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1、 2015 年辽宁省铁岭市中考 真题 数学 一 .选择题（每小题 3分，共 30分，每小题四个选项只有一个是符合题意的） 1. 3 的相反数是（ ） A. 3 B.3 C. D. 解析： 根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加 “ ”，因此 3 的相反数是： 3. 答案： A. 2.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 解析：本题考查的是中心对称图形，熟知中心对称图形与轴对称图形的概念是解答此题的关键 .选项中 A是轴对称图形，但不是中心对称图形， B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形， C 既是轴对称图形，又是中心对称图形

2、， D 是轴对称图形，但不是中心对称图形 . 答案： C. 3.如图，由两个相同的小正方体和一个圆锥组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 解析 ：该几何体的左视图是一个正方形与三角形 . 答案： D. 4.下列各式运算正确的是（ ） A.a3+a2=2a5 B.a3 a2=a C.（ a3） 2=a5 D.a6a3=a3 解析： 根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，合并同类项的法则，对各选项计算 . A、 a3 与 a2 不是同类项的不能合并，故本选项错误； B、 a3 与 a2 不是同类项的不能合并，故本选项错误； C、（ a3） 2=a6，故本

3、选项错误； D、 a6a3=a3，正确 . 答案： D. 5.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 解析： 先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上 . 解不等式 得： x 2， 解不等式 得： x 4， 故不等式组的解集是： 2x 4. 答案： B. 6. 2015 年 5 月 31 日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛 100 米男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位突破 10 秒大关的黄种人 .如表是苏炳添近五次大赛参赛情况： 比赛日期 2012 8 4 2013 5 2014 9 2015 5 2015 5 21 28 20

4、 31 比赛地点 英国伦敦 中国北京 韩国仁川 中国北京 美国尤金 成绩（秒） 10.19 10.06 10.10 10.06 9.99 则苏炳添这五次比赛成绩的众数和平均数分别为（ ） A.10.06 秒， 10.06 秒 B.10.10 秒， 10.06 秒 C.10.06 秒， 10.08 秒 D.10.08 秒， 10.06 秒 解析：这组数据按照从小到大的顺序排列为： 9.99， 10.06， 10.06， 10.10， 10.19， 则众数为： 10.06， 平均数为： =10.08. 答案： C. 7.如图，点 D、 E、 F 分别为 ABC 各边中点，下列说法正确的是（ ） A

5、.DE=DF B.EF= AB C.SABD=SACD D.AD 平分 BAC 解析： 本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 . A、 点 D、 E、 F 分别为 ABC 各边中点， DE= AC， DF= AB， ACAB， DEDF，故该选项错误； B、由 A选项的思路可知， B选项错误、 C、 SABD= BDh， SACD= CDh， BD=CD， SABD=SACD，故该选项正确； D、 BD=CD， ABAC， AD 不平分 BAC， 答案： C. 8.一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概

6、率为（ ） A. B. C. D. 解析： 根据正方形的性质求出阴影部分占整个面积的 ，因此一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是： . 答案： B. 9.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来 200 元降到 162 元 .设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ） A.200（ 1 x） 2=162 B.200（ 1+x） 2=162 C.162（ 1+x） 2=200 D.162（ 1 x） 2=200 解析： 根据 商品原价 （ 1平均每次降价的百分率） =现在的价格，由题意可列方程是：200（ 1 x） 2=168. 答案： A. 10.一辆慢车与一辆

7、快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离 S（ km）与慢车行驶时间 t（ h）之间的函数图象如图所示，下列说法： 甲、乙两地之间的距离为 560km； 快车速度是慢车速度的 1.5 倍； 快车到达甲地时，慢车距离甲地 60km； 相遇时，快车距甲地 320km 其中正确的个数是（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析：由题意可得出：甲乙两地之间的距离为 560 千米，故 正确； 由题意可得出：慢车和快车经过 4 个小时后相遇，出发后两车之间的距离开始增大知直到快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知快车经

