【考研类试卷】经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）-试卷1及答案解析.doc

1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）-试卷 1及答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、逻辑推理(总题数：43，分数：80.00)1.单项选择题_2.设某商品的需求函数为 Q=160-2P，其中 Q，P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是( )（分数：2.00）A.10。B.20。C.30。D.40。3.设函数 f(x)在点 x=a处可导，则函数|f(x)|在 x=a点处不可导的充分条件是( )。（分数：2.00）A.f(a)=0且 f“(a)=0B.f(a)=0且 f(a)0C.f(a)0 且 f“(a)0D.a(a)0 且 f(a

2、)04.设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f(b)0，则下列结论中错误的是( )。（分数：2.00）A.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )f(a)。B.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )f(b)。C.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )=0。D.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )=0。5.设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有|f(x)|x 2 ，则 x=0必是 f(x) 的( )。（分数：2.00）A.间断点B.连续而不可导点C.可导的点，且 f“(0)=0D.可导的点，且

3、f(0)06.设 f(x)= （分数：2.00）A.a=1，b=0B.a=0，b 为任意常数C.a=0，b=0D.a=1，b 为任意常数7.设 f(x)=3x 3 +x 2 |x|，则使 f (n) (0)存在的最高导数 n为( )。（分数：2.00）A.0B.1C.2D.38.某商品的需求量 Q对阶格的弹性为 =pln3，已知该商品的最大需求量为 1200，则需求量 Q关于价格 P的函数关系式为( )。（分数：2.00）A.Q=12003 -PB.Q=12003e -PC.Q=1200e -3PD.Q=12003 P9.设函数 f(x)在 X=1的某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.不可

4、导点B.可导点，但非驻点C.驻点，但非极值点D.驻点，且为极值点10.若极限 （分数：2.00）A.不一定可导B.不一定可导，但 f + (a)=AC.不一定可导，但 f“ + (a)=AD.可导，且 f(a)=A11.设 f(x)在 x=0的某邻域连续且 f(0)=0， （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(0)0C.有极大值D.有极小值12.若 xf“(x)+3xf(x) 2 =1一 e -x 且 f(x 0 )=0(x 0 0)，则( )。（分数：2.00）A.(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点B.f(x 0 )是 f(x)的极小值C.f(x 0 )不是 f(x)

5、的极值，(x 0 ，f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )是 f(x)的极大值13.设 f(x)=arccos(x 2 )则，f(x)=( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.14.函数 f(x)=x 3 +6x 2 +9x，那么( )。（分数：2.00）A.x=一 1为 f(x)的极大值点B.x=一 1为 f(x)的极小值点C.x=0为 f(x)的极大值点D.x=0为 f(x)的极小值点15.设函数 f(x)在开区间(a，b)内有 f(x)0，且 f“(x)0，则 y=f(x)在(a，b)内( )（分数：2.00）A.单调增加，图像上凹B.单调增加，图像下凹C.单

6、调减少，图像上凹D.单调减少，图像下凹16.函数 f(x)=InxIn(1-x)的定义域是( )。（分数：2.00）A.(一 1，+)B.(0，+)C.(1，+)D.(0，1)17.x=0是函数 f(x)= （分数：2.00）A.零点B.驻点C.极值点D.非极值点18.填空题_19.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_20.设 y=f(lnx) f(x) ，其中 f可微，则 dy= 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_22.设函数 y=f(x)由方程 e 2x+y -cos(xy)=e一 1所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的

7、法线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_23. （分数：2.00）填空项 1:_24. （分数：2.00）填空项 1:_25. （分数：2.00）填空项 1:_26.设 y=f(x)由方程 y=1+xe xy 确定，则 dy| x=0 = 1，y“| x=0 = 2。（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_27.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_28.设某商品的需求量 Q与价格 P的函数关系为 Q=100-5P。若商品的需求弹性的绝对值大于 1，则该商品价格 P的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_29.计算题_30.证明拉格朗日中值定理若函数 f(x)在a

