【考研类试卷】考研数学（数学二）模拟试卷430及答案解析.doc

1、考研数学（数学二）模拟试卷 430 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知当 x0 时，函数 f(x)=x 2 一 tanx 2 与 cx k 是等价无穷小量，则( )（分数：2.00）A.c=1，k=3。B.c=一 1，k=3。C.c=D.c=3.已知函数 f(x)= ，x0，则 （分数：2.00）A.。B.。C.f(0)。D.不存在。4.设 f (x 0 )=0，f (x 0 )0，则必存在一个正数 ，使得( )（分数：2.00）A.曲线 y=f

2、(x)在(x 0 一 ，x 0 +)上是凹的。B.曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0 +)上是凸的。C.曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0 上单调减少，而在x 0 ，x 0 +)上单调增加。D.曲线 y=f(x)在(x 0 ，x 0 上单调增加，而在x 0 ，x 0 +)上单调减少。5.设 z(x，y)是方程 =x 2 +2y 满足条件 z(x，x 2 )=1 的解，则 0 1 z(1，y)dy=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必

3、要条件。B.充分条件但非必要条件。C.必要条件但非充分条件。D.既非充分又非必要条件。7.设 y=f(x)是0，)上单调增加的连续函数，f(0)=0，记它的反函数为 x=f 1 (y)，a0，b0，令I= 0 a f(x)dx+ 0 b f 1 (y)dy，则( )（分数：2.00）A.Iab。B.Iab。C.Iab。D.Iab。8.已知向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关， 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性无关，则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 + 5 )=( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。9.设二次型 f(x 1 ，x 2

4、，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 是正定的，则( )（分数：2.00）A.a一 2。B.一 2a一 1。C.a0。D.a1。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f 具有二阶连续偏导数，=f(x，xy，xyz)，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_12.与曲线(y 一 2) 2 =x 相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直的直线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.二阶常系数非齐次线性方程 y 一 5y +6y=2e 2x 的通解为

5、y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 为 n 阶实对称正交矩阵，且 1 为 A 的 r 重特征根，则3EA= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.求函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 +2y)的极值。（分数：2.00）_18.已知 （分数：2.00）_19.计算 I= ，其中区域 D 由曲线 y= （分数：2.00）_20.讨论函数 y= （分数：2.00）_21.一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线 绕 y

6、轴的旋转面，容器的外高为 10，比重为（分数：2.00）_设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内有 f(x)0 恒成立且 xf (x)=f(x)+ （分数：4.00）(1).求函数 y=f(x)的解析式；（分数：2.00）_(2).a 取何值时，此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积最小?（分数：2.00）_22.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上二阶可导，x=1 是 f(x)的极值点且 （分数：2.00）_23.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_已知 A= （分数：4.00）(1).求 a，b 的值；（分数：2.00）_(2).A 能否相似对角化，若能，请求

7、出正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵，若不能，请说明理由。（分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 430 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知当 x0 时，函数 f(x)=x 2 一 tanx 2 与 cx k 是等价无穷小量，则( )（分数：2.00）A.c=1，k=3。B.c=一 1，k=3。C.c= D.c=解析：解析：由麦克劳林公式 tanx=x+ x 3 +o(x 3 )可知 tanx 2 =x 2 + (x 2 )

8、 3 +o(x 6 )，所以 =1， 比较分子、分母的系数可知，c= 3.已知函数 f(x)= ，x0，则 （分数：2.00）A.。B.。C.f(0)。D.不存在。 解析：解析：显然 f(0)=0， f(0)， 所以 f(x)在 x=0 处不连续，故 不存在。故选(D)。 (实际上4.设 f (x 0 )=0，f (x 0 )0，则必存在一个正数 ，使得( )（分数：2.00）A.曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0 +)上是凹的。B.曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0 +)上是凸的。C.曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0 上单调减少，而在x 0 ，x 0 +)上单调增加

9、。 D.曲线 y=f(x)在(x 0 ，x 0 上单调增加，而在x 0 ，x 0 +)上单调减少。解析：解析：已知 f (x 0 )= 0， 由极限的不等式性质可知，存在 0，当 x(x 0 一，x 0 +)且 xx 0 时， 5.设 z(x，y)是方程 =x 2 +2y 满足条件 z(x，x 2 )=1 的解，则 0 1 z(1，y)dy=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：z(x，y)= =(x 2 +2y)dy=x 2 y+y 2 +C(x)，且已知 z(x，x 2 )=1，于是有 x 2 x 2 +(x 2 ) 2 +C(x)=1，故 C(x)=12x 4 ，所以

10、z(x，y)=x 2 y+y 2 +12x 4 。 代入所求积分得 0 1 z(1,y)dy= 0 1 (y+y 2 +12)dy= 6.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。 B.充分条件但非必要条件。C.必要条件但非充分条件。D.既非充分又非必要条件。解析：解析：充分性：因为 f(0)=0，所以 =f (0)， 即 F(x)在 x=0 处可导。 必要性：设 F(x)=f(x)(1+sinx)在 x=0 处可导。因 f(x)可导，所以 f(x)sinx在 x=0 处可导，由此可知 7.

