2015年辽宁省沈阳市中考真题数学.docx

1、 2015 年辽宁省沈阳市中考 真题 数学 一 .选择题（每小题 3分，共 24分，只有一个答案是正确的） 1.比 0 大的数是（ ） A. 2 B. C. 0.5 D.1 解析：正实数都大于 0，负实数都小于 0， 选项中 A、 B、 C 都是负数，故 A、 B、 C 错误； D、 1 是正数，故 D 正确 . 答案： D. 2.如图是由 6 个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 解析： 左视图即 从左面看所得到的图形，注意所有 能 看到的棱都应表现在左视图中 .从左面看易得第一层有 4 个正方形，第二层最左边有一个正方形 . 答案： A. 3.下

2、列事件为必然事件的是（ ） A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B.明天一定会下雨 C.抛出的篮球会下落 D.任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数 解析： A、经过某一有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，故本选项错误； B、明天可能是晴天，也可能是雨天，属于不确定性事件中的可能性事件，故本选项错误； C、在操场上抛出的篮球会下落，是必然事件，故本选项正确； D、任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数为不确定事件，即随机事件，故本选项错误； 答案： C. 4.如图，在 ABC 中，点 D 是边 AB 上一点，点 E 是边 AC 上一点，且 DE BC， B=40， AED=60，则 A的度

3、数是（ ） A.100 B.90 C.80 D.70 解析： DE BC， AED=40， C= AED=60， B=40， A=180 C B=180 40 60=80. 5.下列计算结果正确的是（ ） A.a4a2=a8 B.（ a5） 2=a7 C.（ a b） 2=a2 b2 D.（ ab） 2=a2b2 解析： 运用同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式运算 . A.a4a2=a6，故 A错误； B.（ a5） 2=a10，故 B错误； C.（ a b） 2=a2 2ab+b2，故 C 错误； D.（ ab） 2=a2b2，故 D 正确， 答案： D. 6.一组数据 2、

4、3、 4、 4、 5、 5、 5 的中位数和众数分别是（ ） A.3.5， 5 B.4， 4 C.4， 5 D.4.5， 4 解析： 先把数据按大小排列： 2、 3、 4、 4、 5、 5、 5， 中位数是 4； 数据 5 出现 3 次，次数最多，所以众数是 5. 答案： C. 7.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（ ） A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析：菱形，理由为： 如图所示， E， F 分别为 AB， BC 的中点， EF 为 ABC 的中位线， EF AC， EF= AC， 同理 HG AC， HG= AC， EF HG，且 EF=HG， 四边

5、形 EFGH为平行四边形， EH= BD， AC=BD， EF=EH， 则四边形 EFGH为菱形， 答案： B 8.在平面直角坐标系中，二次函数 y=a（ x h） 2（ a0）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 解析：二次函数 y=a（ x h） 2（ a0）的顶点坐标为（ h， 0），它的顶点坐标在 x 轴上 . 答案： D. 二 .填空题（每小题 4分，共 32分） 9.分解因式： ma2 mb2= . 解析： 应先提取公因式 m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 . ma2 mb2， =m（ a2 b2）， =m（ a+b）（ a b） . 答案： m（ a+b）（ a

6、b） 10.不等式组 的解集是 . 解析： ， 由 得： x 3， 由 得： x 2， 则不等式组的解集为 2x 3， 答案 ： 2x 3 11.如图，在 ABC 中， AB=AC， B=30，以点 A为圆心，以 3cm 为半径作 A，当 AB= cm 时， BC 与 A相切 . 解析：如图，过点 A作 AD BC 于点 D. AB=AC， B=30， AD= AB，即 AB=2AD. 又 BC 与 A相切， AD 就是圆 A的半径， AD=3cm， 则 AB=2AD=6cm. 答案 ： 6. 12.某跳远队甲、乙两名运动员最近 10 次跳远成绩的平均数为 602cm，若甲跳远成绩的方差为 S

