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1、 2015 年福建省南平市中考真题数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个正确选项） 1. -6 的绝对值等于（ ） A.-6 B.6 C.-16D. 16解析： 根据一个负数的绝对值是它的相反数 ， |-6|=6. 答案： B. 2.如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 解析：如图所示的几何体的俯视图是 . 答案： C 3. 下列图形中，不是中心对称图形的为（ ） A.圆 B.正六边形 C.正方形 D.等边三角形 解析： A、是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，故本选项错误；

2、D、不是中心对称图形，故本选项正确； 答案： D 4.一组数据 1， 1， 4， 3， 6 的平均数和众数分别是（ ） A.1， 3 B.3， 1 C.3， 3 D.3， 4 解析：平均数为： 1+1+4+3+65=3， 1 出现的次数最多， 众数为 1. 答案： B 5.在一个不透明的袋子中有 20 个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于 0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（ ） A.4 B.6 C.8 D.12 解析： 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以

3、从比例关系入手，列出方程求解 . 20x=0.4， 解得： x =8. 答案： C 6.八边形的内角和等于（ ） A.360 B.1080 C.1440 D.2160 解析： 利用多边形内角和定理 可得， （ 8-2） 180 =1080 . 答案： B 7.下列运算正确的是（ ） A. 32a a a B. 2 3 5()aa C. 45a a a D. 3 5 8x y xy 解析： A、不是同类项，不能合并，选项错误； B、 2 3 6()aa ，选项错误； C、正确； D、不是同类项，不能合并，选项错误 . 答案： C 8.不等式组 4632xxx的解集是（ ） A. 12x B. x

4、 -1 C. x 2 D.-2 x 1 解析： 4632xxx， 由得， x 2； 由得， x -1； 所以，不等式组的解集为 -1 x 2. 答案： A 9.直线 22yx沿 y 轴向下平移 6 个单位后与 x 轴的交点坐标是（ ） A.（ -4， 0） B.（ -1， 0） C.（ 0， 2） D.（ 2， 0） 解析： 直线 22yx沿 y 轴向下平移 6 个单位后解析式为 2 2 6 2 4y x x ， 当 y =0 时， x =2， 因此与 x 轴的交点坐标是（ 2， 0） . 答案： D 10. 如图，从一块半径是 1m 的圆形铁皮（ O ）上剪出一个圆心角为 60的扇形（点 A

5、 ，B ， C 在 O 上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ） A. 36m B. 312m C. 32m D.1m 解析：连接 OA，作 OD AB 于点 D . 在直角 OAD 中， OA =1， OAD =12 BAC =30， 则 AD =OA cos30 = 32. 则 AB =2 AD = 3 ， 则扇形的弧长是： 600318= 33 ， 设底面圆的半径是 r ，则 2 r = 33 ， 解得： r = 36. 答案： 36二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标： （ ， ） 解

6、析：在第三象限内点的坐标为：（ -1， -1）（答案不唯一） . 答案：（ -1， -1） 12. 端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是 .（填“全面调查”或“抽样调查”） 解析：市场上的粽子数量较大， 适合采用抽样调查 . 答案：抽样调查 13. 计算： 2 422xxx= . 解析： 2 422xxx= 242xx = 2( 2)2xx =2. 答案： 2 14. 分解因式： 2 9ab a = . 解析： 2 9ab a = 2( 9)ab = ( 3)( 3)a b b 答案： ( 3)( 3)a b b 15. 将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿

7、折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论： 可以拼成等腰直角三角形； 可以拼成对角互补的四边形； 可以拼成五边形； 可以拼成六边形 . 其中所有正确结论的序号是 . 解析：如图 1，剪成两个等腰直角三角形时可以拼成等腰直角三角形； 如图 2，剪成两个梯形可以拼成对角互补的四边形； 如图 3，图 4，剪成两个全等的梯形可以拼成五边形和六边形； 所以，正确结论的序号 . 答案： 16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， OAB 的顶点 A 在 x 轴正半轴上， OC 是 OAB 的中线，点 B ， C 在反比例函数 3x（ x 0）的图象上，

8、则 OAB 的面积等于 . 解析： 作 BD x 轴于 D ， CE x 轴于 E ， BD CE， C E A CAEB D A D A B， OC 是 OAB 的中线， C E A CAEB D A D A B=12， 设 CE =x ，则 BD =2x ， C 的横坐标为 3x， B 的横坐标为 32x， OD = 32x， OE =3x ， DE =3x - 32x= 32x， AE DE = 32x， OA =3x + 32x= 92x， S OAB =12 OA BD=12 92x 2x= 92. 答案： 92三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分） 17. 计算： 32 3

