+1） 2+（ 1+1） 2+（ 3+1） 2=9. 答案： A. 8.下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（ ） A. B. C. D. 解析 ： A、主视图和左视图都为圆，所以 A 选项错误； B、主视图和左视图都为矩形的，所以 B 选项正确； C、主视图和左视图都为等腰三角形，所以 C 选项错误； D、主视图为矩形，左视图为圆，所以 D 选项错误 . 答案： B. 9.一个多边形除一个内角外其余内角的和为 1510 ，则这个多边形对角线的条

5、数是（ ） A.27 B.35 C.44 D.54 解析 ：设这个内角度数为 x，边数为 n， （ n 2） 180 x=1510， 180n=1870+x， n 为正整数， n=11， 11?2（ 11- 3）=44， 答案： C. 10.甲乙两人同时从 A 地出发到 B 地，如果甲的速度 v 保持不变，而乙先用 v 的速度到达中点，再用 2v 的速度到达 B 地，则下列结论中正确的是（ ） A.甲乙同时到达 B 地 B.甲先到达 B 地 C.乙先到达 B 地 D.谁先到达 B 地与速度 v 有关 解析 ：设从 A 地到 B 地的距离为 2s， 而甲的速度 v 保持不变， 甲所用时间为 ，

6、又 乙先用 v 的速度到达中点，再用 2v 的速度到达 B 地， 乙所用时间为 221 2 22s s s s sv v v vv ， 甲先到达 B 地 . 答案： B. 11.如图，在矩形 ABCD 中， AB=2a， AD=a，矩形边上一动点 P 沿 ABCD 的路径移动 .设点 P 经过的路径长为 x， PD2=y，则下列能大致反映 y 与 x的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 解析 ：（ 1）当 0t2a 时， PD2=AD2+AP2， AP=x， y=x2+a2. （ 2）当 2a t3a 时， CP=2a+a x=3a x， PD2=CD2+CP2， y=（ 3a x

7、） 2+（ 2a） 2=（ x 3a） 2+4a2. （ 3）当 3a t5a 时， PD=2a+a+2a x=5a x， PD2=y， y=（ 5a x） 2=（ x 5a） 2， 综上，可得 y=222, 0 26 1 3 , 2 3- 5 3 5x a x ax a x a a x ax a a x a （ ） ， 能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是选项 D 中的图象 . 答案： D. 12.如图，在直角梯形 ABCD 中， AB CD， AB BC，以 BC 为直径的 O与 AD 相切，点 E 为 AD的中点，下列结论正确的个数是（ ） （ 1） AB+CD=AD； （ 2）

8、S BCE=S ABE+S DCE； （ 3） AB CD= ； （ 4） ABE= DCE. A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ： 设 DC 和半圆 O 相切的切点为 F， 在直角梯形 ABCD 中 AB CD， AB BC， ABC= DCB=90 ， AB 为直径， AB， CD 是圆的切线， AD 与以 AB 为直径的 O 相切， AB=AF， CD=DF， AD=AE+DE=AB+CD，故 正确； 如图 1，连接 OE， AE=DE， BO=CO， OE AB CD， OE= （ AB+CD）， OE BC， S BCE= BC OE= （ AB+CD） = （ AB+CD） B

9、C= =S ABE+S DCE， 故 正确； 如图 2，连接 AO， OD， AB CD， BAD+ ADC=180 ， AB， CD， AD 是 O 的切线， OAD+ EDO= （ BAD+ ADC） =90 ， AOD=90 ， AOB+ DOC= AOB+ BAO=90 ， BAO= DOC， ABO OCD， ， AB CD=OB OC= BC BC= BC2，故 正确， 如图 1， OB=OC， OE BC， BE=CE， BEO= CEO， AB OE CD， ABE= BEO， DCE= OEC， ABE= DCE，故 正确， 综上可知正确的个数有 4 个， 答案： D. 二、

10、填空题（本大题共 5 小题，每小题填对得 4分，共 20 分，请填在答题卡上） 13.计算： | 2|+（ 1） 3+2 1= . 解析 ：原式 =3 2 1+ = ， 答案 ： 14.已知 m+n=3， m n=2，则 m2 n2= . 解析 ： m2 n2 =（ m+n）（ m n） =32 =6. 答案 ： 6. 15.不等式组 的解集为 . 解析 ： 323 2 ( 1) 4xxxx 由 得： x 1， 由 得： x 2， 不等式组的解集是 1x 2， 答案 ： 1x 2. 16.如图，在扇形 OAB 中， AOB=60 ，扇形半径为 r，点 C 在 上， CD OA，垂足为 D，当