8、，b上连续，在(a，b)上可导，则存在 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=f()(b-a)。（分数：2.00）_31.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(0ab)，证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_32.设函数 f(x)二阶可导，f“(x)0，x(一，+)，函数 u在区间a，b(a0)上连续，证明：（分数：2.00）_33.(1)求曲线 C：y=x 2 +x在点(一 1，0)上的切线。 (2)求圆方程为 x 2 +y 2 =4在点(2，2)的切线。（分数：2.00）_34.计算下列各题： （分数：2.00）_35.已知函数 f(x)=x x + （分数：2.0

9、0）_36.计算下列各题： (I)由方程 x y =y x 确定 x=x(y)，求 。 (II)方程 y -x e y =1确定 y=y(x)，求 y n 。 ()设 2xtan(x一 y)= 0 x-y sec 2 tdy(xy)，求 （分数：2.00）_37.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f“(a)=2，求 g“(3)。（分数：2.00）_38.设 f(x)=cosx一 2x，且 f(0)=2，求 f(x)。（分数：2.00）_39.设 f(x)= （分数：2.00）_40.求函数 f(x)=2x 3 +3x 2 一 12x+1的极值。（分数：2.00

10、）_41.求函数 f(x)=(x-1) 2 (x+1) 2 的单调增减区间和极值。（分数：2.00）_42.求函数 （分数：2.00）_43.设函数 y=f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)= 。证明：存在 （分数：2.00）_经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）-试卷 1答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、逻辑推理(总题数：43，分数：80.00)1.单项选择题_解析：2.设某商品的需求函数为 Q=160-2P，其中 Q，P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是( )（分数：2.00）

11、A.10。B.20。C.30。D.40。 解析：解析： 由题可知：|E p |=1，则 3.设函数 f(x)在点 x=a处可导，则函数|f(x)|在 x=a点处不可导的充分条件是( )。（分数：2.00）A.f(a)=0且 f“(a)=0B.f(a)=0且 f(a)0 C.f(a)0 且 f“(a)0D.a(a)0 且 f(a)0解析：4.设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f(b)0，则下列结论中错误的是( )。（分数：2.00）A.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )f(a)。B.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )f(b)。C.至少存在一点 x

12、 0 (a，b)，使得 f(x 0 )=0。D.至少存在一点 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )=0。 解析：5.设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有|f(x)|x 2 ，则 x=0必是 f(x) 的( )。（分数：2.00）A.间断点B.连续而不可导点C.可导的点，且 f“(0)=0 D.可导的点，且 f(0)0解析：6.设 f(x)= （分数：2.00）A.a=1，b=0B.a=0，b 为任意常数C.a=0，b=0 D.a=1，b 为任意常数解析：7.设 f(x)=3x 3 +x 2 |x|，则使 f (n) (0)存在的最高导数 n为( )。（分数：

13、2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：8.某商品的需求量 Q对阶格的弹性为 =pln3，已知该商品的最大需求量为 1200，则需求量 Q关于价格 P的函数关系式为( )。（分数：2.00）A.Q=12003 -P B.Q=12003e -PC.Q=1200e -3PD.Q=12003 P解析：9.设函数 f(x)在 X=1的某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.不可导点B.可导点，但非驻点C.驻点，但非极值点D.驻点，且为极值点 解析：10.若极限 （分数：2.00）A.不一定可导 B.不一定可导，但 f + (a)=AC.不一定可导，但 f“ + (a)=AD.可导，且 f(a)=A解

14、析：11.设 f(x)在 x=0的某邻域连续且 f(0)=0， （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(0)0C.有极大值D.有极小值 解析：12.若 xf“(x)+3xf(x) 2 =1一 e -x 且 f(x 0 )=0(x 0 0)，则( )。（分数：2.00）A.(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点B.f(x 0 )是 f(x)的极小值 C.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ，f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )是 f(x)的极大值解析：13.设 f(x)=arccos(x 2 )则，f(x)=( )。 （分数：2.00）A.B