9、 4 5 9ta n （ ） . 解析： 先根据数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 . 答案：原式 =-8+3 1-3 =-8+3-3 =-8 18. 化简： 224x x x （ ） （ ）. 解析： 直接利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则化简求出即可 . 答案：原式 = 224 4 4x x x x = 224x . 19. 解分式方程： 3 221xx . 解析： 两边同时乘最简公分母： 21xx（ ） ，可把分式方程化为整式方程来解答，把解出的未知数的值代入最简公分母进行检验，得到答案 . 答案：方程两边同时乘 21xx（ ）

10、 得， 3 1 4xx（ ） ， 解得， 3x ， 把 3x 代入 21xx（ ） 0， 3x 是原方程的解， 则原方程的解为 3x . 20. 近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图： 学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表 根据以上图表信息，解答下列问题： （ 1）统计表中的 m= ； （ 2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为 度； （ 3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持

11、“影响很大”看法的概率是多少？ 解析：（ 1）用没有影响的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总人数，减去没有影响和影响不大的人数即可得到 m； （ 2）利用 360乘以影响不大所占的百分比即可求得影响不大对应扇形的圆心角； （ 3）用影响很大的人数除以总人数即可解答 . 答案：（ 1）调查的总数为： 100 50%=200 人，则影响很大的人数为： 200-100-60=40； 答案： 40. （ 2）“影响不大”的扇形的圆心角度数为： 60360200=108 . 答案： 108. （ 3）接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是： 40200=0.2. 答：持“影响

12、很大”看法的概率是 0.2. 21. 如图，矩形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O ， B E A C C F B D， ，垂足分别为EF， . 求证： BE CF . 解析： 要证 BE CF ，可运用矩形的性质结合已知条件证 BE 、 CF 所在的三角形全等 . 答案：四边形 ABCD 为矩形， AC BD ， 则 BO CO . BE AC 于 E ， CF BD 于 F ， 90B E O C F O . 又 B O E C O F ， BOE COF . BE CF . 22. 如图， AB 是半圆 O 的直径， C 是 AB 延长线上的一点， CD 与半圆 O 相切于点

13、D ，连接 AD ， BD . （ 1）求证： B A D B D C ； （ 2）若 BDC =28， BD =2，求 O 的半径 .（精确到 0.01） 解析： （ 1）连接 OD ，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可； （ 2）根据三角函数进行计算即可 . 答案：（ 1）连接 OD ，如图， CD 与半圆 O 相切于点 D， OD CD ， 90CDO ，即 90C D B B D O ， AB 是半圆 O 的直径， 90ADB ，即 90A D O B D O ， C D B O D A ， OD =OA， O D A BAD ， B A D B D C ； （ 2）

14、 BAD = BDC =28，在 Rt ABD 中， BDsin B A DAB， AB = 228BDsin B A D sin 4.260， O 的半径为2AB 2.13. 23. 现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅 40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱 50 元、 40 元，且第二次比第一次多付款 700 元 . （ 1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为 a 箱、 b 箱，求 a ， b 的值； （ 2）若商店对这 40 箱杨梅先按每箱 60 元销售了 x 箱，其余的按每箱 35 元全部售完 . 求商店销售完全部杨梅所获利润 y （元）与 x （箱

15、）之间的函数关系式； 当 x 的值至少为多少时，商店才不会亏本 . （注：按整箱出售，利润 =销售总收入 -进货总成本） 解析：（ 1） 根据题意得出 a 、 b 的方程组，解方程组即可； （ 2）根据利润 =销售总收入 -进货总成本，即可得出结果； 商店要不亏本，则 y 0，得出不等式，解不等式即可 . 答案：（ 1）根据题意得： 404 0 5 0 7 0 0abba， 解得： 1030ab； 答： a ， b 的值分别为 10， 30； （ 2）根据题意得： 6 0 3 5 4 0 1 0 5 0 3 0 4 0y x x （ ） （ ）， 25 300yx； 商店要不亏本，则 y 0，

16、 25x -300 0， 解得： x 12； 答：当 x 的值至少为 12 时，商店才不会亏本 . 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2y ax bx的对称轴为 3=4x，且经过点 A（ 2，1），点 P 是抛物线上的动点， P 的横坐标为 02mm（ ） ，过点 P 作 PB x 轴，垂足为 B ，PB 交 OA于点 C ，点 O 关于直线 PB 的对称点为 D ，连接 CD ， AD ，过点 A 作 AE x轴，垂足为 E . （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）填空： 用含 m 的式子表示点 C ， D 的坐标： C （ ， ）， D （ ， ） ； 当 m = 时， ACD