8、过 3 个小时后到达甲地，此段路程慢车需要行驶 4 小时，因此慢车和快车的速度之比为 3： 4，故 错误； 设慢车速度为 3xkm/h，快车速度为 4xkm/h， （ 3x+4x） 4=560， x=20 快车的速度是 80km/h，慢车的速度是 60km/h. 由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为 460=240km，故 错误， 当慢车行驶了 7 小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为 240 360=60km，故 正确 . 答案： B. 二 .填空题（每小题 3分，共 24分） 11.据 2014 年国民经济和社会发展统计公报显示， 2014 年我国教育科技和文化体育事业发展

9、较快，其中全年普通高中招生 7966000 人，将 7966000 用科学记数法表示为 . 解析： 科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 .将 7966000 用科学记数法表示为7.966106. 答案 ： 7.966106. 12.在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A、 B、 C 的坐标分别为（ 1， 1）、（ 1， 1）、（ 1， 1），则顶点 D 的坐标为 .

10、解析： 正方形两个顶点的坐标为 A（ 1， 1）， B（ 1， 1）， AB=1（ 1） =2， 点 C 的坐标为：（ 1， 1）， 第四个顶点 D 的坐标为：（ 1， 1） . 答案 ： （ 1， 1） . 13.在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球 4 个，黑、白色小球的数目相同 .小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色； 如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于 20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有 个 . 解析：设黑色的数目为 x，则黑、白色小球一共有 2x 个， 多次试验发现摸到红球的频率是 2

11、0%，则得出摸到红球的概率为 20%， =20%，解得： x=8， 黑色小球的数目是 8 个 . 答案 ： 8. 14.如图， AB CD， AC BC， ABC=35，则 1 的度数为 . 解析： AB CD， ABC= BCD=35， AC BC， ACB=90， 1=180 90 35=55， 答案 ： 55. 15.已知关于 x 的方程 x2 2x+a=0 有两个实数根，则实数 a的取值范围是 . 解析： 方程 x2 2x+a=0 有两个实数根， =4 4a0， 解得： a1， 答案 ： a1 16.如图，点 O 是正五边形 ABCDE 的中心，则 BAO 的度数为 . 解析：连接 O

12、B， 则 OB=OA， BAO= ABO， 点 O 是正五边形 ABCDE 的中心， AOB= =72， BAO= （ 180 72） =54； 答案 ： 54. 17.如图，点 A（ m， 2）， B（ 5， n）在函数 y= （ k 0， x 0）的图象上，将该函数图象向上平移 2 个单位长度得到一条新的曲线，点 A、 B的对应点分别为 A 、 B .图中阴影部分的面积为 8，则 k 的值为 . 解析： 将该函数图象向上平移 2 个单位长度得到一条新的曲线，点 A、 B的对应点分别为A 、 B ，图中阴影部分的面积为 8， 5 m=4， m=1， A（ 1， 2）， k=12=2. 答案

13、： 2. 18.如图，将一条长度为 1 的线段三等分，然后取走其中的一份，称为第一次操作；再将余下的每一条线段三等分，然后取走其中一份，称为第二次操作； 如此重复操作，当第 n 次操作结束时，被取走的所有线段长度之和为 . 解析：第一次操作后余下的线段之和为 1 ， 第二次操作后余下的线段之和为（ 1 ） 2， 第 n 次操作后余下的线段之和为（ 1 ） n= ， 则被取走的所有线段长度之和为 1 . 答案 ： 1 . 三 .解答题 19.先化简 ，然后从 2， 1， 1， 2 四个数中选择一个合适的数作为 a 的值代入求值 . 解析： 先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运

14、算，然后约分得到原式 = ，根据分式有意义的条件，把 a=2 代入计算即可 . 答案： 原式 = 当 a=2 时，原式 = =3. 20.如图，矩形 ABCD 中， AB=8， AD=6，点 E、 F 分别在边 CD、 AB上 . （ 1）若 DE=BF，求证：四边形 AFCE 是平行四边形； （ 2）若四边形 AFCE 是菱形，求菱形 AFCE 的周长 . 解析： （ 1）首先根据矩形的性质可得 AB 平行且等于 CD，然后根据 DE=BF，可得 AF平行且等于 CE，即可证明四边形 AFCE 是平行四边形； （ 2）根据四边形 AFCE 是菱形，可得 AE=CE，然后设 DE=x，表示出

