2014年山东省莱芜市中考真题数学.docx

1、2014 年山东省莱芜市中考真题数学 一、选择题 (本题共 12 小题，每小题选对得 3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共 36分 ) 1.(3 分 )下列四个实数中，是无理数的为 ( ) A.0 B.-3 C. D. 解析： A、 0 是整数，是有理数，选项错误； B、 -3 是整数，是有理数，选项错误； C、 =2 是无理数正确； D、 是无限循环小数，是有理数，选项错误 . 答案： C. 2.(3 分 )下面计算正确的是 ( ) A. 3a-2a=1 B. 3a2+2a=5a3 C. (2ab)3=6a3b3 D. -a4 a4=-a8 解析： A、 3a-2a=a，原式计算

2、错误，故本选项错误； B、 3a2和 2a 不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、 (2ab)3=8a3b3，原式计算错误，故本选项错误； D、 -a4 a4=-a8，计算正确，故本选项正确 . 答案： D. 3.(3 分 )2014 年 4 月 25 日 青岛世界园艺博览会成功开幕，预计将接待 1500 万人前来观赏，将 1500 万用科学记数法表示为 ( ) A. 1510 5 B. 1.510 6 C. 1.510 7 D. 0.1510 8 解析： 将 1500 万用科学记数法表示为： 1.510 7. 答案： C. 4.(3 分 )如图是由 4 个相同的小正方形搭成的一个几何体，

3、则它的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 从上面可看到从左往右有三个正方形， 答案： A. 5.(3 分 )对参加某次野外训练的中学生的年龄 (单位：岁 )进行统计，结果如表： 则这些学生年龄的众数和中位数分别是 ( ) A. 17， 15.5 B. 17， 16 C. 15， 15.5 D. 16， 16 解析： 17 出现的次数最多， 17 是众数 . 第 15 和第 16 个数分别是 15、 16，所以中位数为 16.5. 答案： A. 6.(3 分 )若一个正 n 边形的每个内角为 156 ，则这个正 n 边形的边数是 ( ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 1

4、 6 解析： 一个正多边形的每个内角都为 156 ， 这个正多边形的每个外角都为： 180 -156=24 ， 这个多边形的边数为： 36024=15 ， 答案： C. 7.(3 分 )已知 A、 C 两地相距 40 千米， B、 C 两地相距 50 千米，甲乙两车分别从 A、 B 两地同时出发到 C 地 .若乙车每小时比甲车多行驶 12 千米，则两车同时到达 C 地 .设乙车的速度为x 千米 /小时，依题意列方程正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 由题意得， = . 答案： B. 8.(3 分 )如图， AB 为半圆的直径，且 AB=4，半圆绕点 B 顺时针旋转 45 ，点 A

5、旋转到 A的位置，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. B. 2 C. D. 4 解析： S 阴影 =S 扇形 ABA +S 半圆 -S 半圆 =S 扇形 ABA = =2 ， 答案： B. 9.(3 分 )一个圆锥的侧面展开图是半径为 R 的半圆，则该圆锥的高是 ( ) A. R B. C. D. 解析： 圆锥的底面周长是： R ；设圆锥的底面半径是 r，则 2r=R .解得： r= R. 由勾股定理得到圆锥的高为 = ， 答案： D. 10.(3 分 )如图，在 ABC 中， D、 E 分别是 AB、 BC 上的点，且 DEAC ，若 SBDE ： SCDE =1： 4，则 SBDE ：

6、SACD =( ) A. 1： 16 B.1： 18 C. 1： 20 D. 1： 24 解析： S BDE ： SCDE =1： 4， 设 BDE 的面积为 a，则 CDE 的面积为 4a， BDE 和 CDE 的点 D 到 BC 的距离相等， = ， = ， DEAC ， DBEABC ， S DBE ： SABC =1： 25， S ACD =25a-a-4a=20a， S BDE ： SACD =a： 20a=1： 20. 答案： C. 11.(3 分 )如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC、 AD、 CE， CE 交 AD 于点 F，连接 BF，下列说法不正确的是 ( ) A