11、OCD 的面积最大时， 的长为 . 解析 ： OC=r，点 C 在 上， CD OA， DC= S OCD= OD S OCD2= OD2 （ r2 OD2） = OD4+ r2OD2= （ OD2 ） 2+ 当 OD2= ，即 OD= r 时 OCD 的面积最大， OCD=45 ， COA=45 ， 的长为： 45180r= r ， 答案 ： . 17.如图，反比例函数 y= （ x 0）的图象经过点 M（ 1， 1），过点 M 作 MN x 轴，垂足为N，在 x 轴的正半轴上取一点 P（ t， 0），过点 P 作直线 OM 的垂线 l.若点 N关于直线 l的对称点在此反比例函数的图象上，则

12、 t= . 解析 ： 如图， 点 M 坐标为（ 1， 1）， k= 11= 1， 反比例函数解析式为 y= ， ON=MN=1， OMN 为等腰直角三角形， MON=45 ， 直线 l OM， OPQ=45 ， 点 N 和点 N 关于直线 l 对称， PN=PN ， NN PQ， N PQ= OPQ=45 ， N PN=90 ， N P x 轴， 点 N 的坐标为（ t， ）， PN=PN ， t 1=| |= ， 整理得 t2 t 1=0，解得 t1= ， t2= （不符合题意，舍去）， t 的值为 . 答案 ： . 三、 解析 题（本大题共 7 小题，共 64 分， 解析 要写出必要的文字

13、说明、证明过程或推演步骤） 18.先化简，再求值： 223 4 41- 1 1xxx x （ ），其中 x=3. 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 =21 - 1131 2xxx x x （ ） （ ）（ ）=21 - 121 2xxxx x （ ） （ ）（ ）= 12xx当 x=3 时，原式 =2. 19.为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息 解析 系列问题： 成绩 频数 频率 优

14、秀 45 b 良好 a 0.3 合格 105 0.35 不合格 60 c （ 1）该校初四学生共有多少人？ （ 2）求表中 a， b， c 的值，并补全条形统计图 . （ 3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率 . 解析 ： （ 1）利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数； （ 2）利用（ 1）中所求，结合频数 总数 =频率，进而求出答案； （ 3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 . 答案 ：（ 1）由题意可得：该校初四学生共有： 10

15、50.35=300 （人）， 答：该校初四学生共有 300 人； （ 2）由（ 1）得： a=3000.3= 90（人）， b= =0.15， c= =0.2； 如图所示； （ 3）画树形图得： 一共有 12 种情况，抽取到甲和乙的有 2 种， P（抽到甲和乙） = = . 20.为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港 .某日在观测点 A 处发现在其北偏西 36.9 的 C 处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西 B处有一股强台风正以每小时 40 海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港 D 处进行躲避 .已知避风港 D 在观测点

16、A 的正北方向，台风中心 B在观测点A 的北偏西 67.5 的方向，渔船 C 与观测点 A 相距 350海里，台风中心的影响半径为 200海里，渔船的速度为每小时 18 海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（ sin36.90.6 ， tan36.90.75 ， sin67.50.92 ， tan67.52.4 ） 解析 ： 先解 Rt ADC，求出 CD=AC sin DAC3500.6=210 海里， AD= 22AC CD =280海里，那么渔船到的避风港 D处所用时间： 21018=11 小时 .再解 Rt ADB，求出 BD=AD tan BAD2802.4=672 海里，那么

17、BC=BD CD672 210=462 海里 .设强台风移动到渔船 C后面 200 海里时所需时间为 x 小时，根据追及问题的等量关系列出方程（ 40 18） x=462200，解方程求出 x=11 ，由于 11 11 ，所以渔船能顺利躲避本次台风的影响 . 答案 ：由题意可知 BAD=67.5 ， CAD=36.9 ， AC=350 海里 . 在 Rt ADC 中， ADC=90 ， DAC=36.9 ， AC=350 海里， CD=AC sin DAC3500.6=210 海里， AD= 22AC CD =280 海里 . 渔船到的避风港 D 处所用时间： 21018=11 小时 . 在

18、Rt ADB 中， ADB=90 ， BAD=67.5 ， BD=AD tan BAD2802.4=672 海里， BC=BD CD672 210=462 海里 . 设强台风移动到渔船 C 后面 200 海里时所需时间为 x 小时，根据题意得 （ 40 18） x=462 200， 解得 x=11 ， 11 11 ， 渔船能顺利躲避本次台风的影响 . 21.如图， ABC 是等腰直角三角形， ACB=90 ，分别以 AB， AC 为直角边向外作等腰直角 ABD 和等腰直角 ACE， G 为 BD 的中点，连接 CG， BE， CD， BE 与 CD交于点 F. （ 1）判断四边形 ACGD 的