7、 甲 2=65.84，乙跳远成绩的方差为 S 乙 2=285.21，则成绩比较稳定的是 .（填 “甲 ”或 “乙 ”） 解析： 方差是反映一组数据的波动大小的一个量 .方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好 . S 甲 2=65.84， S 乙 2=285.21， S 甲 2 S 乙 2， 甲的成绩比乙稳定 . 答案 ： 甲 . 13.在一个不透明的袋中装有 12 个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球是黑球的概率为 ，那么袋中的黑球有 个 . 解析： 首先设袋中的黑球有 x 个，根据题意得： 解此分式方程得： x=4，

8、 经检验： x=4 是原分式方程的解 . 即袋中的黑球有 4 个 . 答案 ： 4. 14.如图， ABC 与 DEF 位似，位似中心为点 O，且 ABC 的面积等于 DEF 面积的 ，则AB： DE= . 解析： ABC 与 DEF 位似，位似中心为点 O， ABC DEF， ABC 的面积： DEF 面积 =（ ） 2= ， AB： DE=2： 3， 答案 ： 2： 3. 15.如图 1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度 y（ cm）和注水时间 x（ s）之间的关系满足如图 2 中的图象，则至少需要 s

9、 能把小水杯注满 . 解析：设一次函数的首先设解析式为： y=kx+b， 将（ 0， 1），（ 2， 5）代入得： 解得： 解析式为： y=2x+1， 当 y=11 时， 2x+1=11， 解得： x=5， 至少需要 5s 能把小水杯注满 . 答案 ： 5. 16.如图，正方形 ABCD 绕点 B逆时针旋转 30后得到正方形 BEFG， EF 与 AD 相交于点 H，延长 DA 交 GF 于点 K.若正方形 ABCD 边长为 ，则 AK= . 解析：连接 BH，如图所示： 四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， BAH= ABC= BEH= F=90， 由旋转的性质得： AB=EB，

10、 CBE=30， ABE=60， 在 RtABH和 RtEBH中， RtABH RtEBH（ HL）， ABH= EBH= ABE=30， AH=EH， AH=ABtan ABH= =1， EH=1， FH= 1， 在 RtFKH中， FKH=30， KH=2FH=2（ 1）， AK=KH AH=2（ 1） 1=2 3； 答案 ： 2 3. 三 .解答题 17.计算： +| 2|（ ） 2+（ tan60 1） 0. 解析： 先算立方根，绝对值，负整数指数幂和 0 指数幂，再算加减，由此顺序计算即可 . 答案： 原式 =3+ 2 9+1 = 7. 18.如图，点 E 为矩形 ABCD 外一点，

11、 AE=DE，连接 EB、 EC 分别与 AD 相交于点 F、 G.求证： （ 1） EAB EDC； （ 2） EFG= EGF. 解析： （ 1）先由四边形 ABCD 是矩形，得出 AB=DC， BAD= CDA=90.由 EA=ED，得出 EAD= EDA，根据等式的性质得到 EAB= EDC.然后利用 SAS 即可证明 EAB EDC； （ 2）由 EAB EDC，得出 AEF= DEG，根据三角形外角的性质得出 EFG= EAF+ AEF， EGF= EDG+ DEG，即可证明 EFG= EGF. 解答：（ 1） 四边形 ABCD 是矩形， AB=DC， BAD= CDA=90. E

12、A=ED， EAD= EDA， EAB= EDC. 在 EAB与 EDC 中， EAB EDC（ SAS）； （ 2） EAB EDC， AEF= DEG， EFG= EAF+ AEF， EGF= EDG+ DEG， EFG= EGF. 19.我国是世界上严重缺失的国家之一，全国总用水量逐年上升，全国总用水量可分为农业用水量、工业用水量和生活用水量三部分 .为了合理利用水资源，我国连续多年对水资源的利用情况进行跟踪调查，将所得数据进行处理，绘制了 2008 年全国总用水量分布情况扇形统计图和 2004 2008 年全国生活用水量折线统计图的一部分如下： （ 1） 2007 年全国 生活用水量比