17、 的周长最小； （ 3）若 ACD 为等腰三角形，求出所有符合条件的点 P 的坐标 . 解析：（ 1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于 a ， b 的方程组，解方程组可得抛物线的解析式； （ 2）设 OA所在的直线解析式为 y kx ，将点 A （ 2， 1）代入求得 OA所在的解析式为12yx ，因为 PC x 轴，所以 C 得横坐标与 P 的横坐标相同，为 m ，令 x =m ，则 y =12m ，所以得出点 C（ m ， 12m），又点 O 、 D 关于直线 PB 的对称，所以由中点坐标公式可得点D 的横坐标为 2m ，则点 D 的坐标为（ 2m ， 0）； 因为 O 与 D 关于直

18、线 PB 的对称，所以 PB 垂直平分 OD ，则 CO CD ，因为， ACD的周长 = A C C D A D A C C O A D A O ， 22A O O E A E= 2221 = 5 ，所以当 AD 最小时， ACD 的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点 D 与 E 重合，其横坐标为 2，故 m =1. （ 3）由中垂线得出 CD OC ，再将 OC 、 AC 、 AD 用 m 表示，然后分情况讨论分别得到关于 m 的方程，解得 m ，再根据已知条件选取 符合题意 的点 P 坐标即可 . 答案：（ 1）依题意，得 3244 2 1baab，解得 132ab - 2 32y x

19、 x（ 2） C （ m ， 12m）， D （ 2m ， 0）， m =1 （ 3）依题意，得 B （ m ， 0） 在 Rt OBC 中， 22 2 2 2 25124O C O B B C m m m ， OC = 52 m又 O ， D 关于直线 PC 对称， 52C D O C m在 Rt AOE 中， 2 2 2 22 1 5O A O E A E 552A C O A O C m 在 Rt ADE 中， 2 2 2 2 2 21 2 2 4 8 5A D A E D E m m m （ ） 分三种情况讨论： 若 AC CD ，即 55522mm，解得 m =1， P （ 1， ?

20、12） 若 AC AD ，则有 22AC AD ，即 2255 5 4 8 54m m m m 解得1 0m，2 1211m . 0 m 2， m =1211， P （ 1211， - 54121） 若 DA DC ，则有 22DA DC ，即 2254 8 54m m m 解得1m=1011，2m=2， 0 m 2， m =1011， P （ 1011， - 65121） 综上所述，当 ACD 为等腰三角形是，点 P 的坐标分别为1P（ 1， - 12），2 P（ 1211， - 54121），3 P（ 1011， - 65121） . 25. 定义：底与腰的比是 512的等腰三角形叫做黄金

21、等腰三角形 . 如图，已知 ABC 中， AC BC ， C =36，1BA平分 ABC 交 AC 于1A. （ 1）证明： 21A B A A A C； （ 2）探究： ABC 是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设 AC =1） （ 3）应用：已知 AC =a ，作11AB AB 交 BC 于1B，12BA平分1 1 1ABC交 AC 于2A，作22AB AB 交2B，23BA平分22ABC交 AC 于3A，作33AB AB 交 BC 于3B，依此规律操作下去，用含 a ， n 的代数式表示1nnAA.（ n 为大于 1 的整数，直接回答，不 必说明理由） 解析：（ 1）根据

22、角平分线的性质结合相似三角形的判定与性质得出 ABC 1AAB，进而得出1ACABAA AB ，求出即可； （ 2）利用 AC =1，利用 2AB =1- AB ，求出 AB 的值，进而得出 512ABAC ，得出答案即可； （ 3）利用（ 2）中所求进而得出1AA，12AA的长，进而得出其长度变化规律求出即可 . 答案：（ 1）证明： AC BC ， C =36， A = ABC =72， 1BA平分 ABC ， 1ABA=12 ABC =36， C =1ABA， 又 A = A ， ABC 1AAB， 1ACABAA AB ，即 2 1A B A A A C； （ 2）解： ABC 是黄金

23、等腰三角形， 理由：由（ 1）知， 21A B A C A A， 设 AC =1， 21AB AA又由（ 1）可得：1AB A B， 1ABC= C =36， 1AB=1AC， 1AB AC， 11 1A A A C A C A C A B A B ， 2AB =1-AB ， 设 AB =x ，即 2x =1-x ， 2x +x -1=0， 解得：1 152x ，2 152x （不合题意舍去）， AB = 512， 又 AC =1， 512ABAC ， ABC 是黄金等腰三角形； （ 3）解：由（ 2）得；当 AC =a ，则11A A A C A C A C A B =a - AB =a - 152 a= 251()2 a， 同理可得：1 2 1 1 1 1 1 1A A A C A B A C A A A B =a - 251()2 a- 512 1AC=a - 251()2 a- 512a - 251()2 a = 351()2 a. 故1nnAA= 151()2 n a.