19、形状，并说明理由 . （ 2）求证： BE=CD， BE CD. 解析 ： （ 1）利用等腰直角三角形的性质易得 BD=2BC，因为 G为 BD 的中点，可得 BG=BC，由 CGB=45 ， ADB=45 得 AD CG，由 CBD+ ACB=180 ，得 AC BD，得出四边形 ACGD为平行四边形； （ 2）利用全等三角形的判定证得 DAC BAE，由全等三角形的性质得 BE=CD；首先证得四边形 ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得 BCE CAD，易得 CBE=ACD，由 ACB=90 ，易得 CFB=90 ，得出结论 . 答案 ： （ 1） ABC 是等腰直角三角形

20、， ACB=90 ， AB= BC， ABD 和 ACE 均为等腰直角三角形， BD= =BC =2BC， G 为 BD 的中点， BG= BD=BC， CBG 为等腰直角三角形， CGB=45 ， ADB=45 ， AD CG， ABD=45 ， ABC=45 CBD=90 ， ACB=90 ， CBD+ ACB=180 ， AC BD， 四边形 ACGD 为平行四边形； （ 2）证明： EAB= EAC+ CAB=90+45=135 ， CAD= DAB+ BAC=90+45=135 ， EAB= CAD， 在 DAC 与 BAE 中， DAC BAE， BE=CD； EAC= BCA=9

21、0 ， EA=AC=BC， 四边形 ABCE 为平行四边形， CE=AB=AD， 在 BCE 与 CAD 中， BCE CAD， CBE= ACD， ACD+ BCD=90 ， CBE+ BCD=90 ， CFB=90 ， 即 BE CD. 22.今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费 40 万元，第二次花费 60 万元 .已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了 500 元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了 500 元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两 倍 . （ 1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？ （ 2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独

22、加工成蒜粉，每天可加工 8 吨大蒜，每吨大蒜获利 1000 元；若单独加工成蒜片，每天可加工 12 吨大蒜，每吨大蒜获利 600 元 .由于出口需要，所有采购的大蒜必需在 30 天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？ 解析 ： （ 1）设去年每吨大蒜的平均价格是 x 元，则第一次采购的平均价格为（ x+500）元，第二次采购的平均价格为（ x 500）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解； （ 2）先求出今年所采购的大蒜数，根据采购的大蒜必需在 30 天内加工完毕，蒜粉的大蒜数量不少

23、于加工蒜片的大蒜数量的一半，据此列不等式组求解，然后求出最大利润 . 答案 ：（ 1）设去年每吨大蒜的平均价格是 x 元， 由题意得， 解得： x=3500， 经检验： x=3500 是原分式方程的解，且符合题意， 答：去年每吨大蒜的平均价格是 3500 元； （ 2）由（ 1）得，今年的大蒜数为： 40000040003=300 （吨）， 设应将 m 吨大蒜加工成蒜粉，则应将（ 300 m）吨加工成蒜片， 由题意得，3002300 308 1 2mmmm ， 解得： 100m120 ， 总利润为： 1000m+600（ 300 m） =400m+180000， 当 m=120 时，利润最大，

24、为 228000 元 . 答：应将 120 吨大蒜加工成蒜粉，最大利润为 228000 元 . 23.如图，已知 AB 是 O 的直径， C 是 O 上任一点（不与 A， B 重合）， AB CD于 E， BF 为 O 的切线， OF AC，连结 AF， FC， AF 与 CD 交于点 G，与 O 交于点 H，连结 CH. （ 1）求证： FC 是 O 的切线； （ 2）求证： GC=GE； （ 3）若 cos AOC= ， O 的半径为 r，求 CH 的长 . 解析 ：（ 1）首先根据 OF AC， OA=OC，判断出 BOF= COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出 BOF COF，

25、推得 OCF= OBF=90 ，再根据点 C 在 O 上，即可判断出 FC是 O 的切线 . （ 2）延长 AC、 BF交点为 M.由 BOF COF可知： BF=CF然后再证明： FM=CF，从而得到 BF=MF，因为 DC BM，所以 AEG ABF， AGC AFM，然后依据相似三角形的性质可证 GC=GE； （ 3）因为 cos AOC= ， OE= ， AE= .由勾股定理可求得 EC= .AC= .因为 EG=GC，所以 EG= .由（ 2）可知 AEG ABF，可求得 CF=BF= .在 Rt ABF 中，由勾股定理可求得 AF=3r.然后再证明 CFH AFC，由相似三角形的性

26、质可求得 CH 的长 . 答案 ：（ 1）证明： OF AC， BOF= OAC， COF= OCA， OA=OC， OAC= OCA， BOF= COF， 在 BOF 和 COF 中， ， BOF COF， OCF= OBF=90 ， 又 点 C 在 O 上， FC 是 O 的切线 . （ 2）如下图：延长 AC、 BF 交点为 M. 由（ 1）可知： BOF COF， OFB= CFO， BF=CF. AC OF， M= OFB， MCF= CFO. M= MCF. CF=MF. BF=FM. DC BM， AEG ABF， AGC AFM. 又 BF=FM， EG=GC. （ 3）如下图

