【考研类试卷】考研数学一-159及答案解析.doc

1、考研数学一-159 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 处处连续，则 f“(0)=（分数：4.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X 的概率分布为（分数：4.00）A.B.C.D.4.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0， 2，0， 2；0)，则随机变量 X+Y 与 X-Y 必（分数：4.00）A.相互独立且同分布B.相互独立但不同分布C.不相互独立但同分布D.不相互独立且不同分布5.设 A，B 都是 3 阶矩阵，将 A 中第一行的 2 倍加至第 2 行得到矩阵 A1，将 B 中第

2、3 列乘以 得到B1，如果 则 AB=（分数：4.00）A.B.C.D.6.三元一次方程组所代表的三平面不可能的位置关系为（分数：4.00）A.B.C.D.7.当 x0 时，下列无穷小中最高阶的是（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)在 x=x0处取得极大值，则（分数：4.00）A.f(x0)=0B.存在 o，使 f(x)在(x 0-，x 0)内单调增；而在(x 0，x 0+)内单调减C.存在 0，在(x 0-，x 0)内 f(x0)0；而在(x 0，x 0+)内 f(x)0D.-f(x)在 x=x0处取极小值二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项

3、 1:_10.通解为 y=C1ex+C2x 的常微分方程是_（分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.方程 3x=2x2+1 的实根个数 n=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 =(1，0，1) T，矩阵 A= T，则(A 2-E)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X1，X 2，X 3相互独立，且 X1，X 2均服从标准正态分布，其分布函数为 (x)，而 （分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.试证明不等式 （分数：10.00）_16.设 其中 f(u)有二阶连续导数，f(0)=f(0)=0，且

4、（分数：10.00）_17.设为曲面 z=x2+y2(0z1)的下侧，计算曲面积分（分数：10.00）_18.设()证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：10.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，且 证明 使 （分数：10.00）_20.已知齐次方程组 Ax=0 为（分数：10.00）_21.已知矩阵 可逆，A *是 A 的伴随矩阵， 是 A*的特征向量()求 A*的特征值与特征向量；()判断 A*能否相似对角化，如能则求可逆矩阵 P 使 （分数：10.00）_22.设某地区一年内发生有感地震的次数 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1)和 P( 2)，( 1， 20)，且

5、 X 与 Y 相互独立()求在一年内共发生 n(n0)次地震的概率；()已知一年内发生了 n 次地震的条件下，求有感次数 X 的条件概率分布（分数：10.00）_23.设总体 X 的概率分布为 其中参数 未知，以 Ni表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为n)中等于 i 的个数(i=0，1，2)()求参数 的矩估计量()求常数 0， 1， 2，使 （分数：14.00）_考研数学一-159 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由于(x+y) 2=x3+3xy2+3x2y+y3而等

6、式右端 4 项中的每一项关于 x 或关于 y 的奇函数，而积分域|x|+|y|1 关于两个坐标轴都对称，则*且不恒为零，则*但不恒等于零，则*从而 NMP，故应选(B)2.设 处处连续，则 f“(0)=（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 本题是要研究分段函数 f(x)在分界点 x=0 处的二阶导数，如果用导数定义做比较繁可考虑用幂级数展开*评注 这里用到求函数 f(x)在 x=x0处高阶导数 f(n)(x 0)的一种常用方法若 f(x)在 x0的某邻域内可展开为幂级数*则由幂级数展开式的唯一性知，该幂级数只能是 f(x)在 x0点处的泰勒级数，即*从而有*则 f(n)(x0)=an

7、n!3.设随机变量 X 的概率分布为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 已知泊松分布为*可以看出本题所给的分布就是泊松分布，其中 =1，C=e又知泊松分布的 EX=，DX=根据公式 EX 2=DX+(EX)2=1+1=24.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0， 2，0， 2；0)，则随机变量 X+Y 与 X-Y 必（分数：4.00）A.相互独立且同分布 B.相互独立但不同分布C.不相互独立但同分布D.不相互独立且不同分布解析：分析 (X，Y)二维正态，则(X+Y，X-Y)也是二维正态，故 X+Y 和 X-Y 也是正态E(X+Y)=EX+EY=0+0=0，D(X+Y)=DX+DY