15、.C.D. 解析：14.函数 f(x)=x 3 +6x 2 +9x，那么( )。（分数：2.00）A.x=一 1为 f(x)的极大值点B.x=一 1为 f(x)的极小值点 C.x=0为 f(x)的极大值点D.x=0为 f(x)的极小值点解析：15.设函数 f(x)在开区间(a，b)内有 f(x)0，且 f“(x)0，则 y=f(x)在(a，b)内( )（分数：2.00）A.单调增加，图像上凹B.单调增加，图像下凹C.单调减少，图像上凹 D.单调减少，图像下凹解析：16.函数 f(x)=InxIn(1-x)的定义域是( )。（分数：2.00）A.(一 1，+)B.(0，+)C.(1，+)D.(0

16、，1) 解析：17.x=0是函数 f(x)= （分数：2.00）A.零点B.驻点C.极值点D.非极值点 解析：18.填空题_解析：19.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2，+)）解析：20.设 y=f(lnx) f(x) ，其中 f可微，则 dy= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：21.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：22.设函数 y=f(x)由方程 e 2x+y -cos(xy)=e一 1所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为 1。（分数：2.00）填空

17、项 1:_ （正确答案：正确答案：x 一 2y+2=0）解析：23. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：24. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：25. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1+2t)e 2t）解析：解析：先求出 f(t)，再求 f(t)。由于 26.设 y=f(x)由方程 y=1+xe xy 确定，则 dy| x=0 = 1，y“| x=0 = 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析：根据隐函数微分法有 dy=e xy d

18、x+xd(e xy )=e xy dx+xe xy (ydx+xdy)。 由 y(0)=1，在上述等式中令 x=0，得到 dy=dx。 另外，由隐函数求导法则得到 y=e xy +xe xy (y+xy) 两边再次关于x求导一次，得到 y n =e xy (x 2 y“+2xy+xy+y)+e xy (x 2 y+xy+1)(xy+y) 再次令x=0，y(0)=1，由式得到 y(0)=1，由式得到 y“(0)=2。27.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=0 ）解析：28.设某商品的需求量 Q与价格 P的函数关系为 Q=100-5P。若商品的需求弹性的绝对值

19、大于 1，则该商品价格 P的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10P20。）解析：29.计算题_解析：30.证明拉格朗日中值定理若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导，则存在 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=f()(b-a)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 首先将上 f“()中的 改成是自变量 x，则我们可以得到 f(b)-f(a)=f(x)(b-a)， 再进一步积分可得：f(b)-f(a)x=f(x)(b-a) 移项可得：F(x)=f(b)-f(a)x-f(x)(b-a) 分别代入 x=a，x=b 可得： F(a)=f(b)

20、-f(a)a-f(a)(b-a)=f(b)a-f(a)b F(b)=f(b)-f(a)b-f(b)(b-a)=f(b)a-f(a)b 即 F(a)=F(b)， 即至少存在一点 (a，b)，使得 F()=0 得至 f(b)-f(a)=f()(b-a)。)解析：31.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(0ab)，证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由题设 f(x)在a，b上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在 (a，b)，使又 f(x)，lnx 在a，b上满足柯西中值定理的条件，故存在 (a，b)，使 合并上两式可得)解析：32.设函数 f(x)二

21、阶可导，f“(x)0，x(一，+)，函数 u在区间a，b(a0)上连续，证明：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 将 f(x)在 x=x 0 处展开成一阶泰勒公式： f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x一 x 0 )+ (x一 x 0 ) 2 由于 f“(x)0，则 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x一 x 0 )。 令 x=u(t)，则f(u(t)f(x 0 )+f“(x 0 )(u(t)一 x 0 )。 上式两边0，a在上对 t积分，得 0 a fu(t)dt 0 a f(x 0 )dt+ 0 a f“(x 0 )(u(t)一 x 0 )dt=af(x 0 )