13、 2004 年增加了 16%，则 2004 年全国生活用水量为 亿m3， 2008 年全国生活用水量比 2004 年增加了 20%，则 2008 年全国生活用水量为 亿 m3； （ 2）根据以上信息，请直接在答题卡上补全折线统计图； （ 3）根据以上信息 2008 年全国总水量为 亿； （ 4）我国 2008 年水资源总量约为 2.75104 亿 m3，根据国外的经验，一个国家当年的全国总用水量超过这个国家年水资源总量的 20%，就有可能发生 “水危机 ”.依据这个标准， 2008年我国是否属于可能发生 “水危机 ”的行列？并说明理由 . 解析： （ 1）设 2004 年全国生活用水量为 x

14、亿 m3，利用增长率公式得到 x（ 1+16%） =725，解得 x=625，然后计算用（ 1+20%）乘以 2004 的全国生活用水量得到 2008 年全国生活用水量； （ 2）补全折线统计图即可； （ 3）用 2008 年全国生活用水量除以 2008 年全国生活用水量所占的百分比即可得到 2008年全国总水量； （ 4）通过计算得到 2.7510420%=5500 5000，根据题意可判断 2008 年我国不属于可能发生 “水危机 ”的行列 . 答案 ：（ 1）设 2004 年全国生活用水量为 x 亿 m3， 根据 题意得 x（ 1+16%） =725，解得 x=625， 即 2004 年

15、全国生活用水量为 625 亿 m3， 则 2008 年全国生活用水量 =625（ 1+20%） =750（亿 m3）； （ 2）如图： （ 3） 2008 年全国总水量 =75015%=5000（亿）； （ 4）不属于 .理由如下： 2.7510420%=5500 5000， 所以 2008 年我国不属于可能发生 “水危机 ”的行列 . 故答案为 625， 750， 5000. 20.高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具，其平均速度是普通铁路列车平均速度的 3 倍，同样行驶 690km，高速铁路列车比普通铁路列车少运行了 4.6h，求高速铁路列车的平均速度 . 解析： 设高速铁路列车的平

16、均速度为 xkm/h，根据高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6h 列出分式方程，解分式方程即可，注意检验 . 答案 ：设高速铁路列车的平均速度为 xkm/h， 根据题意，得： ， 去分母，得： 6903=690+4.6x， 解这个方程，得： x=300， 经检验， x=300 是所列方程的解， 因此高速铁路列车的平均速度为 300km/h. 21.如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， ABC=2 D，连接 OA、 OB、 OC、 AC，OB与 AC 相交于点 E. （ 1）求 OCA的度数； （ 2）若 COB=3 AOB， OC=2 ，求图中阴影部分面积（结果保留 和根号） 解

17、析： （ 1）根据四边形 ABCD是 O的内接四边形得到 ABC+ D=180，根据 ABC=2 D 得到 D+2 D=180，从而求得 D=60，最后根据 OA=OC 得到 OAC= OCA=30； （ 2）首先根据 COB=3 AOB得到 AOB=30，从而得到 COB为直角，然后利用 S 阴影=S 扇形 OBC SOEC求解 . 答案 ：（ 1） 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， ABC+ D=180， ABC=2 D， D+2 D=180， D=60， AOC=2 D=120， OA=OC， OAC= OCA=30； （ 2） COB=3 AOB， AOC= AOB+3 AOB

18、=120， AOB=30， COB= AOC AOB=90， 在 RtOCE 中， OC=2 ， OE=OCtan OCE=2 tan30=2 =2， SOEC= OEOC= 22 =2 ， S 扇形 OBC= =3， S 阴影 =S 扇形 OBC SOEC=3 2 . 22.如图，已知一次函数 y= x 3 与反比例函数 y= 的图象相交于点 A（ 4， n），与 x 轴相交于点 B. （ 1）填空： n 的值为 ， k 的值为 ； （ 2）以 AB 为边作菱形 ABCD，使点 C 在 x 轴正半轴上，点 D 在第一象限，求点 D 的坐标； （ 3）考察反比函数 y= 的图象，当 y 2 时