7、. CDF 的周长等于 AD+CD B. FC 平分 BFD C. AC2+BF2=4CD2 D. DE2=EF CE 解析： 五边形 ABCDE 是正五边形， AB=BC=CD=DE=AE ， BACE ， ADBC ， ACDE ， AC=AD=CE， 四边形 ABCF 是菱形， CF=AF ， CDF 的周长等于 CF+DF+CD，即 CDF 的周长等于 AD+CD，故 A 说法正确； 四边形 ABCF 是菱形， ACBF ， 设 AC 与 BF 交于点 O，由勾股定理得 OB2+OC2=BC2， AC 2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2， AC 2+B

8、F2=4CD2.故 C 说法正确； 由正五边形的性质得， ADECDE ， DCE=EDF ， CDEDFE ， = ， DE 2=EF CE，故 C 说法正确； 答案： B. 12.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示 .下列结论： abc 0； 2a -b 0； 4a -2b+c 0； (a+c)2 b2 其中正确的个数有 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 抛物线开口向下， a 0， 抛物线的对称轴在 y 轴的左侧， x= - 0， b 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c 0， abc 0，所以 正确； -1 - 0， 2a -

9、b 0，所以 正确； 当 x=-2 时， y 0， 4a -2b+c 0，所以 正确； 当 x=-1 时， y 0， a -b+c 0， 当 x=1 时， y 0， a+b+c 0， (a-b+c)(a+b+c) 0，即 (a+c-b)(a+c+b) 0， (a+c)2-b2 0，所以 正确 . 答案： D. 二、填空题 (本题包括 5 小题，每小题 4分，共 20分 ) 13.(4 分 )分解因式： a3-4ab2= . 解析： a3-4ab2=a(a2-4b2)=a(a+2b)(a-2b). 答案： a(a+2b)(a-2b). 14.(4 分 )计算： = . 解析： 原式 =2 -3+

10、1+ =2 -3+1+ =2 -3+1+2=2 . 答案： 2 . 15.(4 分 )若关于 x 的方程 x2+(k-2)x+k2=0 的两根互为倒数，则 k= . 解析： x 1x2=k2，两根互为倒数， k 2=1，解得 k=1 或 -1； 方程有两个实数根， 0， 当 k=1 时， 0，舍去， 答案： -1. 16.(4 分 )已知一次函数 y=ax+b 与反比例函数 的图象相交于 A(4， 2)、 B(-2， m)两点，则一次函数的表达式为 . 解析： 把 A(4， 2)代入 得 k=42=8 ，所以反比例函数解析式为 y= ， 把 B(-2， m)代入 y= 得 -2m=8，解得 m

11、=-4， 把 A(4， 2)、 B(-2， -4)代入 y=ax+b 得 ，解得 ， 所以一次函数解析式为 y=x-2.来源 :学 ,科 ,网 Z,X,X,K 答案： y=x-2. 17.(4 分 )如图在坐标系中放置一菱形 OABC，已知 ABC=60 ， OA=1.先将菱形 OABC 沿 x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60 ，连续翻转 2014 次，点 B 的落点依次为 B1， B2， B3， ，则 B2014的坐标为 . 解析： 连接 AC，如图所示 . 四边形 OABC 是菱形， OA=AB=BC=OC . ABC=90 ， ABC 是等边三角形 .AC=AB .AC=OA . O

12、A=1 ， AC=1 .画出第 5 次、第 6 次、第 7 次翻转后的图形，如图所示 . 由图可知：每翻转 6 次，图形向右平移 4. 2014=3356+4 ， 点 B4向右平移 1340(即 3354 )到点 B2014. B 4的坐标为 (2， 0)， B 2014的坐标为 (2+1340， 0)， B 2014的坐标为 (1342， 0). 三、解答题 (本大题共 7 小题，共 64 分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤 ) 18.(6 分 )先化简，再求值： ，其中 a=-1. 解析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结