15、AE， CE 的长度，根据相等求出 x 的值，继而可求得菱形的边长及周长 . 答案： （ 1） 四边形 ABCD 为矩形， AB=CD， AB CD， DE=BF， AF=CE， AF CE， 四边形 AFCE 是平行四边形； （ 2） 四边形 AFCE 是菱形， AE=CE， 设 DE=x， 则 AE= ， CE=8 x， 则 =8 x， 解得： x= ， 则菱形的边长为： 8 = ， 周长为： 4 =25， 故菱形 AFCE 的周长为 25. 21.某社区为了解居民对足球、篮球、排球、羽毛球和乒乓球这五种球类运动项目的喜爱情况，在社区开展了 “我最喜爱的球类运动项目 ”的随机调查（每位被调

16、查者必须且只能选择最喜爱的一种球类运动项目），并将调查结果进行了统计，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图： （ 1）求本次被调查的人数； （ 2）将上面的两幅统计图补充完整； （ 3）若该社区喜爱这五种球类运动项目的人数大约有 4000 人，请你估计该社区喜爱羽毛球运动项目的人数 . 解析：（ 1）用喜欢乒乓球项目的人数除以它所占的百分比即可得 到本次被调查的人数； （ 2）用总人数分别减去其它项目的人数即可得到喜欢足球项目的人数，然后分别计算项目足球和棒球项目的百分比，再补全统计图； （ 3）利用样本根据总体，用 4000 乘以样本中喜欢羽毛球项目的百分比即可估计该社区喜爱羽毛球运动项目的

17、人数 . 答案： （ 1）本次被调查的人数 =2412%=200（人）； （ 2）喜欢足球项目的人数 =200 24 46 60 30=40（人）， 所以喜欢足球项目的百分比 = 100%=20%，喜欢棒球项目的百分比 = 100%=15%， 如图， （ 3） 400030%=1200， 所以估计该社区喜爱羽毛球运动项目的人数约为 1200 人 . 22.如图，在 ABC 中， AB=AC， AD 是 BC 边上的中线，以 AD 为直径作 O，连接 BO 并延长至 E，使得 OE=OB，连接 AE. （ 1）求证： AE 是 O 的切线； （ 2）若 BD= AD=4，求阴影部分的面积 . 解

18、析： （ 1）证明 BOD EOA，得到 OAE=90，根据切线的判定定理得到答案； （ 2）求出 AOE=45，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式计算得到答案 . 答案： （ 1） AB=AC， AD 是 BC 边上的中线， ODB=90， 在 BOD 和 EOA中， BOD EOA， OAE= ODB=90， AE 是 O 的切线； （ 2） ODB=90， BD=OD， BOD=45， AOE=45， 则阴影部分的面积 = 44 =8 . 23.如图，大楼 AN 上悬挂一条幅 AB，小颖在坡面 D 处测得条幅顶部 A的仰角为 30，沿坡面向下走到坡脚 E 处，然后向大楼方向继续行走 1

19、0 米来到 C 处，测得条幅的底部 B的仰角为 45，此时小颖距大楼底端 N 处 20 米 .已知坡面 DE=20 米，山坡的坡度 i=1： （即 tan DEM=1： ），且 D、 M、 E、 C、 N、 B、 A在同一平面内， E、 C、 N 在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到 1 米）（参考数据： 1.73， 1.41） 解析： 过点 D 作 DH AN 于 H，过点 E 作 FE 于 DH 于 F，首先求出 DF 的长，进而可求出 DH 的长，在直角三角形 ADH中，可求出 AH 的长，进而可求出 AN 的长，在直角三角形 CNB中可求出 BN 的长，利用 AB=AH BN 计算

20、即可 . 答案： 过点 D 作 DH AN 于 H，过点 E 作 FE 于 DH 于 F， 坡面 DE=20 米，山坡的坡度 i=1： ， EF=10 米， DF=10 米， DH=DF+EC+CN=（ 10 +30）米， ADH=30， AH= DH=（ 30+30 ）米， AN=AH+EF=（ 40+30 ）米， BCN=45， CN=BN=20 米， AB=AN BN=20+30 71 米， 答：条幅的长度是 71 米 . 24.某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在 20 千克 60 千克之间（含 20 千克和 60 千克）时，每千克批发价是 5 元；若超过 6