22、+f“(x 0 ) 0 a (u(t)一 x 0 )dt=af(x 0 ) )解析：33.(1)求曲线 C：y=x 2 +x在点(一 1，0)上的切线。 (2)求圆方程为 x 2 +y 2 =4在点(2，2)的切线。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)y“=2x+1,则斜率 k=一 1 则所求函数切线为：y=一 1(x+1)=一 x一 1 (2)令f(x，y)=x 2 +y 2 )解析：34.计算下列各题： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)用复合函数求导法则与导数的四则运算法则可得 ()用对数求导法因 lny= 两边对 x求导数得 )解析：35.已知函数 f(x)=

23、x x + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.计算下列各题： (I)由方程 x y =y x 确定 x=x(y)，求 。 (II)方程 y -x e y =1确定 y=y(x)，求 y n 。 ()设 2xtan(x一 y)= 0 x-y sec 2 tdy(xy)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)因 x y =y x ,ylnx=xlny，其中 x=x(y)，将恒等式两边对 y求导数得 ()因 y -x e y =1,e y =y x ,y=xlny。将恒等式两边对 x求导数，得 可解得 。将(*)两边再对 x求导数，可得 ()因 2xtan(xy

24、)= 0 x-y sec2tdt=tan(xy),x=tan(xy)。 将恒等式两边对 x求导数，得 )解析：37.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f“(a)=2，求 g“(3)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 y=f(x),应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y)。 由反函数求导公式有 f(x)g(y)=1，将该等式两边关于 x求导得 f“(x)g(y)+f“(x)g“(y)y x =0， 或 f“(x)g(y)+f(x) 2 g”(y)=0。 注意到 g(3)= )

25、解析：38.设 f(x)=cosx一 2x，且 f(0)=2，求 f(x)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f“(x)dx=(cosx 一 2x)dx=sinx一 x 2 +C 故 f(x)=sinx-x 2 +C 又 f(0)=2，得 C=2， 故 f(x)=sinx一 x 2 +2)解析：39.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：为使 f(0)存在，需 f(x)，f(x)在 x=0处连续。由 f(x)的连续性，有 由 f(x)在 x=0处的连续性，有 从而可得 b=1。 欲使 f“(0)存在，需 f“ - (0)=f“ + (0)。又 f“ - (0)=(a

26、x 2 +bx+c)“| x=0 =2a， )解析：40.求函数 f(x)=2x 3 +3x 2 一 12x+1的极值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求函数的一阶导数 f(x)=6x 2 +6x一 12，并令其为零，可得 x=1，x=一 2 再求函数的二阶导数 f“(x)=12x+6 f“(1)=180，f“(-2)=-180 故函数在 x=1处取得极小值，在 x=-2处取得极大值，故 f 极小值 =一 6，f 极大值 =一 21)解析：41.求函数 f(x)=(x-1) 2 (x+1) 2 的单调增减区间和极值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=(x 一) 2

27、(x+1) 2 =4x 3 -4x，f“(x)=12x 2 -4 由 f(x)0 得到单调增区间为一 1，01，+) 由 f(x)0 得到单调增区间为(一，一 1)(0，1) 由 f(x)=0得到驻点 x=0，x=1，x=一 1 又 f”(0)=一 40，f“(-1)=f“(一 1)=80 故 x=0是极大值点；x=1，x=一 1是极小值点。)解析：42.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 的定义域是(一，1)(1，+)，且函数无奇偶性、对称性与周期性，又 从而函数的一、二阶导数的零点分别是 x=0与 x= 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性如下： 由此可知，f(x)在(-，一 1)(0，+)内单调增加，在(一 1，0)内单调减少；极大值f(一 1)= ，极小值 f(0)=2；拐点为 )解析：43.设函数 y=f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)= 。证明：存在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)一 ，F(1)=F(0)=0， )解析：