19、，请直接写出自变量 x 的取值范围 . 解析： （ 1）把点 A（ 4， n）代入一次函数 y= x 3，得到 n 的值为 3；再把点 A（ 4， 3）代入反比例函数 y= ，得到 k 的值为 8； （ 2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点 B的坐标为（ 2， 0），过点 A作 AE x 轴，垂足为E，过点 D 作 DF x 轴，垂足为 F，根据勾股定理得到 AB= ，根据 AAS 可得 ABE DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点 D 的坐标； （ 3）根据反比函数的性质即可得到当 y 2 时，自变量 x 的取值范围 . 答案 ：（ 1）把点 A（ 4， n）代入一次函数 y= x

20、3，可得 n= 4 3=3； 把点 A（ 4， 3）代入反比例函数 y= ，可得 3= ， 解得 k=12. （ 2） 一次函数 y= x 3 与 x 轴相交于点 B， x 3=0， 解得 x=2， 点 B的坐标为（ 2， 0）， 如图，过点 A作 AE x 轴，垂足为 E， 过点 D 作 DF x 轴，垂足为 F， A（ 4， 3）， B（ 2， 0）， OE=4， AE=3， OB=2， BE=OE OB=4 2=2， 在 RtABE 中， AB= 四边形 ABCD 是菱形， AB=CD=BC= ， AB CD， ABE= DCF， AE x 轴， DF x 轴， AEB= DFC=90，

21、 在 ABE 与 DCF 中， ABE DCF（ ASA）， CF=BE=2， DF=AE=3， OF=OB+BC+CF=2+ +2=4+ ， 点 D 的坐标为（ 4+ ， 3） . （ 3）当 y= 2 时， 2= ，解得 x= 6. 故当 y 2 时，自变量 x 的取值范围是 x 6 或 x 0. 故答案为： 3， 12. 23.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点 O 是坐标原点，点 A在第一象限，点C 在第四象限，点 B的坐标为（ 60， 0）， OA=AB， OAB=90， OC=50.点 P 是线段 OB上的一个动点（点 P 不与点 O、 B重合），过点 P 与 y

22、轴平行的直线 l 交边 OA或边 AB于点 Q，交边 OC 或边 BC 于点 R，设点 P 横坐标为 t，线 段 QR 的长度为 m.已知 t=40 时，直线 l恰好经过点 C. （ 1）求点 A和点 C 的坐标； （ 2）当 0 t 30 时，求 m 关于 t 的函数关系式； （ 3）当 m=35 时，请直接写出 t 的值； （ 4）直线 l 上有一点 M，当 PMB+ POC=90，且 PMB的周长为 60 时，请直接写出满足条件的点 M 的坐标 . 解析： （ 1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理结合 B点坐标得出 A， C 点坐标； （ 2）利用锐角三角函数关系结合（ 1）中所求得出

23、PR， QP 的长，进而求出即可； （ 3）利用（ 2）中所求，利用当 0 t 30 时，当 30t60 时，分别利用 m 与 t 的关系式求出即可； （ 4）利用相似三角形的性质，得出 M 点坐标即可 . 答案 ：（ 1）如图 1，过点 A作 AD OB，垂足为 D，过点 C 作 CE OB，垂足为 E， OA=AB， OD=DB= OB， OAB=90， AD= OB， 点 B的坐标为：（ 60， 0）， OB=60， OD= OB= 60=30， 点 A的坐标为：（ 30， 30）， 直线 l 平行于 y 轴且当 t=40 时，直线 l 恰好过点 C， OE=40， 在 RtOCE 中，

24、 OC=50， 由勾股定理得： CE= =30， 点 C 的 坐标为：（ 40， 30）； （ 2）如图 2， OAB=90， OA=AB， AOB=45， 直线 l 平行于 y 轴， OPQ=90， OQP=45， OP=QP， 点 P 的横坐标为 t， OP=QP=t， 在 RtOCE 中， OE=40， CE=30， tan EOC= ， tan POR= = ， PR=OPtan POR= t， QR=QP+PR=t+ t= t， 当 0 t 30 时， m 关于 t 的函数关系式为： m= t； （ 3）由（ 2）得：当 0 t 30 时， m=35= t，解得： t=20； 如图