21、0 千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于 300 元 . （ 1）根据题意， 填写如表： 蔬菜的批发量（千克） 25 60 75 90 所付的金额（元） 125 300 （ 2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量 y（千克）与零售价 x（元 /千克）是一次函数关系，其图象如图，求出 y 与 x 之间的函数关系式； （ 3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于 75 千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？ 解析： （ 1）根据这种蔬菜的批发量在 20 千克 60 千克之间（含 20 千克和 60 千克）时，每

22、千克批发价是 5 元，可得 605=300 元；若超过 60 千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，则 9050.8=360 元； （ 2）把点（ 5， 90），（ 6， 60）代入函数解析式 y=kx+b（ k0），列出方程组，通过解方程组求得函数关系式； （ 3）利用最大利润 =y（ x 4），进而利用配方法求出函数最值即可 . 答案： （ 1）由题意知： 当蔬菜批发量为 60 千克时： 605=300（元）， 当蔬菜批发量为 90 千克时： 9050.8=360（元） . 故答案为： 300， 360； （ 2）设该一次函数解析式为 y=kx+b（ k0），把点（ 5， 90），（ 6， 6

23、0）代入，得 解得 . 故该一次函数解析式为： y= 30x+240； （ 3）设当日可获利润 w（元），日零售价为 x 元，由（ 2）知， w=（ 30x+240）（ x 50.8） = 30（ x 6） 2+120， 当 x=6 时，当日可获得利润最大，最大利润为 120 元 . 25.已知：点 D 是等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 所在直线上一点（不与点 B重合），连接 AD. （ 1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，将线段 AD 绕点 A逆时针方向旋转 90得到线段 AE，连接 CE.求证： BD=CE， BD CE. （ 2）如图 2，当点 D 在线段 BC 延长线上时，

24、探究 AD、 BD、 CD 三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（ 3）若 BD= CD，直接写出 BAD 的度数 . 解析： （ 1）根据等腰直角三角形的性质可得 ABC= ACB=45，再根据旋转性质可得AD=AE， DAE=90，然后利用同角的余角相等求出 BAD= CAE，然后利用 “边角边 ”证明 BAD 和 CEF 全等，从而得证； （ 2）将线段 AD 绕点 A逆时针方向旋转 90得到线段 AE，连接 CE.与（ 1）同理可得 CE=BD，CE BD，根据勾股定理即可求得 2AD2=BD2+CD2； （ 3）分两种情况分别讨论即可求得 . 解答： （ 1）证明：如图 1，

25、 BAC=90， AB=AC， ABC= ACB=45， DAE=90， DAE= CAE+ DAC=90， BAC= BAD+ DAC=90， BAD= CAE， 在 BAD 和 CAE 中， BAD CAE（ SAS）， BD=CE， ACE= ABC=45. BCE= ACB+ ACE=90， BD CE； （ 2） 2AD2=BD2+CD2， 理由：如图 2，将线段 AD 绕点 A逆时针方向旋转 90得到线段 AE，连接 CE. 与（ 1）同理可证 CE=BD， CE BD， EAD=90AE=AD， ED= AD， 在 RTECD 中， ED2=CE2+CD2， 2AD2=BD2+C

26、D2. （ 3）如图 3， 当 D在 BC 边上时，将线段 AD1 绕点 A顺时针方向旋转 90得到线段 AE，连接 BE， 与（ 1）同理可证 ABE ACD1， BE=CD1， BE BC， BD= CD， BD1= BE， tan BD1E= = ， BD1E=30， EAD1=EBD1=90， 四边形 A、 D1、 B、 E 四点共圆， EAB= BD1E=30， BAD1=90 30=60； 将线段 AD 绕点 A逆时针方向旋转 90得到线段 AF，连接 CF. 同理可证： CFD2=30， FAD2=FCD2=90， 四边形 A、 F、 D2、 C 四点共圆， CAD2= CFD2