13、果，将 a 的值代入计算即可求出值 . 答案 ：原式 = = =a(a-2)， 当 a=-1 时，原式 =-1 (-3)=3. 19.(8 分 )在某市开展的 “ 读中华经典，做书香少年 ” 读书月活动中，围绕学生日人均阅读时间这一问题，对初二学生进行随机抽样调查 .如图是根据调查结果绘制成的统计图 (不完整 )，请你根据图中提供的信息解答下列问题：(1)本次抽样调查的样本容量是多少？ (2)请将条形统计图补充完整 . (3)在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在 1 1.5 小时对应的圆心角度数 . (4)根据本次抽样调查，试估计该市 12000 名初二学生中日人均阅读时间在 0.5 1.5

14、 小时的多少人 . 解析： (1)根据第一组的人数是 30，占 20%，即可求得总数，即样本容量； (2)利用总数减去另外两段的人数，即可求得 0.5 1 小时的人数，从而作出直方图； (3)利用 360 乘以日人均阅读时间在 1 1.5 小时的所占的比例； (4)利用总人数 12000 乘以对应的比例即可 . 答案 ： (1)样本容量是： 3020%=150 ； (2)日人均阅读时间在 0.5 1 小时的人数是： 150-30-45=75. ； (3)人均阅读时间在 1 1.5 小时对应的圆心角度数是： 360 =108 ； (4)12000 =6000(人 ). 20.(9 分 )如图，一

15、堤坝的坡角 ABC=62 ，坡面长度 AB=25 米 (图为横截面 )，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角 ADB=50 ，则此时应将坝底向外拓宽多少米？ (结果保留到 0.01 米 )(参考数据： sin620.88 ， cos620.47 ，tan501.20 ) 解析： 过 A 点作 AECD 于 E.在 RtABE 中，根据三角函数可得 AE， BE，在 RtADE 中，根据三角函数可得 DE，再根据 DB=DC-BE 即可求解 . 答案 ：过 A 点作 AECD 于 E. 在 RtABE 中， ABE=62 . AE=AB sin62=250.88=22 米

16、， BE=A cos62=250.47=11.75 米， 在 RtADE 中， ADB=50 ， DE= =18 米， DB=DC -BE6.58 米 . 故此时应将坝底向外拓宽大约 6.58 米 . 21.(9 分 )如图，已知 ABC 是等腰三角形，顶角 BAC= ( 60 )， D是 BC 边上的一点，连接 AD，线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 到 AE，过点 E作 BC的平行线，交 AB于点 F，连接DE， BE， DF. (1)求证： BE=CD； (2)若 ADBC ，试判断四边形 BDFE 的形状，并给出证明 . 解析： (1)根据旋转可得 BAE=CAD ，从而 SAS 证明

17、 ACDABE ，得出答案 BE=CD； (2)由 ADBC ， SAS 可得 ACDABEABD ，得出 BE=BD=CD， EBF=DBF ，再由 EFBC ，DBF=E FB，从而得出 EBF=EFB ，则 EB=EF，证明得出四边形 BDFE 为菱形 . 答案 ： (1)ABC 是等腰三角形，顶角 BAC= ( 60 )，线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 到 AE， AB=AC ， BAE=CAD ， 在 ACD 和 ABE 中， ， ACDABE (SAS)， BE=CD ； (2)ADBC ， BD=CD ， BE=BD=CD ， BAD=CAD ， BAE=BAD ， 在 ABD