11、设 y=f(x)是0，)上单调增加的连续函数，f(0)=0，记它的反函数为 x=f 1 (y)，a0，b0，令I= 0 a f(x)dx+ 0 b f 1 (y)dy，则( )（分数：2.00）A.Iab。B.Iab。C.Iab。D.Iab。 解析：解析：令 F(a)= 0 a f(x)dx+ 0 b f 1 (y)dyab，则 F (a)=f(a)一 b。 设 f(T)=b，则当0aT 时，F(a)单调减少；当 aT 时，F(a)单调增加，故 F(a)在 a=T 处取最小值 0，所以 F(a)0，即 0 a f(x)dx+ 0 b f 1 (y)dyab。故选(D)。8.已知向量组 1 ，

12、2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关， 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性无关，则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 + 5 )=( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。 解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以可首先排除选项(A)和(B)，则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 + 5 )只可能为 3 或 4。 若 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 + 5 )=3，则 4 + 5 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，设 4 + 5 =k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 ， 因为 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，所以 4 可由 1 ，

13、2 ， 3 线性表示，设 4 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ， 则 5 =(k 1 1 ) 1 +(k 2 一 2 ) 2 +(k 3 一 3 ) 3 ，这和 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性无关矛盾，故选(D)。9.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 是正定的，则( )（分数：2.00）A.a一 2。B.一 2a一 1。C.a0。D.a1。 解析：解析：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵为 ，因其是正定的，所以其顺序主子式全大于零，即 一阶顺序主子式 a0；

14、 二阶顺序主子式 =a 2 一 10，即 a1 或 a一 1； 三阶顺序主子式 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f 具有二阶连续偏导数，=f(x，xy，xyz)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf 3 +x 2 yf 32 +x 2 yzf 33 ）解析：解析：由 =f(x，xy，xyz)可知 =xyf 3 ，则 11.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*dy）解析：解析：在 z= 两边取对数得到 lnz= ln(x+y)一 ln(x 一 y)， 由一阶全微分形式的不变性，两边求全微分得到 当 x=1，y=0 时

15、，z=1，代入上式得到12.与曲线(y 一 2) 2 =x 相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直的直线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=一 2x+*）解析：解析：在曲线方程两边对 x 求导得 2(y 一 2)y =1，即 y = 。 当 y=3 时，y = ，即曲线在(1，3)处的法线斜率为一 2，由 y = =一 2，得 ，切线方程为 13.二阶常系数非齐次线性方程 y 一 5y +6y=2e 2x 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e 2x +C 2 e 3x 一 2xe 2x ，C 1 ，C 2

16、为任意常数）解析：解析：特征方程 2 一 5+6=( 一 2)( 一 3)=0 的根为 2，3。 非齐次项为 2e 2x ，所以非齐次方程有特解 y * =Axe 2x ，代入方程解得 A=一 2。 因此，通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e 3x 一 2xe 2x 。14.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由旋转曲面面积的计算公式可得15.设 A 为 n 阶实对称正交矩阵，且 1 为 A 的 r 重特征根，则3EA= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 2nr ）解析：解析：由于 A 为 n 阶实对称正交矩阵

17、，所以 A 可以相似对角化，且A=1。 由 A 可以相似对角化可知，存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=diag(1，1，1，一 1，一 1，一 1)， 其中 1 有 r 个，一 1 有 nr 个。 所以 3E 一 A=P(3E 一 P 1 AP)P 1 =P3E 一 P 1 APP 1 =3E一 P 1 AP， 注意到 3E 一 P 1 AP 是对角矩阵，对角线上有 r 个 2，nr 个 4，所以 3EA=2 r 4 nr =2 2nr 。三、解答题(总题数：10，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.求函数 f(x，y)=e 2x (x+y

18、2 +2y)的极值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解方程组 求得驻点( ，一 1)，又因为 f xx (x，y)=4(x+y 2 +2y+1)e 2x ，f xy (x，y)=4(y+1)e 2x ，f yy (x，y)=2e 2x ， 所以 A= =2e。 由 A0 且 AC一 B 2 =4e 2 0，可知在点( ，一 1)处，函数取得极小值 )解析：18.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.计算 I= ，其中区域 D 由曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 1 中阴影部分： 单位圆 x 2 +y 2 =1 将区域