8、= 2+ 2=2 2，即(X+Y)N(0，2 2)E(X-Y)=EX-EY=0-0=0，D(X-Y)=DX+DY= 2+ 2=2 2，即(X-Y)N(0，2 2)cov(X+Y，X-Y)=cov(X，X)-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)= 2-cov(X，Y)+cov(X，Y)- 2=0故 X+Y 与 X-Y 的相关系数为 0，即 X+Y 与 X-Y 相互独立5.设 A，B 都是 3 阶矩阵，将 A 中第一行的 2 倍加至第 2 行得到矩阵 A1，将 B 中第 3 列乘以 得到B1，如果 则 AB=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 矩阵 A 和 B 分别经过

9、初等行变换和列变换得到矩阵 A1和 B1有 A1=PA，B 1=BQ*于是 A1B1=PABQ那么*6.三元一次方程组所代表的三平面不可能的位置关系为（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 对方程组增广矩阵作初等行变换，有*若 a-1 且 a4，方程组有唯一解，三个平面有唯一交点图形(A)若*方程组有无穷多解，三个平面交于一条直线如图形(B)若*方程组无解此时第一和第三两个平面方程分别是 x1+x2-x3=4 与-x 1-x2+x3=1由于这两个平面的法向量平行，所以这两个平面平行，为图形(D)7.当 x0 时，下列无穷小中最高阶的是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 若两

10、两进行比较，则比较繁，若能估计出每一个无穷小是 x 的几阶无穷小，则问题就得以解决由于当 x0 时*当 x0 时，*则当 x0 时，*为 x 的 3 阶无穷小，从而*为 x 的 4 阶无穷小，故应选(D)8.设 f(x)在 x=x0处取得极大值，则（分数：4.00）A.f(x0)=0B.存在 o，使 f(x)在(x 0-，x 0)内单调增；而在(x 0，x 0+)内单调减C.存在 0，在(x 0-，x 0)内 f(x0)0；而在(x 0，x 0+)内 f(x)0D.-f(x)在 x=x0处取极小值 解析：分析 由极大值的定义知，存在 0，当 x(x 0-，x 0+)时f(x)f(x 0)从而有

11、-f(x)-f(x 0)由极值定义知，-f(x)在 x=x0处取极小值故应选(D)评注 其余选项都是错误的事实上，为了方便可取 x0=0，若取 f(x)=-|x|，显然 f(x)在 x=0 处取极大值，但 f(0)不存在，则(A)不正确*由极值定义可知 f(x)在 x=0 处取极大值，但，当 x0 时*即在 x=0 的任何右半邻域内，始终存在导数为正的点*和导数为负的点*从而(B)和(C)都是错误的注意，本题的前三个选项都是同学们易犯的错误，应特别注意!二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *10.通解为 y=C1ex+C

12、2x 的常微分方程是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(1-x)y“+xy-y=0）解析：分析 显然，所求方程为二阶方程，可由 y，y，y“消去任意常数 C1和 C2求得微分方程y=C1ex+C2X y=C1ex+C2 y“=C1ex 式乘以 x 减去式得xy-y=C1(x-1)ex 式乘以(1-x)加式得(1-x)y“+xy-y=0则该方程为所求的微分方程评注 本题给出了一种已知微分方程通解求微分方程的常用方法11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由于*12.方程 3x=2x2+1 的实根个数 n=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案

13、：3）解析：分析 令 f(x)=3x-2x2-1，由于f(0)=0，f(1)=0，f(2)=0，则 f(x)至少有三个零点但f(x)=3xln3-4xf“(x)=3x(ln3)2-4f“(x)=3x(ln3)30由 f(x)最多 3 个零点，故方程 3x=2x2+1 有且仅有三个实根，即 n=313.设 =(1，0，1) T，矩阵 A= T，则(A 2-E)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 因为*所以A2=( T)( T)=( T) T=2A那么*14.设随机变量 X1，X 2，X 3相互独立，且 X1，X 2均服从标准正态分布，其分布函数为 (x)，而 （

14、分数：4.00）_解析：分析 F Y(y)=PX1+X2X3y三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.试证明不等式 （分数：10.00）_正确答案：(证明 令*则f(x)=sec2x+2cosx-3*从而，f(x)单调增，又 f(0)=0，则*由此得 f(x)单调增，而 f(0)=0，则*)解析：16.设 其中 f(u)有二阶连续导数，f(0)=f(0)=0，且 （分数：10.00）_正确答案：(*由对称性知*即f“(u)-f(u)=u齐次方程的特征方程为 2-1=0， 1,2=1，令*代入 f“(u)-f(u)=u 得 a=-1，b=0则f(u)=C1ex+C2e-u-u*)解析：1