18、 和 ABE 中， ， ABDABE (SAS)， EBF=DBF ， EFBC ， DBF=EFB ， EBF=EFB ， EB=EF ， BD=BE=EF=FD ， 四边形 BDFE 为菱形 . 22.(10 分 )某市为打造 “ 绿色城市 ” ，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知 2013 年投资 1000 万元，预计 2015 年投资 1210万元 .若这两年内平均每年投资增长的百分率相同 . (1)求平均每年投资增长的百分率； (2)已知河道治污每平方需投入 400 元，园林绿化每平方米需投入 200 元，若要求 2015 年河道治污及园林绿化总面积不少于 35000

19、平方米，且河道治污费用不少于 园林绿化费用的 4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？ 解析： (1)设平均每年投资增长的百分率是 x.根据 2013 年投资 1000 万元，得出 2014 年投资 1000(1+x)万元， 2015 年投资 1000(1+x)2万元，而 2015 年投资 1210 万元 .据此列方程求解； (2)设 2015 年河道治污面积为 a 平方米，园林绿化面积为 平方米，根据2015 年河道治污及园林绿化总面积不少于 35000 平方米及河道治污费用不少于园林绿化费用的 4 倍列出不等式组，解不等式组即可 . 答案 ： (1)设平均每年投资增长的百分率是 x.由题意

20、得 1000(1+x)2=1210， 解得 x1=0.1， x2=-2.1(不合题意舍去 ). 答：平均每年投资增长的百分率为 10%； (2)设 2015 年河道治污面积为 a 平方米，园林绿化面积为 平方米， 由题意，得 ， 由 得 a25500 ， 由 得 a24200 ， 24200a25500 ， 968 万 400a1020 万， 190 万 1210 万 -400a242 万， 答：园林绿化的费用应在 190 万 242 万的范围内 . 23.(10 分 )如图 1，在 O 中， E 是弧 AB 的中点， C 为 O 上的一动点 (C 与 E 在 AB 异侧 )，连接 EC 交

21、AB 于点 F， EB= (r 是 O 的半径 ). (1)D 为 AB 延长线上一点，若 DC=DF，证明：直线 DC 与 O 相切； (2)求 EF EC 的值； (3)如图 2，当 F 是 AB 的四等分点时，求 EC 的值 . 解析： (1)连结 OC、 OE， OE 交 AB 于 H，如图 1，由 E是弧 AB的中点，根据垂径定理的推论得到 OEAB ，则 HEF+HFE=90 ，由对顶相等得 HFE=CFD ，则 HEF+CFD=90 ，再由 DC=DF 得 CFD=DCF ，加上 OCE=O EC，所以 OCE+DCE=HEF+CFD=90 ，于是根据切线的判定定理得直线 DC

22、与 O 相切； (2)由弧 AE=弧 BE，根据圆周角定理得到 ABE=BCE ，加上 FEB=BEC ，于是可判断EBFECB ，利用相似比得到 EF EC=BE2=( r)2= r2； (3)如图 2，连结 OA，由弧 AE=弧 BE 得 AE=BE= r，设 OH=x，则 HE=r-x，根据勾股定理，在RtOAH 中有 AH2+x2=r2；在 RtEAH 中由 AH2+(r-x)2=( r)2，利用等式的性质得x2-(r-x)2=r2-( r)2，即得 x= r，则 HE=r- r= r，在 RtOAH 中，根据勾股定理计算出AH= ，由 OEAB 得 AH=BH，而 F是 AB的四等分

23、点，所以 HF= AH= ，于是在 RtEFH中可计算出 EF= r，然后利用 (2)中的结论可计算出 EC. 答案： (1)连结 OC、 OE， OE 交 AB 于 H，如图 1， E 是弧 AB 的中点， OEAB ， EHF=90 ， HEF+HFE=90 ， 而 HFE=CFD ， HEF+CFD=90 ， DC=DF ， CFD=DCF ， 而 OC=OE， OCE=OEC ， OCE+DCE=HEF+CFD=90 ， OCCD ， 直线 DC 与 O 相切； (2)连结 BC， E 是弧 AB 的中点， 弧 AE=弧 BE， ABE=BCE ， 而 FEB=BEC ， EBFECB

