1、2015年湖北省江汉油田中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分 ) 1. -3 的绝对值是 ( ) A.3 B.-3 C.13D.-13解析: 根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出 .|-3|=-(-3)=3. 答案: A. 2.如图所示的几何体,其左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析: 根据从左边看得到的图形是左视图, 从左边看是一个矩形的左上角去掉了一个小矩形 . 答案: C 3.位于江汉平原的兴隆水利工程于 2014 年 9 月 25 日竣工,该工程设计的年发电量为 2.25亿度, 2.25 亿这个数用科学记数法表示为 ( ) A.2
2、.25 109 B.2.25 108 C.22.5 107 D.225 106 解析: 2.25 亿 =225 000 000=2.25 108. 答案: B 4.计算 (-2a2b)3的结果是 ( ) A.-6a6b3 B.-8a6b3 C.8a6b3 D.-8a5b3 解析: (-2a2b)3=-8a6b3. 答案: B 5.某合作学习小组的 6 名同学在一次数学测试中,成绩分布为 76, 88, 96, 82, 78, 96,这组数据的中位数是 ( ) A.82 B.85 C.88 D.96 解析: 将这组数据按从小到大的顺序排列为: 76, 78, 82, 88, 96, 96,处于中
3、间位置的两个数是 82 和 88, 那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是 (82+88) 2=85. 答案: B. 6.不等式组 103 6 0xx,的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析: 103 6 0xx, ,由得: x 1,由得: x 2,在数轴上表示不等式的解集是: 答案: D 7.下列各式计算正确的是 ( ) A. 2 + 3 = 5 B.4 3 -3 3 =1 C.2 3 3 3 =6 3 D. 27 3 =3 解析: A. 2 + 3 ,无法计算,故此选项错误, B.4 3 -3 3 = 3 ,故此选项错误, C.2 3 3 3 =6 3=18,
4、故此选项错误, D. 27 3 = 273= 9 =3,此选项正确, 答案: D 8.已知一块圆心角为 300的扇形铁皮,用它做一个圆锥形的烟囱帽 (接缝忽略不计 ),圆锥的底面圆的直径是 80cm,则这块扇形铁皮的半径是 ( ) A.24cm B.48cm C.96cm D.192cm 解析: 设这个扇形铁皮的半径为 rcm,由题意得 300180r= 80,解得 r=48. 故这个扇形铁皮的半径为 48cm, 答案: B 9.在下面的网格图中,每个小正方形的边长均为 1, ABC 的三个顶点都是网格线的交点,已知 B, C 两点的坐标分别为 (-1, -1), (1, -2),将 ABC
5、绕点 C 顺时针旋转 90,则点 A的对应点的坐标为 ( ) A.(4, 1) B.(4, -1) C.(5, 1) D.(5, -1) 解析: 如图, A 点坐标为 (0, 2), 将 ABC 绕点 C 顺时针旋转 90,则点 A 的对应点的 A的坐标为 (5, -1). 答案: D. 10.二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的图象如图所示,对称轴为 x=1,给出下列结论: abc 0; b2=4ac; 4a+2b+c 0; 3a+c 0,其中正确的结论有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析: 由二次函数图象开口向上,得到 a 0;与 y 轴交于负半轴,得到
6、c 0, 对称轴在 y 轴右侧,且2ba=1,即 2a+b=0, a 与 b 异号,即 b 0, abc 0,选项正确; 二次函数图象与 x 轴有两个交点, =b2-4ac 0,即 b2 4ac,选项错误; 原点 O 与对称轴的对应点为 (2, 0), x=2 时, y 0,即 4a+2b+c 0,选项错误; x=-1 时, y 0, a-b+c 0,把 b=-2a 代入得: 3a+c 0,选项正确 . 答案: B 二、填空题 (本大题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分 ) 11.已知 3a-2b=2,则 9a-6b= . 解析: 3a-2b=2, 9a-6b=3(3a-2b)=3