15、7.设为曲面 z=x2+y2(0z1)的下侧，计算曲面积分（分数：10.00）_正确答案：(将 z=x2+y2代入被积函数的分母中得*补平面 z=1(x2+y21)的上侧，并记为 S，则*)解析：18.设()证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(*则幂级数*的收敛半径为 R=1，故当|x|1 时，幂级数*收敛，又*由此可知an=(-1)n(n+1) (n0)*)解析：19.设 f(x)在0，1上连续，且 证明 使 （分数：10.00）_正确答案：(证法一 令*则*由罗尔定理知，存在 (0，1)，使 F()=0，又*故原题得证证法二 由于*由积分中值定理知*故原题得证)

16、解析：20.已知齐次方程组 Ax=0 为（分数：10.00）_正确答案：()由 B( 1， 2)=0 有( 1， 2)TBT=0那么矩阵 BT的列向量(亦即矩阵 B 的行向量)是齐次方程组( 1， 2)Tx=0 的解对系数矩阵( 1， 2)T作初等行变换，有*得到基础解系：(1，2，1，0) T，(-1，-1，0，1) T*()由于两个方程组同解，那么 1， 2必是齐次方程组 Ac=0 的基础解系*解出 a 1=1，a 2=3，a 3=2，a 4=1()由于 Ax=0 的通解是k1 1+k2 2=(k1，-2k 1+k2，3k 1-2k2，-k 1+k2)T因为 x3=-x4即 3k1-2k2

17、-k1-k2即 k2=2k1所以 Ax=0 满足条件 x3=-x4的所有解为(k，0，-k，k) T，k 为任意常数)解析：注 矩阵 B 的行向量是齐次方程组的解，因此矩阵 B 的答案不唯一21.已知矩阵 可逆，A *是 A 的伴随矩阵， 是 A*的特征向量()求 A*的特征值与特征向量；()判断 A*能否相似对角化，如能则求可逆矩阵 P 使 （分数：10.00）_正确答案：()按定义，设 A*= 0，则 AA*= 0A，即 0A=|A| 由于矩阵 A 可逆，知|A|0， 00，于是*由矩阵 A 的特征多项式*得矩阵 A 的特征值是 1，2，3于是|A|=6从而 A*的特征值是 6，3，2对

18、=1，由(E-A)x=0*得矩阵 A 属于特征值 =1 的特征向量是 1=(-1，1，1) T于是 A*属于特征值 =6 的特征向量是k1 1，(k 10)对 =2，由(2E-A)x=0*得矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量 2=(-2，2，3) T，于是 A*属于特征值 =3 的特征向量是k2 2，(k 20)对 =3，由(3E-A)x=0*得矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量 3=(-1，2，3) T，于是 A*属于特征值 =2 的特征向量是k3 3，(k 30)()因为 A*有 3 个线性无关的特征向量，故 A*A*)解析：评注 若已知特征向量 ，通常可用定义法建立方程组来求参数

19、本题不必去求伴随矩阵 A*，而应当用关系式 AA*=A*A=|A|E 把 A*的特征值问题转化为 A 的特征值问题22.设某地区一年内发生有感地震的次数 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1)和 P( 2)，( 1， 20)，且 X 与 Y 相互独立()求在一年内共发生 n(n0)次地震的概率；()已知一年内发生了 n 次地震的条件下，求有感次数 X 的条件概率分布（分数：10.00）_正确答案：()题给 XP( 1)，YP( 2)，且 X，Y 相互独立现要求 PX+Y=n)的值 n=0，1，2，*实际上 XP( 1)，YP( 2)，且 X，Y 相互独立则 X+YP( 1+ 2)

20、()当 0kn 时，*即服从 B(n，P)分布)解析：23.设总体 X 的概率分布为 其中参数 未知，以 Ni表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为n)中等于 i 的个数(i=0，1，2)()求参数 的矩估计量()求常数 0， 1， 2，使 （分数：14.00）_正确答案：(分析与解答 *如果把样本 X1，X 2，X n中每个 Xj取 i 值看成是一次试验成功，X j不取 i 值看成是一次试验失败，则样本的 n 个分量看成是 n 重独立重复试验如果取 i 值即试验成功的概率为 Pi，则 NiB(n，P i)，ENi=npi，DN i=npi(1-Pi)所以ET=a0n2(1-)+a 1n2 2+a2n(1-2)= 2即(2a1n-2a0n) 2+(2a0n-2a2n)+a 2n= 2*)解析：