25、3，当 30t60 时， OP=t，则 BP=QP=60 t， PR CE， BPR BEC， = ， 解得： PR=90 t， 则 m=60 t+90 t=35， 解得： t=46， 综上所述： t 的值为 20 或 46； （ 4）如图 4，当 PMB+ POC=90且 PMB的周长为 60 时，此时 t=40，直线 l 恰好经过点 C， 则 MBP= COP， 故此时 BMP OCP， 则 = ， 即 = 解得： x=15， 故 M1（ 40， 15），同理可得： M2（ 40， 15）， 综上所述：符合题意的点的坐标为： M1（ 40， 15）， M2（ 40， 15） . 24.如图

26、，在 ABCD 中， AB=6， BC=4， B=60，点 E 是边 AB上的一点，点 F 是边 CD上一点，将 ABCD 沿 EF 折叠，得到四边形 EFGH，点 A的对应点为点 H，点 D 的对应点为点 G. （ 1）当点 H与点 C 重合时 . 填空：点 E 到 CD 的距离是 ； 求证： BCE GCF； 求 CEF 的面积； （ 2）当点 H落在射线 BC 上，且 CH=1 时，直线 EH 与直线 CD 交于点 M，请直接写出 MEF的面积 . 解析： （ 1） 解直角三角形即可； 根据平行四边形的性质和折叠的性质得出 B= G， BCE= GCF， BC=GC，然后根据AAS 即可

27、证明； 过 E 点作 EP BC 于 P，设 BP=m，则 BE=2m，通过解直角三角形求得EP= m，然后根据折叠的性质和勾股定理求得 EC，进而根据三角形的面积就可求得； （ 2）过 E 点作 EQ BC 于 Q，通过解直角三角形求得 EP= n，根据折叠的性质和勾股定理求得 EH，然后根据三角形相似对应边成比例求得 MH，从而求得 CM，然后根据三角形面积公式即可求得 . 答案 ：（ 1）如图 1， 作 CK AB 于 K， B=60， CK=BCsin60=4 =2 ， C 到 AB 的距离和 E 到 CD 的距离都是平行线 AB、 CD 间的距离， 点 E 到 CD 的距离是 2 ，

28、 故答案为 2 ； 四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC， D= B， A= BCD， 由折叠可知， AD=CG， D= G， A= ECG， BC=GC， B= G， BCD= ECG， BCE= GCF， 在 BCE 和 GCF 中， BCE GCF（ AAS）； 过 E 点作 EP BC 于 P， B=60， EPB=90， BEP=30， BE=2BP， 设 BP=m，则 BE=2m， EP=BEsin60=2m = m， 由折叠可知， AE=CE， AB=6， AE=CE=6 2m， BC=4， PC=4 m， 在 RTECP 中，由勾股定理得（ 4 m） 2+（ m） 2=

29、（ 6 2m） 2，解得 m= ， EC=6 2m=6 2 = ， BCE GCF， CF=EC= ， SCEF= 2 = （ 2） 当 H在 BC 的延长线上时，如图 2，过 E 点作 EQ BC 于 Q， B=60， EQB=90， BEQ=30， BE=2BQ， 设 BQ=n，则 BE=2n， QE=BEsin60=2n = n， 由折叠可知， AE=HE， AB=6， AE=HE=6 2n， BC=4， CH=1， BH=5， QH=5 n， 在 RTEHQ 中，由勾股定理得（ 5 n） 2+（ n） 2=（ 6 2n） 2，解得 n= ， AE=HE=6 2n= ， AB CD， C

30、MH BEH， = ，即 = ， MH= ， EM= = SEMF= 如图 3，当 H在 BC 的延长线上时，过 E 点作 EQ BC 于 Q， B=60， EQB=90， BEQ=30， BE=2BQ， 设 BQ=n，则 BE=2n， QE=BEsin60=2n = n， 由折叠可知， AE=HE， AB=6， AE=HE=6 2n， BC=4， CH=1， BH=3 QH=3 n 在 RTEHQ 中，由勾股定理得（ 3 n） 2+（ n） 2=（ 6 2n） 2，解得 n= BE=2n=3， AE=HE=6 2n=3， BE=BH， B=60， BHE 是等边三角形， BEH=60， AE