7、2=6. 答案: 6 12.清明节期间,七 (1)班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈 .若每小组 7人,则余下 3 人;若每小组 8 人,则少 5 人,由此可知该班共有 名同学 . 解析: 设一共分为 x 个小组,该班共有 y 名同学, 根据题意得 7385yxyx,解得 859.xy, 该班共有 59 名同学 . 答案: 59 13.如图,在 Rt ABC 中, ACB=90,点 D 在 AB 边上,将 CBD 沿 CD 折叠,使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处 .若 A=26,则 CDE= . 解析: 在 Rt ABC 中, ACB=90, A=26, B=64, 将
8、 CBD 沿 CD 折叠,使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处, ACB=90, BCD= ECD=45, CED= B=64, CDE=180 - ECD- CED=71 . 答案: 71 14. 把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片,都按同样的方式剪成相同的两片,然后堆放到一起混合洗匀,从这堆图片中随机抽出两张,这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是 . 解析: 设三张风景图片分别剪成相同的两片为: A1, A2, B1, B2, C1, C2; 如图所示: 所有的情况有 30 种,符合题意的有 6 种,故这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是: 15. 答案: 1515
9、. 菱形 ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示,其中点 A 的坐标为 (1, 0),点 B 的坐标为(0, 3 ),动点 P 从点 A 出发,沿 A B C D A B的路径,在菱形的边上以每秒 0.5个单位长度的速度移动,移动到第 2015 秒时,点 P 的坐标为 . 解析: A(1, 0), B(0, 3 ), AB= 2213 =2. 点 P 的运动速度为 0.5 米 /秒, 从点 A 到点 B 所需时间 = 20.5=4 秒,沿 A B C D A 所需的时间 =4 4=16秒 . 201516=125 15, 移动到第 2015秒和第 15 秒的位置相同,当 P运动到第 15秒时,
10、如图所示,可得 14APAD, 如图所示,根据相似的性质可知, PE APOD AD, PF DPOA DA, PE= 3 14= 34, PF=1 34, P(34, - 34). 答案: (34, - 34). 三、解答题 (本大题共 10 小题,满分 75 分 ) 16. 先化简,再求值: 1aa 22 1aa ,其中 a=5. 解析: 原式约分得到最简结果,把 a 的值代入计算即可求出值 . 答案: 原式 = 1aa 211aaa=1aa,当 a=5 时,原式 =54. 17.我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形” .如图,四边形 ABCD 是一个筝形,其中AB=CB, AD=CD
11、,请你写出与筝形 ABCD 的角或者对角线有关的一个结论,并证明你的结论 . 解析: AC 与 BD 垂直,理由为:利用 SSS 得到三角形 ABD 与三角形 CBD 全等,利用全等三角形对应角相等得到 BD 为角平分线,利用三线合一性质即可得证 . 答案: AC BD,理由为: 在 ABD 和 CBD 中, AD CDBD BDAB CB , ABD CBD(SSS), ABO= CBO, AB=CB, BD AC. 18. 某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示 . (1)求这些队员的平均年龄; (2)下周的一场校际足球友谊赛中,该校男子足球队将会有 11 名队员作为首发队员出场,不考
12、虑其他因素,请你求出其中某位队员首发出场的概率 . 解析: (1)根据加权平均数的计算公式进行计算即可; (2)用首发队员出场的人数除以足球队的总人数即可求解 . 答案: (1)该校男子足球队队员的平均年龄是: (13 2+14 6+15 8+16 3+17 2+18 1) 22=330 22=15(岁 ). 故这些队员的平均年龄是 15 岁 . (2)该校男子足球队一共有 22 名队员,将会有 11 名队员作为首发队员出场, 不考虑其他因素,其中某位队员首发出场的概率为: P=12. 19.热气球的探测器显示,从热气球底部 A 处看一栋高楼顶部的俯角为 30,看这栋楼底部的俯角为 60,热气