24、 ， EF ： BE=BE： EC， EF EC=BE2=( r)2= r2； (3)如图 2，连结 OA， 弧 AE=弧 BE， AE=BE= r， 设 OH=x，则 HE=r-x， 在 RtOAH 中， AH2+OH2=OA2，即 AH2+x2=r2， 在 RtEAH 中， AH2+EH2=EA2，即 AH2+(r-x)2=( r)2， x 2-(r-x)2=r2-( r)2，即得 x= r， HE=r - r= r， 在 RtOAH 中， AH= = = ， OEAB ， AH=BH ，而 F 是 AB 的四等分点， HF= AH= ， 在 RtEFH 中， EF= = = r， EF

25、EC= r2， r EC= r2， EC= r. 24.(12 分 )如图，过 A(1， 0)、 B(3， 0)作 x 轴的垂线，分别交直线 y=4-x 于 C、 D 两点 .抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、 C、 D 三点 . (1)求抛物线的表达式； (2)点 M 为直线 OD 上的一个动点，过 M作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，问是否存在这样的点M，使得以 A、 C、 M、 N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点 M 的横坐标；若不存在，请说明理由； (3)若 AOC 沿 CD 方向平移 (点 C 在线段 CD 上，且不与点 D 重合 )，在平移的过程中 AOC与 O

26、BD 重叠部分的面积记为 S，试求 S 的最大值 . 解析： (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)由题意，可知 MNAC ，因为以 A、 C、 M、 N 为顶点的四边形为平行四边形，则有 MN=AC=3.设点 M 的横坐标为 x，则求出 MN=| x2-4x|；解方程 | x2-4x|=3，求出 x 的值，即点 M 横坐标的值； (3)设水平方向的平移距离为 t(0t 2)，利用平移性质求出 S 的表达式： S=- (t-1)2+ ；当 t=1 时， s 有最大值为 . 答案 ： (1)由题意，可得 C(1， 3)， D(3， 1). 抛物线过原点， 设抛物线的解析式为： y=ax

27、2+bx. ，解得 ， 抛物线的表达式为： y=- x2+ x. (2)存在 . 设直线 OD 解析式为 y=kx，将 D(3， 1)代入求得 k= ， 直线 OD 解析式为 y= x. 设点 M 的横坐标为 x，则 M(x， x)， N(x， - x2+ x)， MN=|y M-yN|=| x-(- x2+ x)|=| x2-4x|. 由题意，可知 MNAC ，因为以 A、 C、 M、 N 为顶点的四边形为平行四边形，则有 MN=AC=3. | x2-4x|=3. 若 x2-4x=3，整理得： 4x2-12x-9=0，解得： x= 或 x= ； 若 x2-4x=-3，整理得： 4x2-12x

28、+9=0，解得： x= . 存在满足条件的点 M，点 M 的横坐标为： 或 或 . (3)C (1， 3)， D(3， 1) 易得直线 OC 的解析式为 y=3x，直线 OD 的解析式为 y= x.如 图所示， 设平移中的三角形为 AOC ，点 C 在线段 CD 上 . 设 OC 与 x 轴交于点 E，与直线 OD 交于点 P； 设 AC 与 x 轴交于点 F，与直线 OD 交于点 Q. 设水平方向的平移距离为 t(0t 2)， 则图中 AF=t， F(1+t)， Q(1+t， + t)， C (1+t， 3-t). 设直线 OC 的解析式为 y=3x+b， 将 C (1+t， 3-t)代入得： b=-4t， 直线 OC 的解析式为 y=3x-4t.E ( t， 0). 联立 y=3x-4t 与 y= x，解得 x= t， P ( t， t). 过点 P 作 PGx 轴于点 G，则 PG= t. S=S OFQ -SOEP = OF FQ- OE PG= (1+t)( + t)- t t=- (t-1)2+ 当 t=1 时， S 有最大值为 .S 的最大值为 .