19、D 分成两部分，单位圆 x 2 +y 2 =1 内的部分记作 D 1 ，单位圆 x 2 +y 2 =1 外的部分记作 D 2 ，则 )解析：20.讨论函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)= ，所以 f(x)有零点 x=1。对 f(x)求导，得 f (x)= ， 因此 f (x)有零点 x= ，且在 x=1 处 f (x)不存在。 再求 f(x)的二阶导函数，得 f (x)= ， 可知 f(x)的二阶导函数没有零点，但在 x=1 处 f (x)不存在。 总结如下表： 由上表可知，f(x)的单调增区间为(一，一 1)、(1， )、(1，)，单调减区间为( ，1)。

20、f(x)在 x= ，在 x=1 处取极小值 0。 f(x)的凹区间为(一，一 1)，凸区间为 、(1，+)。 f(x)的拐点为(一 1，0)。 )解析：21.一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线 绕 y 轴的旋转面，容器的外高为 10，比重为（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：容器体积 V= 0 10 10ydy=500， 容器的容积是由抛物线 y= +1(1y10)绕 y 轴旋转一周所得立体的体积，即 V 1 = 1 10 10(y 一 1)dy=405， 所以容器重量为 。 设注入液体的最大深度为 h，则注入液体的重量为 3 0 h1 10(y 一 1)dy=15h 2 。此时

21、排开水的体积恰好是容器的体积 500，而水的比重为 1，所以有 )解析：设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内有 f(x)0 恒成立且 xf (x)=f(x)+ （分数：4.00）(1).求函数 y=f(x)的解析式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 xf (x)=f(x)+ ax，这是一阶线性微分方程，由一阶线性微分方程的通解公式得 f(x)= ax 2 +Cx，x0，1。 由 y=f(x)与 x=1，y=0 围成的平面图形的面积为 2 可知， 2= 0 1 (a+C)，即 C=4 一 a， 故 f(x)= ax 2 +(4 一 a)x。 注意到在(0，1)内需 f(x)0

22、成立，故还需确定 a 的取值范围。 f(0)=0，f(1)=4+ 。 当 a=0 时，f(x)=4x，满足题意； 当 a0时，函数 f(x)开口向上，只需对称轴 0 即可，即 0a4； 当 00 时，函数 f(x)开口向下，对称轴 0，只需 f(1)0，即一 8a0； 综上所述 f(x)= )解析：(2).a 取何值时，此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积最小?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=f(x)绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 V(a)= 0 1 f 2 (x)dx= ， 由 V (a)= )解析：22.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上二阶可导，x=1

23、 是 f(x)的极值点且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 x=1 是 f(x)的极值点，所以 f (1)=0。 因 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上二阶可导，所以由积分中值定理可知，存在 0， ，使得 使得 f ()=0。 再由 f (x)在，1上连续，在(，1)上可导，且 f ()=f (1)=0 可知，存在 (，1) )解析：23.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将增广矩阵用初等行变换化为阶梯形 当 a=一 1，b36 时，r(A)=3， =4，方程组无解。 当 a一 1 且 a6 时，r(a)= =4，方程组有唯一解，其解为

24、令 x 4 =0，有 x 3 =0，x 2 =一 12，x 1 =6，即特解是 =(6，一 12，0，0) T 。 令 x 4 =1，解齐次方程组有 x 3 =0,x 2 =5，x 1 =一 2，即 =(一 2，5，0，1) T 是基础解系。 所以通解为 +k=(6，一 12，0，0) T +k(一 2，5，0，1) T ，k 是任意常数。 当 a=6 时，r(A)= =3，方程组有无穷多解，此时方程组化为 令 x 3 =0，有特解 = 令 x 3 =1，齐次方程组基础解系 =(一 2，1，1，0) T 。所以通解为 +k= )解析：已知 A= （分数：4.00）(1).求 a，b 的值；（分

25、数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于矩阵行和相等，且第三行的行和为 5，所以有 1+a+2=5，2+b+a=5， 解得a=2，b=1。)解析：(2).A 能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵，若不能，请说明理由。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 a 和 b 的值代入矩阵得 A= ， 可知 A 是实对称矩阵，故 A 一定可以相似对角化。 由E 一 A=0 可得 (+1) 2 ( 一 5)=0， 解得 =一 1(二重根)和 5。 由(一 E 一 A)x=0可得线性方程组的基础解系为 (1，0，一 1) T ，(0，1，一 1) T ， 即特征值一 1 所对的两个线性无关的特征向量为 1 =(1，0，一 1) T ， 2 =(0，1，一 1) T 。 又因矩阵 A 的行和为 5，所以特征值 5对应的一个特征向量为 3 =(1，1，1) T 。 将上述三个向量正交化，得 1 =(1，0，一 1) T ， 2 = 2 一 ， 3 =(1，1，1) T ， 将其单位化即得正交矩阵 Q= ，且有 Q T AQ= )解析：