13、球 A 处于地面距离为 420 米,求这栋楼的高度 . 解析: 过 A 作 AE BC,交 CB 的延长线于点 E,先解 Rt ACD,求出 CD 的长,则 AE=CD,再解 Rt ABE,求出 BE 的长,然后根据 BC=AD-BE 即可得到这栋楼的高度 . 答案: 过 A 作 AE BC,交 CB 的延长线于点 E, 在 Rt ACD 中, CAD=30, AD=420 米, CD=AD tan30 =420 33=140 3 (米 ), AE=CD=140 3 米 . 在 Rt ABE 中, BAE=30, AE=140 3 米, BE=AE tan30 =140 3 33=140(米
14、), BC=AD-BE=420-140=280(米 ), 答:这栋楼的高度为 280 米 . 20.已知关于 x 的一元二次方程 x2-4x+m=0. (1)若方程有实数根,求实数 m 的取值范围; (2)若方程两实数根为 x1, x2,且满足 5x1+2x2=2,求实数 m 的值 . 解析: (1)若一元二次方程有两实数根,则根的判别式 =b2-4ac 0,建立关于 m 的不等式,求出 m 的取值范围; (2)根据根与系数的关系得到 x1+x2=4, x1x2=m,再变形已知条件得到 (x1+x2)2-4x1x2=31+|x1x2|,代入即可得到结果 . 答案: (1)方程有实数根, =(-
15、4)2-4m=16-4m 0, m 4. (2) x1+x2=4, 5x1+2x2=2(x1+x2)+3x1=2 4+3x1=2, x1=-2, 把 x1=-2 代入 x2-4x+m=0 得: (-2)2-4 (-2)+m=0,解得: m=-12. 21. 如图, ABCD 放置在平面直角坐标系中,已知点 A(2, 0), B(6, 0), D(0, 3),反比例函数的图象经过点 C. (1)求反比例函数的解析式; (2)将 ABCD 向上平移,使点 B 恰好落在双曲线上,此时 A, B, C, D 的对应点分别为 A,B, C, D,且 C D与双曲线交于点 E,求线段 AA的长及点 E 的
16、坐标 . 解析: (1)由 A 与 B 的坐标求出 AB 的长,根据四边形 ABCD 为平行四边形,求出 DC 的长,进而确定出 C 坐标,设反比例解析式为 y=kx,把 C 坐标代入求出 k 的值,即可确定出反比例解析式; (2)根据平移的性质得到 B 与 B横坐标相同,代入反比例解析式求出 B纵坐标得到平移的距离,即为 AA的长,求出 D纵坐标,即为 E 纵坐标,代入反比例解析式求出 E 横坐标,即可确定出 E 坐标 . 答案: (1) ABCD 中, A(2, 0), B(6, 0), D(0, 3), AB=CD=4, DC AB, C(4, 3), 设反比例解析式为 y=kx,把 C
17、 坐标代入得: k=12,则反比例解析式为 y=12x. (2) B(6, 0), 把 x=6 代入反比例解析式得: y=2,即 B (6, 2), 平行四边形 ABCD 向上平移 2 个单位,即 AA =2, D (0, 5), 把 y=5 代入反比例解析式得: x=125,即 E(125, 5). 22.如图, AC 是 O 的直径, OB 是 O 的半径, PA 切 O 于点 A, PB 与 AC 的延长线交于点 M, COB= APB. (1)求证: PB 是 O 的切线; (2)当 OB=3, PA=6 时,求 MB, MC 的长 . 解析: (1)根据切线的性质,可得 MAP=90
18、,根据直角三角形的性质,可得 P+M=90,根据余角的性质,可得 M+ MOB=90,根据直角三角形的判定,可得 MOB=90,根据切线的判定,可得答案; (2)根据相似三角形的判定与性质,可得 M B O B O MA M A P P B,根据解方程组,可得答案 . 答案: (1) PA 切 O 于点 A, MAP=90, P+M=90 . COB= APB, M+ MOB=90, MOB=90,即 OB PB, PB 经过直径的外端点, PB 是 O 的切线; (2) COB= APB, OBM= PAM, OBM APM, M B O B O MA M A P P B, 162MBMC
19、, 3162MCMB , 联立得 262 6 6M B M CM C M B ,解得 24MCMB,当 OB=3, PA=6 时, MB=4, MC=2. 23. 随着信息技术的快速发展,“互联网 +”渗透到我们日常生活的各个领域,网上在线学习交流已不再是梦,现有某教学网站策划了 A, B 两种上网学习的月收费方式: 设每月上网学习时间为 x 小时,方案 A, B 的收费金额分别为 yA, yB. (1)如图是 yB与 x 之间函数关系的图象,请根据图象填空: m= ; n= . (2)写出 yA与 x 之间的函数关系式 . (3)选择哪种方式上网学习合算,为什么? 解析: (1)由图象知:
20、m=10, n=50; (2)根据已知条件即可求得 yA与 x 之间的函数关系式为:当 x 25 时, yA=7;当 x 25 时,yA=7+(x-25) 0.01, (3)先求出 yB 与 x 之间函数关系为:当 x 50 时, yB=10;当 x 50 时, yB=10+(x-50)0.01=0.01x+9.5;然后分段求出哪种方式上网学习合算即可 . 答案: (1)由图象知: m=10, n=50. (2)yA与 x 之间的函数关系式为: 当 x 25 时, yA=7, 当 x 25 时, yA=7+(x-25) 60 0.01, yA=0.6x-8, yA= ()7 0 2 50 .6
21、 8 2 5().xxx ,(3) yB与 x 之间函数关系为:当 x 50 时, yB=10, 当 x 50 时, yB=10+(x-50) 60 0.01=0.6x-20, 当 0 x 25 时, yA=7, yB=50, yA yB,选择 A 方式上网学习合算, 当 25 x 50 时 .yA=yB,即 0.6x-8=10,解得; x=30, 当 25 x 30 时, yA yB,选择 A 方式上网学习合算, 当 x=30 时, yA=yB,选择哪种方式上网学习都行, 当 30 x 50, yA yB,选择 B 方式上网学习合算, 当 x 50 时, yA=0.6x-8, yB=0.6x
22、-20, yA yB,选择 B 方式上网学习合算, 综上所述:当 0 x 30 时, yA yB,选择 A 方式上网学习合算, 当 x=30 时, yA=yB,选择哪种方式上网学习都行, 当 x 30 时, yA yB,选择 B 方式上网学习合算 . 24.已知 MAN=135,正方形 ABCD 绕点 A 旋转 . (1)当正方形 ABCD旋转到 MAN的外部 (顶点 A除外 )时, AM, AN分别与正方形 ABCD的边 CB,CD 的延长线交于点 M, N,连接 MN. 如图 1,若 BM=DN,则线段 MN 与 BM+DN 之间的数量关系是 ; 如图 2,若 BM DN,请判断中的数量关
23、系是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (2)如图 3,当正方形 ABCD 旋转到 MAN 的内部 (顶点 A 除外 )时, AM, AN 分别与直线 BD 交于点 M, N,探究:以线段 BM, MN, DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形,并说明理由 . 解析: (1)如图 1,先利用 SAS 证明 ADN ABM,得出 AN=AM, NAD= MAB,再计算出 NAD= MAB=12(360 -135 -90 )=67.5 .作 AE MN 于 E,根据等腰三角形三线合一的性质得出 MN=2NE, NAE=12 MAN=67.5 .再根据 AAS 证明 ADN AE
24、N,得出 DN=EN,进而得到 MN=BM+DN; 如图 2,先利用 SAS 证明 ABM ADP,得出 AM=AP, 1= 2= 3,再计算出 PAN=360- MAN-( 3+ 4)=360 -135 -90 =135 .然后根据 SAS证明 ANM ANP,得到 MN=PN,进而得到 MN=BM+DN; (2)如图 3,先由正方形的性质得出 BDA= DBA=45,根据等角的补角相等得出 MDA=NBA=135 .再证明 1= 3.根据两角对应相等的两三角形相似得出 ANB MAD,那么BN ABAD MD ,又 AB=AD= 22 DB ,变形得出 BD2=2BN MD ,然后证明(M
25、D+BD)2+(BD+BN)2=(DM+BD+BN)2,即 MB2+DN2=MN2,根据勾股定理的逆定理即可得出以线段BM, MN, DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形 . 答案: (1)如图 1,若 BM=DN,则线段 MN 与 BM+DN 之间的数量关系是 MN=BM+DN.理由如下: 在 ADN 与 ABM 中, 90A D A BA D N A B MD N B M , ADN ABM(SAS), AN=AM, NAD= MAB, MAN=135, BAD=90, NAD= MAB=12(360 -135 -90 )=67.5, 作 AE MN 于 E,则 MN=2NE, NAE