27、=30， BAD2=90+30=120， 综上， BAD 的度数为 60或 120. 26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+ 与 x 轴交于 A（ 3， 0）， B（ 1， 0）两点 .与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴对称 . （ 1）求抛物线的解析式，并直接写出点 D 的坐标； （ 2）如图 1，点 P 从点 A出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB匀速运动，到达点 B时停止运动 .以 AP 为边作等边 APQ（点 Q 在 x 轴上方），设点 P 在运动过程中， APQ 与四边形 AOCD 重叠部分的面积为 S，点 P 的运动时间为 t 秒，

28、求 S 与 t 之间的函数关系式； （ 3）如图 2，连接 AC，在第二象限内存在点 M，使得以 M、 O、 A为顶点的三角形与 AOC相似 .请直接写出所有符合条件的点 M 坐标 . 解析： （ 1）直接代入求得函数解析式即可，由点 D 与 C 对称求得点 D 坐标即可； （ 2）由特殊角的三角函数值得出 DAP=60，则点 Q 一直在直线 AD 上运动，分别探讨当点 P 在线段 AO 上；点 Q 在 AD 的延长线上，点 P 在线段 OB上以及点 Q 在 AD 的延长线上，点 P 在线段 OB上时的重叠面积，利用三角形的面积计算公式求得答案即可； （ 3）由于 OC= ， OA=3， OA

29、 OC，则 OAC 是含 30的直角三角形，分两种情况探讨：当 AMO 以 AMO 为直角的直角三角形时；当 AMO 以 OAM 为直角的直角三角形时；得出答案即可 . 答案： （ 1） 抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A（ 3， 0）， B（ 1， 0）两点， ， 解得 抛物线解析式为 y= x2 x+ ； 则 D 点坐标为（ 2， ） . （ 2） 点 D 与 A横坐标相差 1，纵坐标之差为 ，则 tan DAP= ， DAP=60， 又 APQ 为等边三角形， 点 Q 始终在直线 AD 上运动，当点 Q 与 D 重合时，由等边三角形的性质可知： AP=AD=2. 当 0t2 时， P

30、在线段 AO 上，此时 APQ 的面积即是 APQ 与四边形 AOCD 的重叠面积 . AP=t， QAP=60， 点 Q 的纵坐标为 tsin60= t， S= tt= t2. 当 2 t3 时，如图： 此时点 Q 在 AD 的延长线上，点 P 在 OA 上， 设 QP 与 DC 交于点 H， DC AP， QDH= QAP= QHD= QPA=60， QDH 是等边三角形， S=SQAP SQDH， QA=t， SQAP= t2. QD=t 2， SQDH= （ t 2） 2， S= t2 （ t 2） 2= t . 当 3 t4 时，如图： 此时点 Q 在 AD 的延长线上，点 P 在线

31、段 OB上， 设 QP 与 DC 交于点 E，与 OC 交于点 F，过点 Q作 AP 的垂涎，垂足为 G， OP=t 3， FPO=60， OF=OPtan60= （ t 3）， SFOP= （ t 3）（ t 3） = （ t 3） 2， S=SQAP SQDE SFOP， SQAP SQDE= t . S= t （ t 3） 2= t2+4 t . 综上所述， S 与 t 之间的函数关系式为 S= . （ 3） OC= ， OA=3， OA OC，则 OAC 是含 30的直角三角形 . 当 AMO 以 AMO 为直角的直角三角形时；如图： 过点 M2 作 AO 的垂线，垂足为 N， M2AO=30， AO=3， M2O= ， 又 OM2N=M2AO=30， ON= OM2= ， M2N= ON= ， M2 的坐标为（ ， ） . 同理可得 M1 的坐标为（ ， ） . 当 AMO 以 OAM 为直角的直角三角形时；如图： 以 M、 O、 A为顶点的三角形与 OAC 相似， = ，或 = ， OA=3， AM= 或 AM=3 ， AM OA，且点 M 在第二象限， 点 M 的坐标为（ 3， ）或（ 3， 3 ） . 综上所述，符合条件的点 M 的所有可能的坐标为（ 3， ），（ 3， 3 ），（ ， ），（ ， ） .