31、F= HEF， FEH= AEF=60， EF BC， DF=CF=3， AB CD， CMH BEH， = ，即 = ， CM=1 EM=CF+CM=4 SEMF= 42 =4 . 综上， MEF 的面积为 或 4 . 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2 x+2 与 x 轴交于 B、 C 两点（点 B在点C 的左侧），与 y 轴交于点 A，抛物线的顶点为 D. （ 1）填空：点 A的坐标为（ ， ），点 B的坐标为（ ， ），点 C 的坐标为（ ， ），点 D 的坐标为（ ， ）； （ 2）点 P 是线段 BC 上的动点（点 P 不与点 B、 C 重合） 过点 P 作 x 轴

32、的垂线交抛物线于点 E，若 PE=PC，求点 E 的坐标； 在 的条件下，点 F 是坐标轴上的点，且点 F 到 EA 和 ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长； 若点 Q 是线段 AB 上的动点（点 Q 不与点 A、 B重合），点 R 是线段 AC 上的动点（点 R不与点 A、 C 重合），请直接写出 PQR 周长的最小值 . 解析： （ 1）令 x=0，求得 A（ 0， 2），令 y=0，求得 B（ 3， 0）， C（ 1， 0），由 y= x2 x+2 转化成顶点式可知 D（ 1， ）； （ 2） 设 P（ n， 0），则 E（ n， n2 n+2），根据已知条件得出 n2 n+2=

33、1 n，解方程即可求得 E 的坐标； 根据直线 ED 和 EA 的斜率可知直线与坐标轴的交角相等，从而求得与坐标轴构成的三角形是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求得 EF 的长； 根据题意得：当 PQR 为 ABC 垂足三角形时，周长最小，所以 P 与 O 重合时，周长最小，作 O 关于 AB 的对称点 E，作 O 关于 AC 的对称点 F，连接 EF 交 AB 于 Q，交 AC 于R，此时 PQR 的周长 PQ+QR+PR=EF，然后求得 E、 F 的坐标，根据勾股定理即可求得 . 答案 ：（ 1）令 x=0，则 y=2， A（ 0， 2）， 令 y=0，则 x2 x+2=0，解得 x1

34、= 3， x2=1（舍去）， B（ 3， 0）， C（ 1， 0）， 由 y= x2 x+2= （ x+1） 2+ 可知 D（ 1， ）， 故答案为 0、 2， 3、 0， 1、 0， 1、 ； （ 2） 设 P（ n， 0），则 E（ n， n2 n+2）， PE=PC， n2 n+2=1 n，解得 n1= ， n2=1（舍去）， 当 n= 时， 1 n= ， E（ ， ）， 如图 1，设直线 DE 与 x 轴交于 M，与 y 轴交于 N，直线 EA 与 x 轴交于 K， 根据 E、 D 的坐标求得直线 ED 的斜率为 ，根据 E、 A的坐标求得直线 EA的斜率为 ， MEK是以 MK 为底

35、边的等腰三角形， AEN 是以 AN 为底边的等腰三角形， 到 EA 和 ED 的距离相等的点 F 在顶角的平分线上， 根据等腰三角形的性质可知， EF 是 E 点到坐标轴的距离， EF= 或 ； （ 3）根据题意得：当 PQR 为 ABC 垂足三角形时，周长最小，所以 P 与 O 重合时，周长最小， 如图 2，作 O 关于 AB 的对称点 E，作 O 关于 AC 的对称点 F，连接 EF 交 AB 于 Q，交 AC于 R， 此时 PQR 的周长 PQ+QR+PR=EF， A（ 0， 2）， B（ 3， 0）， C（ 1， 0）， AB= SAOB= OEAB= OAOB， OE= ， OEM ABO， 即 OM= ， EM= E（ ， ）， 同理求得 F（ ， ）， 即 PQR 周长的最小值为