26、=12 MAN=67.5 . 在 ADN 与 AEN 中, 906 7 . 5A D N A E NN A D N A EA N A N , ADN AEN(AAS), DN=EN, BM=DN, MN=2EN, MN=BM+DN. 如图 2,若 BM DN,中的数量关系仍成立 .理由如下:延长 NC 到点 P,使 DP=BM,连结AP. 四边形 ABCD 是正方形, AB=AD, ABM= ADC=90 . 在 ABM 与 ADP 中, 90A B A DA B M A D PB M D P , ABM ADP(SAS), AM=AP, 1= 2= 3, 1+ 4=90, 3+ 4=90,
27、MAN=135, PAN=360 - MAN-( 3+ 4)=360 -135 -90 =135 . 在 ANM 与 ANP 中, 135A M A PM A N P A NA N A N , ANM ANP(SAS), MN=PN, PN=DP+DN=BM+DN, MN=BM+DN. (2)如图 3,以线段 BM, MN, DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形 .理由如下: 四边形 ABCD 是正方形, BDA= DBA=45, MDA= NBA=135 . 1+ 2=45, 2+ 3=45, 1= 3. 在 ANB 与 MAD 中, 13513A B N M D A , ANB MAD
28、, BN ABAD MD, AB2=BN MD, AB= 22DB, BN MD=( 22DB)2=12BD2, BD2=2BN MD, MD2+2MD BD+BD2+BD2+2BD BN+BN2=MD2+BD2+BN2+2MD BD+2BD BN+2BN MD, (MD+BD)2+(BD+BN)2=(DM+BD+BN)2,即 MB2+DN2=MN2, 以线段 BM, MN, DN 的长度为三边长的三角形是直角三角形 . 25.已知抛物线经过 A(-3, 0), B(1, 0), C(2, 52)三点,其对称轴交 x 轴于点 H,一次函数 y=kx+b(k 0)的图象经过点 C,与抛物线交于另
29、一点 D(点 D 在点 C 的左边 ),与抛物线的对称轴交于点 E. (1)求抛物线的解析式; (2)如图 1,当 S EOC=S EAB时,求一次函数的解析式; (3)如图 2,设 CEH=, EAH=,当时,直接写出 k 的取值范围 . 解析: (1)把 A(-3, 0), B(1, 0), C(2, 52)代入 y=ax2+bx+c,解方程组即可; (2)把 C 点坐标代入直线 CD,由 S EOC=S EAB 得关于 k、 b 的方程组,解方程组即可; (3)设 CD 的解析式为 y=kx+52-2k,当 y=0 和 x=-1 时,求出 FH、 EH、 AH,根据 tan tan列不等
30、式可求出 k 的取值范围 . 答案: (1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c, 抛物线经过 A(-3, 0), B(1, 0), C(2, 52)三点, 9 3 005422a b cabca b c ,12132abc ,抛物线的解析式为 y=12x2+x- 32. (2)如图所示, 将 C 点坐标代入直线 CD,得 2k+b=52 . 当 x=0 时, y=b,即 F(0, b), 当 x=-1 时, y=-k+b,即 E(-1, -k+b). 由 S EOC=S EAB时,得 12 2-(-1)b=121-(-3)(-k+b) . 联立方程,得 5223 22kbb k b ,解
31、得5125.3kb ,当 S EOC=S EAB时,一次函数的解析式为 y=512x+53. (3)当 E 点在 x 轴上方时,如图 2 所示, 当 =时, EAH=90, AEC=90, kAE=-1k, A(-3, 0), E(-1, -k+b),2kb=-1k,即 k2-bk-2=0, 联立方程 2 20522k bkkb ,解得 k=5 7312(5 7312舍去 ), 随着 E 点向下移动, CEH 的度数越来越大, EAH 的读数越来越小,当 E 点和 H 点重合时 (如图 3 所示 ),和均等于 0,此时联立方程 52 20kbkb ,解得5656kb ,因此当 5 7312 k 56时, . 当 E 点在 x 轴下方时,如图 4 所示, 当 =时, EAH=90, AEC=90, 根据可得此时 k=5 7312(k=5 7312舍去 ), 随着 E 点向下移动, CEH 的度数越来越小, EAH 的读数越来越大, 因此当 56 k 5 7312时, . 综上所述可得,当时,可得取值范围为 5 7312 k 56或 56 k 5 7312时 .
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