27、所示： cos AOC= ， OE= ， AE= . 在 Rt GOC 中， EC= 在 Rt AEC 中， AC= EG=GC， AEG ABF， BF= . CF= . 在 Rt ABF 中， 2 2 2 22 5 3A F A B B F r r r （ ） （ ）. CF 是 O 的切线， AC 为弦， HCF= HAC. 又 CFH= AFC， CFH AFC. CH= 309 r. 24.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（ a0 ）经过点 A（ 3， 2）， B（ 0， 2），其对称轴为直线 x= ， C（ 0， ）为 y 轴上一点，直线 AC 与抛物线交于另一点 D. （

28、1）求抛物线的函数表达式； （ 2）试在线段 AD 下方的抛物线上求一点 E，使得 ADE 的面积最大，并求出最大面积； （ 3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得 ADF 是直角三角形？如果存在，求点 F的坐标；如果不存在，请说明理由 . 解析 ： （ 1）利用待定系数法求抛物线解析式； （ 2）作 EP y 轴交 AD 于 P，如图 1，先利用待定系数法求出直线 AD 的解析式为 y= x+ ，再通过解方程组2 51 2661122y x xyx 得 D（ 5， 2），设 E（ x， x2 x 2）（ 3 x 5），则 P（ x， x+ ），所以 PE= x2+ x+ ，根据三角形面

29、积公式和 S AED=S AEP+S DEP可得 S AED= （ x 1） 2+ ，然后根据二次函数的最值问题求出 ADE 的面积最大，且求出对应的 E点坐标； （ 3）设 F（ ， t），根据两点间的距离公式得到 AD2=（ 5+3） 2+（ 2 2） 2=80， AF2=（ +3）2+（ t 2） 2， DF2=（ 5 ） 2+（ t 2） 2，然后根据勾股定理的逆定理分类讨论：当 AD2+AF2=DF2， ADF 是直角三角形，则 80+（ +3） 2+（ t 2） 2=（ 5 ） 2+（ t 2） 2；当 AD2+DF2=AF2， ADF 是直角三角形，则 80+（ 5 ） 2+（

30、t 2） 2=（ +3） 2+（ t 2） 2；当 DF2+AF2=AD2， ADF 是直角三角形，则（ +3） 2+（ t 2） 2+（ 5 ） 2+（ t 2） 2， =80，再分别解关于t 的方程确定 t 的值，从而得到 F 点的坐标 . 答案 ：（ 1）根据题意得9 3 22522a b ccba ，解得16562abc ， 所以抛物线解析式为 y= x2 x 2； （ 2）作 EP y 轴交 AD 于 P，如图 1， 设直线 AD 的解析式为 y=mx+n， 把 A（ 3， 2）， C（ 0， ）分别代入得 3012mnn ，解得1212mn 所以直线 AD 的解析式为 y= x+

31、， 解方程组2 51 2661122y x xyx 得 32xy或 52xy，则 D（ 5， 2）， 设 E（ x， x2 x 2）（ 3 x 5），则 P（ x， x+ ）， PE= x+ （ x2 x 2） = x2+ x+ ， S AED=S AEP+S DEP = （ 5+3） （ x2+ x+ ） = （ x 1） 2+ ， 当 x=1 时， ADE 的面积最大，最大面积为 ，此时 E 点坐标为（ 1， ）； （ 3）存在 . 设 F（ ， t），如图 2， A（ 3， 2）， D（ 5， 2）， AD2=（ 5+3） 2+（ 2 2） 2=80， AF2=（ +3） 2+（ t 2

32、） 2， DF2=（ 5 ） 2+（ t 2） 2， 当 AD2+AF2=DF2， ADF 是直角三角形，则 80+（ +3） 2+（ t 2） 2=（ 5 ） 2+（ t 2） 2，解得 t=13，此时 F 点坐标为（ ， 13）； 当 AD2+DF2=AF2， ADF 是直角三角形，则 80+（ 5 ） 2+（ t 2） 2=（ +3） 2+（ t 2） 2，解得 t= 7，此时 F 点坐标为（ ， 7）； 当 DF2+AF2=AD2， ADF 是直角三角形，则（ +3） 2+（ t 2） 2+（ 5 ） 2+（ t 2） 2， =80，解得 t= ，此时 F 点坐标为 （ ， ） 或（ ， ）， 综上所述， F 点的坐标为（ ， 13）或（ ， 7）或（ ， ）或（ ， ） .